“壞題”與“好題”

筆者非常喜歡教育家顧冷沅先生講的一句話：“搞理論要走一點極端?！备鶕P者的理解，這主要是理論工作者需要有一些個人的學術觀點，即使某些觀點會顯得有些偏激。拿小孩子的話來講則更容易理解，他們通常會用自己的方式去分辨“好的”與“壞的”，比如看一部電視劇，在他們的眼里，就只有兩類人，一類是壞人，另一類是好人。筆者也試著用這樣一種方式去表明自己在教學中對數學題目的看法與立場。

所謂“壞題”這里不討論被新課程所刪減的“繁、難、舊、怪”題，專門例談以下三類。

一、“壞題”

壞題之一：不符合學科教學目標的問題

人教版四年級上冊“垂直與平行”單元后的一張練習卷中有這樣一道填空題：同一平面內（ ）的兩條直線叫平行線。盡管筆者在課堂中引導學生經歷了許多次的操作，竭力幫助他們認識到同一平面內兩條直線的位置關系：非平行即相交。但還是有許多學生在此處填寫了“互相平行”這四個字。在學生的認識中，“同一平面內互相平行的兩條直線叫平行線”是完全正確的，這與“不相交的兩條直線叫平行線”的正確定義相距甚遠”。那么是什么導致這一錯誤的產生呢？實際上還是教材的目標定位問題。出于小學生的年齡特征，教材教導給他們的認知要求是認識到互相平行是一種現象（而非嚴格意義上的數學證明理解），既然是一種現象，那么用這種現象去解釋一種數學名詞——平行線，又有什么不可以呢？（盡管這里有循環定義的嫌疑）當然產生這一問題還有一個背景，像這種背記型的數學填空題在當下還沒有完全被根除掉。

壞題之二：帶有爭議的似是而非的問題

在人教版五年級下冊的期末考試中出現過這樣一道判斷題：“12是0.4的倍數?！边@是本冊“因數與倍數”一單元的知識內容，大部分學生判斷此題的答案為“√”。而教師則強調本冊教材學的“因數與倍數”中不講小數。所有討論的數都要求是整數，這里出現了小數，當然是錯的。學生質疑：那么以前我們這樣說過的，乘法中的各部分名稱是因數×因數=積，現在我們可以有12÷0.4=30，那么12是0.4的倍數，怎么錯了？這時，教師又會很認真地補上一句，我們在研究因數與倍數的時候，所說的數指的是整數，一般不包括0。其實像這樣的問題還有很多，比如：7.5×0.2的積是2位小數；x=5是方程。像這類題目真的耗去了教師太多精力。對此，筆者認為這類題目不考也罷。

壞題之三：表述不清、敘述不嚴謹的問題

例如，有這樣一道題目：四年級學生小丁參加航模比賽，已知第一輪比賽用了20秒鐘，第二輪成績提高了，第二輪成績是幾秒鐘？在筆者看來，這就是一個簡單的分數應用題，成績提高了那就是比單位“1”的量多了，20×（1+）=25（秒），這時就有學生反對說，第二輪成績提高了，應該是用時減少的，那么應該是20×（1－）=15（秒），到底哪一種正確呢？原來這里有兩種航模比賽，一種是像飛機那樣，比在天上飛的時間誰更長，越長得分越高；一種是像開輪船那樣的在水里行駛，同一條路線，比誰行駛的時間更少，越少得分越高。這樣看來，這兩種答案都可以。但用“1+”的學生，能排除見“提高就加”的這種錯誤的可能性嗎？用“1－”的學生，他們真的也都知道還有這么一種飛機航模嗎？所以到后來只能判兩種都對。類似地還比如這樣一道題：體育課上，教師用一個長1.5米的灰勺在操場上畫了一個圓，這個圓的周長和面積分別是多少？我們需要思考教師用長勺畫圓的時候，手臂是怎么放的？有沒有完全伸張開來？這些都是影響圓的周長與面積的因素。既然是考查學生的實際運用能力，那么有必要把這些都交待清楚。不然有些學生還僅僅是停留在套用公式的水平。

