描述式概念教學策略探究

關于“因數和倍數”概念的教學內容，新教材的編排發生了很大變化。以往的教材往往通過算式分類抽取出a÷b=c（a、b、c都是自然數，b≠0）來揭示概念。也就是說，因數和倍數概念的表述由原來的定義式變為了描述式，那么，這種概念表述方式的轉變隱含著什么？如何有效開展描述式概念的教學？下面筆者結合相關的教學實踐來探索一些有效的教學途徑。

一、借助直觀，讓學生經歷從“數學描述”到“合理定義”的概念形成過程

在整個小學階段，由于數學概念抽象性與學生思維形象性的矛盾，大部分概念沒有下嚴格的定義，而是從學生所了解的實例或已有知識經驗出發，盡可能通過直觀具體的形象幫助學生認識概念的本質屬性。因此，在教學中借助幾何直觀能幫助學生更好地理解、掌握數學概念。

例如，“因數和倍數”一課的教學，人教版教材提供了2行飛機、每行6架的直觀圖，北師大版提供了學生所熟悉的購買水果情境，蘇教版、現代小學數學、新思維數學都采用了小方塊擺長方形的直觀圖。顯然，各版本教材都在明確告訴教師，因數和倍數概念的建立需要借助直觀圖形。可因數、倍數概念本身似乎與形結合得并不緊密，因此，直觀擺圖后告知學生概念和直接告知學生概念有什么區別呢？直觀圖無非引出整數相乘的乘式，而五年級的學生完全具備直接從乘式發現整除特性的能力，直接告知概念有何不可？

基于這樣的困惑，筆者實施了不同的概念引入環節。

【設計一】

1.出示三個數5、7、10，你覺得哪兩個數中存在倍數關系？

2.為什么認為10和5之間存在倍數關系？你是怎么想的？

3.看來同學們認定的倍數關系指的是兩個整數成整數倍關系。我們以前認識的“倍”可以是小數倍也可以是整數倍。“倍”和“整數倍”，誰的范圍更大？

4.我們今天研究的就是這種范圍小小的“整數倍”關系——因數和倍數關系。我們可以說，10是5的倍數，5是10的因數。

5.加一個數“30”變成四個數：5、7、10、30。現在誰是誰的因數，誰是誰的倍數？

6.看來乘法式子中可以找到這種關系。你能從哪個式子里發現因數倍數關系？

12÷2=6 3×4=12 12÷5=2.4

【設計二】

1.12個正方形拼擺長方形，能不能用一個簡單的乘式表達？

2.猜猜看，他想的是每排擺幾個，擺幾排？還有嗎？能擺5排嗎？

3.我們只研究整個圖形的拼擺，也就是說這節課只研究整數之間的關系。在這樣簡單的整數之間、圖形之中蘊含著一種我們到現在都沒學過的關系。以2×6=12為例，因為2×6=12，所以2是12的因數，那么6也是（12的因數）。反過來，12是2的倍數，12也是（6的倍數）。這兩個式子蘊涵的因數和倍數關系，請你和同桌說一說。

4.你發現12有幾個因數？剛才用12個小正方形擺出了幾種長方形？得到了幾個乘式？試試2，想象出2個小正方形擺成怎樣的長方形了嗎？你想到的式子是哪個？它的因數有哪些？1呢？它有幾個因數？0呢？0個正方形去擺放沒有意義，數學家也覺得沒什么意義，就把0劃出了因數和倍數的研究范圍（不包括0）。

【思考】

設計一中，直接給予一個乘式引出因數和倍數的概念，而且硬性規定因數和倍數只研究整數且不包括0，學生對概念的感知是淺層的，僅停留在記憶層面。而設計二多了形的支撐，比如學生看到3，腦海中能出現3個小正方形擺成長方形，發現只有一種擺法，它的兩個因數是1和3。學生還形象地理解了1為什么只有1個因數，研究因數和倍數為什么不包括0。直觀表象有助于概念形成，學生印象深刻。

借助直觀，就能將學生形成數學概念的過程變為在問題情境中嘗試、操作、思考、分析的過程，學生就能經歷從“數學描述”到“合理定義”的概念形成過程，從單純地用數學語言描述一個概念到較為完整地定義一個概念，學生對概念的認識初步到位。

二、依托反例，讓學生經歷從“認知混亂”到“清晰界定”的概念同化（順應）過程

很多數學概念都是前后相連的，概念之間往往還會互相干擾，形成負遷移。比如“因數和倍數”的教學，此“因數”非四則運算中的因數，此“倍數”又不同于學生在二年級時就已經認識的“倍”。筆者在借鑒他人實驗的基礎上進行課前測試。

