“轉化”思想應用策略淺探

2013-12-29 00:00:00王志輝周連榮

教學月刊·小學數學 2013年2期

任何一種新知識都是原有知識發展和轉化的結果。“轉化”思想的教學價值在于引導學生將未知轉化成已知。在小學數學教學中，教師應當結合具體的教學內容，滲透數學轉化思想，有意識地培養學生運用轉化的觀點去學習新知識、分析新問題，從而提高數學能力。

一、探究背景

當學完組合圖形面積后，學生明確組合圖形面積計算的基本思路是轉化為基本圖形的面積，然后運用加減原理計算。筆者隨手在黑板上畫出圖1，求陰影部分的面積（單位：厘米），反饋結果卻出現了兩種方法。

圖1 圖2 圖3 圖4

解法一：（5+2）×3÷2-2×3÷2=7.5（平方厘米）

解法二：3×5÷2=7.5（平方厘米）

對全班50人的統計結果如下：解法一占76%，而且都能解釋為什么這樣算，就是把組合圖形面積轉化為梯形面積減去空白三角形面積，這與剛學習的組合圖形面積解法相吻合（轉化為基本圖形面積來計算），這也是筆者所期望的；解法二占24%，當時筆者心中一緊，而學生的解釋是：兩塊陰影部分是三角形，底的和是5厘米，高都是3厘米，因此3×5÷2=7.5（平方厘米）就是陰影部分面積。聽后，筆者馬上調整教學，出示求圖2 陰影部分面積。由于有圖1的基礎，學生很快就列出了算式3×5÷2=7.5（平方厘米），統計分析如下。

生1：設圖2下底為3厘米，（5+3）×3÷2－3×3

÷2=7.5（平方厘米）。（統計有28人，其特點是假設的下底數據不盡相同，明顯是受圖1第一種方法的啟示，舉例說明，實現轉化，把抽象問題具體化）

生2：陰影部分是兩個三角形，單獨求面積各自的底未知，但是它們底的和是5厘米，高都是3厘米，因此3×5÷2=7.5（平方厘米）就是陰影部分面積.（統計有20人，其特征是是對解法二的消化，根據兩個三角形之間的聯系，實現轉化）

生3邊畫出圖3邊解釋：假設空白部分的頂點在下底上，它的位置移動后，與原來的三角形面積一樣大，所以陰影部分的面積也不變，3×5÷2=7.5（平方厘米）。（有2人，這是運用圖形運動變化的觀點分析進行等積轉化）

以上三種方法雖然思維層次各不相同，但難能可貴的是都蘊含了轉化的思想。筆者趁熱打鐵，再一次引導學生歸納解題關鍵是運用轉化的方法分析解答。接著出示圖4比較甲和乙面積的大小，圖4乍一看缺少條件，不能解答，但此節課有了前面的鋪墊，學生自然運用轉化的方法解答，一種是舉例說明，一種是等積轉化，在小組合作中通過討論驗證，一致得出甲與乙的面積相等。因此，當數學知識與數學思想完美結合時，教學是多么的輕松美妙！

二、“轉化思想”遭遇尷尬

數學知識本身非常重要，但它不是決定因素，真正使學生終身受益的是數學思想。但是在數學學習活動中，轉化思想方法的滲透究竟要進行到什么程度，許多教師感到模糊不清。

（一）教師忽視滲透“轉化”思想

經常聽到教師長吁短嘆：“這么‘簡單’的題目，我都講了n次了，學生還是不會做，真不知道他們在干什么！”當學生反復出現同樣的錯誤時，教師不是從自身查找原因，卻歸罪于學生，殊不知是教師在教學中就題論題，忽視了數學思想的滲透。

（二）學生缺乏“轉化”意識

往往在練習后會聽到學生埋怨：“太難了，這道（幾道）題老師沒有講過！”例如：“汽車從甲地到乙地，每時行40千米，返回每時行60千米，求汽車往返一次的平均速度。”這一題絕大部分學生列式為（40+60）÷2=50（km），理由是汽車來回開了兩次，只要用兩次的速度之和除以2，真是令人啼笑皆非。如果學生緊抓速度=路程÷時間，就會發現關鍵是兩地路程未知，只要假設路程為具體數據，轉化為普通行程，問題就迎刃而解了。

