“分數加減法”校本教研活動方案（三）

在上一個“分數加減法”的校本教研活動方案（二）中，我們主要研究了同分母分數加減法的教學問題。本活動方案將繼續研究同分母分數加減法教學，再研究異分母分數加減法的教學問題。

一、活動目標

1.經歷閱讀、思考、解答并與同伴交流有關同分母與異分母分數加減法的相關資料與問題。

2.進一步明確同分母與異分母分數加減法教學的不同設計思路。

3.進一步明確作為數（整數、小數與分數）的加減法在意義與計算方法上有什么相同與不同的地方。

4.進一步提高分數加減法的教學水平。

二、活動內容與時間

1.教研組教師先不集中，自己安排時間閱讀并獨立解決本方案中的問題。先獨立思考解決問題，再閱讀本方案中的參考答案，時間約3小時；再以年級組（或教研組）為單位集中交流問題的答案，時間約1.5小時。

2.教研組確定一位教師上一節異分母分數加減法的研究課，全組教師聽課、評課。時間約1.5小時。

三、活動前準備

數學組的每一位教師解答下面的問題，并準備在年級組或全數學組交流。

1. 下面是一位教師在教學三年級分數加減法初步認識時的教學片段，請你先閱讀這個片段，然后回答問題。

上課開始，教師出示一個分成8等份的紙圓片，問學生：如果在這個紙圓片上涂色，你想選擇幾份涂，用什么分數來表示涂色部分？在這個表示陰影部分的分數中有幾個？（學生選擇從1份到8份，教師根據學生的回答板書這些分數：、、、、、、、）

接著教師說：同學們真棒，創造出了這么多分數，現在老師在這些分數中選擇兩個，比如和，大家想一想，如果要求出它們一共涂的份數是整個圓的幾分之幾，怎樣列式？結果是多少？你是怎么想的？（學生獨立思考并解決）

學生獨立思考解決問題后，師生交流，教師讓學生說一說是怎么解決這個問題的，根據學生的回答，教師板書：+==，再結合圖示說明計算的道理。

教師進一步要求：剛才是老師選擇兩個分數把它們合起來，做了加法計算，現在請每一個同學選擇自己喜歡的兩個分數，也把它們合起來，做分數加法，并畫圖說明計算的正確性（合理性），計算出結果后，同桌相互說一說你是怎么想的。

在上面的教學片段中：

（1）哪些地方重視了分數加法教學前的知識鋪墊？

（2）哪些地方重視了分數加法意義的教學？

（3）哪些地方重視了知識的發生過程和算理的教學？

（4）教師板書了8個分數，讓學生自己去選擇兩個分數進行加法計算，這是一個開放的教學環節嗎？學生可能會選擇哪兩個分數相加？

2.讓學生在“、、、、、、、”這8個分數中選擇兩個相加，你覺得：

（1）學生是否有可能選擇計算+這個結果是假分數的問題？

（2）三年級學生在學習分數加減法的初步認識時，是否已經學習了假分數的概念？或者已經出現了“分子比分母大的分數”？

（3）如果學生沒有學習過假分數的概念，那么他們可能會怎么計算+？讀一讀下面的闡述，并用一兩句話說一說你閱讀后的感受。

（筆者把學生的數學能力水平分成強、中和弱三個等級，并在三個水平的學生中，抽取了部分學生進行訪談，結果如下）

①對數學能力相對比較弱的學生訪談

這類學生的數學能力水平主要可以分成兩個層次：一是不會做，并不能表達為什么；二是不能做出結果，但能夠說出理由。

主要的對話過程如下：

師：你認為+結果是幾？

生（想了一會兒說）：沒有結果的。

師：你能說一說為什么沒有結果嗎？

生：分數沒有上面大、下面小的。

師：你這句話是什么意思？

生：就是上面的數是不能大于下面的數。

師：你說的上面的數是指哪里的數？

生（指著分數）：就是這條線上面的數。

師：如果要寫出來的話，你現在上面的數是多少？

生：9。

師：下面的數呢？

生：8。

師：為什么上面的數不能大于下面的數？

生（想了一會說）：我看到的都是上面的數小。

②對數學能力是中等的學生訪談

這類學生的數學能力水平主要也可以分成兩個層次：一是不能做出正確結果，但能夠運用直觀圖形說明理由；二是不能做出結果，但能夠運用分數的意義，相對比較抽象地說明理由。當問這類學生+的結果時，這兩類學生都說沒有結果。當再問為什么時，前一類學生的表達是：這個圓平均分成8份，不可能涂9份的，最多就是涂滿。后一類學生的表達是：分子是取其中的幾份，現在平均分成8份，不可能取出9份的。