因此，“壞題”帶給學生的影響是不容忽視的，教師要充分重視起來，并盡力給學生提供一些“好題”。所謂好題是指突出知識結構中的重點和難點，符合學生思維特征和認知發展規律，符合數學學科自身的邏輯體系，有時還具有一定的生活氣息。以下例說三類。

二、“好題”

好題之一：“好題”在于新穎別致，能較好地吸引學生的注意力

在教學了“除數是兩位數”的除法后，有教師在復習課中設計了這樣一個練習：請豎式計算下面各題，并將計算的結果填入短文中，使短文成立。

722÷38= 16×121= 130÷26=

99×19= 1210÷22= 6×317=

你知道嗎？魯迅是中國著名的文學家、思想家和革命家。原名周樹人，字豫才，浙江紹興人。（ ）年出身于破落的封建家庭。（ ）年前往日本學醫，后棄醫從文。1918年（ ）月，首次用筆名“魯迅”發表中國現代文學史上第一篇白話小說《狂人日記》。（ ）年10月病逝于上海。終年（ ）歲。

在解答完前面的6道計算題之后，接著看下面的填空題，學生就覺得很新奇，數學怎么和語文、歷史、名人扯上了關系？其實出題者的用意不只是檢查學生對知識的掌握情況，還在于通過對這些答案（19，1936，5，1881，55，1902）的對比分析，培養學生的數感，同時還培養他們的邏輯推理能力，其中思想性也可見一斑。

好題之二：“好題”在于能培養學生的創新思維與推理能力

筆者在一次六年級數學考試中編寫了這么一道題目：我們已經學過關于圓錐的體積=底面積×高×，后有人研究得出底面是三角形的三棱錐體積（如下圖1）也是底面積×高×，于是有人就這樣大膽猜想：底面是正四邊形的四棱錐（高不變，如下圖2），在求體積時可以用底面積×高×，底面是正五邊形的五棱錐（高不變，下圖3），在求體積時可以用底面積×高×，……依次類推。你覺得這種猜想對嗎？為什么？請給出你的理由。

閱卷中筆者欣喜地發現了幾位正確的解答：我覺得是錯的，因為如果照此下去，變成底面邊數越多，比如正10000邊形吧，它就要“乘以了”，相當于前面算出來的數要除以10000，體積都幾乎沒有了，而這個物體卻還有這么大。應該說本題已不再是常規性的計算題目了，學生需要調動自己已有的全部的認知經驗，再運用反向推理，又不使自己的思維掉到前面的認知模式中去。試問有這樣的思維能力的學生，能不是一個數學學優生嗎？

好題之三：“好題”在于能激發學生的好奇心與探究欲望

在筆者的聽課中，看到有教師進行了這樣一道題目的教學：教師先組織學生復習了圓的周長公式，然后請學生比較圖4中圓周長的一半與直徑的長短，得出圓周長的一半大于直徑的長度，再在直徑下方畫兩個半圓、三個半圓（如圖5、圖6），請學生比較圖5、圖6中下面的小圓弧的長度總和與上面大圓圓弧的長度，經過公式論證，它們都是一樣長的，從而初步得出一個結論：下面的圓弧不管有幾個，總長度都和大圓圓弧一樣長。再由圖7經過公式推導和一些實際數據的論證，進一步證實了這個結論。但是教師從多媒體計算機中輸入了下方為200個半圓時，多數學生傻眼了，半圓曲線不見了，已經變成一條直直的線了。這時教師再讓學生比較此時的一條直直的線段與上面半圓的圓弧長短，竟然得出了另外一種答案——兩者一樣長。筆者以為，此時數學帶給學生的感覺已不再是繁雜的，也不再是無趣的，而竟然是那么的不可思議；在“無限”領域中的問題放在“有限”領域中，竟然是那么的奇怪。

筆者認為，好題的價值表現不止這些，設計、研究“好題”應該是當下教師在數學教學中需要特別用心的一件事情。它可以在一定程度上改變學生對數學的基本認識：讓那些“恐數生”慢慢地覺得數學也好玩，也可以讓那些數學學優生覺得數學學習真帶勁。因此，教師還是少糾結于一些“壞題”，多創編一些“好題”吧！

（浙江省紹興縣華舍實驗學校 312033）