因此，在小學數學教學中，教師必須注重數學知識與數學思想的結合，使學生受益終身。

三、“轉化思想”應用策略

（一）化新為舊

即根據新舊知識的聯系，將新知識轉化為已有的知識來解決。

例如，一個數除以分數的計算法則的教學片段：

復習商不變性質：4÷3=（4×□）÷（3×□），16÷8=（16×□）÷（8×□），學生回憶商不變性質。

繼續填寫：

6 ÷=（6 ×）÷（×）=6×÷1=6×

÷=（×）÷（×）=×÷1=×

引導學生觀察：發現了什么？

學生用商不變性質推導出一個數除以分數的計算法則：甲數除以乙數（0除外），等于甲數乘乙數的倒數。

此時，學生甲提出了不同的解法：分數除法也可以通分。

教師一聽馬上追問：你是怎么想的？（其實我是帶著質疑的口氣，而其他學生更是哄堂大笑）

這位學生不慌不忙地走到黑板前，拿起粉筆，認真地寫了以下兩個算式：

6÷=÷=24÷3=8

÷=÷=

師：真棒！大家也能像他一樣用自己的方法計算8÷嗎？

學生自己嘗試探究得出四種方法：

①8÷=（8×）÷（×）=（8×）÷1= 8×=10

②8÷=÷=40÷4=10

③8÷=8÷0.8=10

④8÷=（8×5）÷（×5）=40÷4=10

師：如果讓你選擇，會用哪一種方法？

學生各執一詞，不能有效地把握各種方法的特點并自覺進行算法優化。對此，筆者立即選擇了三道習題：

①6÷ ②÷ ③÷

經過比較與討論，學生發現四種算法中，算法③是特殊解法，必須在分數能化成有限小數的情況下適用。而且有的學生發現算法④的算理與算法①相同，經過整理，算法④過程如下：

8÷=（8×5）÷（×5）=40÷4=8×5÷4=8

×5×=8×（5×）=8×=10

受到以上算理啟發，學生又對算法②進行推導：

8÷=÷=40÷5=8×5÷4=8×5×

=8×（5×）=8×=10

這時，學生發現三種算法其實都可以轉化成8乘的倒數來計算，體驗到“甲數除以乙數（0除外），等于甲數乘乙數的倒數”的優越性——這是最基本的算法，也是最容易的。

當面對“分數除以整數”這樣的新問題時，學生首先想到的是利用已有的知識經驗去對未知問題作出合理的解答。學生用了轉化的方法——除法轉化成乘法、分數轉化成小數等等，這些想法都是非常有價值的，體現了學生自我建構知識的過程。在這個過程中，鼓勵學生抓住新舊知識的聯結點，把新知轉化為舊知，主動運用不同的策略和方法去解決問題，學生有更多的探索余地，獲得的也不僅僅是數學知識，更為重要的是掌握獲取知識的終身受用的數學思想方法。

知識盤點：五年級教材用“化新為舊”策略解決的內容情況

（二）化繁為簡

即指導學生盡可能想辦法，使具體問題變得簡單一些。如這樣一道題：“某廠甲車間有工人180人，乙車間有工人120人，從兩車間共調出50名工人支援新廠，余下工人因工作量增加，每人每天增加工資20％，因工種不同，現在甲車間工人每人每天工資60元，乙車間工人每人每天工資48元。已知工廠每天所發工資總額與以前相同，甲車間現有工人多少人？”本題給出的數據較多，關鍵是要從中找出有用的數據，找出單位“1”，然后再求出不變的總量，再利用數量之間的關系解決問題。只要用甲車間總工資除以后來甲車間每人每天的工資數就是甲車間現有的人數，列式為60÷（1+20%）×180÷60=150（人）。

（三）化隱為顯

有時解決一個問題的條件似乎不具備，即呈隱性狀，但解決另一個問題的條件是具備的，呈顯性狀。這時，教師可根據這兩個問題間的關系，將求隱性的問題甲轉化為求“顯性”的問題乙。如圖5：三角形ABC是直角三角形，陰影a的面積比陰影b的面積大23平方厘米，BC的長度是多少？（π≈3.14）三角形ABC的面積未知，似乎無法求出BC的長度。但可以引導學生這樣想：陰影a的面積比陰影b大23平方厘米，也就是半圓（圖5）面積比三角形ABC大23 平方厘米，半圓的面積是3.14×10×10÷2=157 （平方厘米），則三角形ABC面積是134平方厘米，BC=134×2÷20=13.4（厘米）。

知識盤點：五、六年級教材“化隱為顯”策略解決較難空間幾何問題的內容情況

（四）化抽象為具體

“綜合與實踐”的設置是教材改革的一大亮點，也是教學內容中的一個難點。許多學生都覺得“綜合與實踐”里的知識很抽象，難以理解，尤其是到了中高年級，中等生學起來更吃力。事實上，在學習“綜合與實踐”的知識時，畫草圖可以化抽象問題為形象，從而使難題簡化。

如教學例題：“籠子里有若干只雞和兔。從上面數，有8個頭，從下面數，有26只腳。雞和兔各有幾只？”許多學生對題中的數量關系不理解，覺得無從下手。這時教師可引導學生畫草圖來解題。

①假設全部是雞

教師在黑板上畫圖：

那么就有8×2=16只腳，這樣就多出26－16=10只腳。

師：那多出的腳是誰的，怎么辦？

生：多出的腳是兔子的，每只兔子少2只腳，把腳還給兔子。

②把多出的腳還給兔子。

指名學生上臺畫圖：

可以還給10÷2=5只兔子，所以籠子里有5只兔子、3只雞。