1.試著選擇有因數和倍數關系的式子：

（1）12÷0.4=30（66.67%）

（2）28÷7=4（76.92%）

（3）32÷5=6……2（10.26%）

（4）1.8÷0.9=2（69.23%）

（5）0.5×24=12（35.90%）

以上題目全做對的有15.38%。

2.你聽說過“因數”和“倍數”嗎？請試著舉例。

學生中比較典型的回答有：30÷5=6，5是倍數，倍數就是除法中的商。4×6=24，4和6都是因數。45是9的倍數，3.5是0.5的倍數。

可以發現，學生對因數和倍數的名稱并不陌生，而且受到了前認知的干擾。那么如何弱化這種干擾？于是，筆者又嘗試了不同的教學。

【設計一】

采用規避法。在因數和倍數概念的教學中不出現如0.5×24=12這樣的題目，不讓學生辨析，避免新知接觸，造成混亂。于是，課堂教學一路順風，學生沒遇到什么問題，也能在練習環節完成多層次的常規習題。

【設計二】以例規例，在錯誤辨析中深化概念。

師：看來，同學們對因數和倍數關系已經有了一定的認識，那我們來判斷幾組關于因數、倍數的描述。（屏幕顯示：12是24的因數）

生：對。

師：你能猜到他想的是什么算式嗎？

生：他想的是12×2＝24。

師：根據這個算式我們還能得到什么信息？

生：24是12的倍數。

生：2是24的因數，24是2的倍數。

屏幕顯示：0.9×2=1.8，所以1.8是0.9的倍數，0.9是1.8的因數。

生：對。

生：錯。

師：意見不統一了。你為什么認為錯呢？

生：因為0.9和1.8是小數，因數和倍數只研究0以外的整數，不研究小數。

師：是的。就是這個原因，這句話是錯的。可是，剛才為什么會有那么多同學認為是對的呢？能不能說說你是怎么想的？

生：因為1.8是0.9的2倍。

師：1.8是0.9的2倍，這是我們很早就認識的幾倍關系。這個幾倍關系和我們今天認識的倍數關系一樣嗎？

生：幾倍，可以是小數倍，也可以是整數倍。而今天學習的因數和倍數關系是整數倍關系。

師：對，當整數之間存在整數倍關系時，才有了因數和倍數關系。同學們，正是由于剛才一部分同學的錯誤，讓我們回憶起了以前的幾倍關系，知道了“幾倍”和“倍數”的不同，進一步清晰了因數和倍數關系的研究范圍，這就是錯誤帶來的思考。

屏幕顯示：18是倍數。

生：錯。沒有說清楚18是誰的倍數。

師：18會是誰的倍數呢？

生：3、6。

師：反過來，3和6都是18的因數。18的因數還有幾？

【思考】

設計一中，為避免出錯，規避了小數的出現，課堂看似很順利，實則不利于學生概念的建立，本質上并未真正理解因數和倍數概念。設計二中，在已初步形成概念的前提下，教師依托反例“0.9×2=1.8，所以1.8是0.9的倍數，0.9是1.8的因數”“18是倍數”讓學生自己去比較、去發現、去辨析，以例規例，真正把握概念的特征，最終清晰界定概念，完整地經歷概念的同化過程。

三、運用疏聯，讓學生經歷從“理解掌握”到“鞏固拓展”的概念內化（同化）過程

概念之間都是相互聯系的，理解概念是從感性認識上升到理性認識的過程，即從個別的事例總結出一般性的規律。鞏固拓展概念，則是抓住概念間的聯系有效疏通并加以靈活運用的過程，教師可讓學生多聯想、多角度思考，使概念在理解的基礎上被反復感知、反復回憶，從而拓展內化。

【教學設計】

師：給你一個式子3×7=21。你能想到什么？

生：3和7是21的因數，21是3和7的倍數。

生：21的因數還有1、21。

師：真能干，繼續想，還能想到什么？

生：3的7倍是21，3的倍數的個數是無限的。

師：3最小的倍數是幾？

生：3最小的倍數是本身，沒有最大的倍數。

生：7最小的倍數是本身，沒有最大的倍數。

生：3和7的因數都只有2個，都是1和本身。

師：10里面還有這樣的數嗎？

生：還有2、5。

師：20里面呢？

生：11。

生：13、15、17、19。

生：15不是的。15的因數有4個。

師：是的。20以內只有兩個因數的數是2、3、5、7、11、13、17、19。

【思考】

通過一個式子，讓學生從小例子中看到了大概念，從不斷地“還能想到什么”中逐步發現具有特點的一類數據，概念也隨之不斷被內化。但凡概念課，往往知識點較多，且相互穿插。因此，教師既要全面鞏固基本知識點，又要對學習難點有效疏聯，激發想象，拓展延伸。

總之，教師在概念教學中，尤其是描述式概念教學中，要多借助直觀的例子幫助學生形成概念，依托反例來同化概念，再通過疏通相關概念間的聯系，展開多層聯想來內化概念，最終使得還停留在直觀形象思維階段的學生在理解抽象概念的時候，借助豐富的感性材料經歷概念的形成、同化、內化（順應）的過程，從而全面深刻地掌握描述式概念。

（浙江省奉化市實驗小學 315500）