③對數學能力強的學生訪談

能力強的學生都能做出結果。結果有三個：一是+=；二是+=－1；三是+=。下面是對出現這三個結果的部分學生的訪談過程。

a.對結果是的這一類學生訪談。

師：你覺得+的結果是幾？

生：。

師：你能說一說理由嗎？

生：分母不變，分子相加。

師：為什么是“分母不變，分子相加”？

生：我們在做+=時，就是2個加上5個等于7個，也就是。

師：你說得很好。那時的確是這樣做的，但在做+=時，還可以畫圖說明道理，現在+=，你也能畫圖說明道理嗎？

生（想了一下）：圖畫不出來的。但結果肯定是對的。

師：為什么圖畫不出來？

生：一共也只有8份，平均分成的只有8份，畫不出9份的。

b.對結果是－1的這一類學生的訪談。

師：你覺得+的結果是幾？

生：－1。

師：你能說一說理由嗎？

生：因為3+6=9（份），現在只有8份，所以還欠1份，就是－1。

師：你能夠畫圖說明嗎？

生（想了一會）：畫不出來。

c.對結果是的這一類學生訪談。

師：你覺得+的結果是幾？

生：。

師：你能說一說理由嗎？

生：它是把一個東西平均分成8份，分母是8，但現在 3份加上6份等于9份，已經滿8份，所以要進1，8+1=9，分母就變成了9，分子9份進掉8份后還剩1份，所以等于。

3.從上面訪談中我們可以知道，由于在分數的初步認識階段，無論是分數的意義教學、大小比較還是分數的加減法，都只出現真分數，所以在部分學生的頭腦中，會形成“分數的分子一定比分母要小”這樣的錯誤結論。如果在分數的初步認識階段，也要認識假分數，即知道“分子比分母大的數也是分數”（可以不出假分數的概念），那么你覺得下面哪一個演示過程學生更容易理解“分子比分母大的數也是分數”？為什么？

（1）出一個正方形，把它平均分成4份，依次出現陰影部分是1份、2份、3份、4份、5份、6份的圖形。用分數表示相應的陰影部分，從而讓學生見到分子比分母大的分數（假分數的名字也可以不出）。

（2）出示一條數軸，并取一段把它平均分成4份，表示出最左邊的后，讓學生說一說哪一條線段的長度是。進一步出示像這樣的兩條線段，即像這樣的2段（兩個）、3段、4段、5段與6段，在相應的點上寫上分數，從而出現了假分數。

4.想一想，如果利用數軸圖計算分數的加法，那么：

（1）利用上面的數軸圖計算+，你可以用怎樣的引導語？如果要計算+等于多少呢？

（2）如果先讓學生用下面的數軸圖計算+，建議用數數的方法（即在數軸上先找到，然后再向右數3個，得到的方法）再讓學生計算+，那么，是否多數學生就能夠正確計算出是+=？為什么？

5.查一查，你們學校使用的教材，在“異分母分數加減法”教學以前，學生已經學習了哪些分數的知識？

6.在教學“異分母分數加減法”時，要讓學生明白：“只有分數單位相同的兩個分數，才能直接相加、減。”學生以前在學習數學時，是否有過“只有單位相同，才能直接相加、減”的基本活動經驗？讓學生解決下面的問題，是否有利于激活其原有的經驗？

（1）1厘米+2分米=？

（2）3平方米+5平方厘米=？

（3）3個十加上6個一是多少？

（4）345+56=？

（5）2張桌子+4把椅子=？

（6）3個香蕉+5個蘋果=？

7.在教學“異分母分數加減法”時，有教師創設了以下情境：五（1）班的同學對最喜歡看的4個奧運會項目作了統計，有的同學最喜歡看打乒乓球，有的同學最喜歡看跳水，有的同學最喜歡看體操，其余的同學最喜歡看跨欄。問：在五（1）班的同學中，最喜歡看打乒乓球的和最喜歡看跳水的共占全班人數的幾分之幾？列出算式：+，然后讓學生獨立思考解決這個問題。你覺得，學生可能會用哪些不同的方法？如果出現以下的不同方法，你會怎樣引導？

①運用畫圖的方法計算出結果。

②化成小數。+=0.5+0.25=0.75=。

③先通分再相加。

=， +=

④分母取大的，分子相加。

+==

⑤分子分母分別相加。

+==

8.下面是異分母分數加減法的一個教學片段，請你先閱讀這個教學過程，然后再用幾句話說一說這樣的過程有什么優點。

（1）出示一組分數：、、、。讓學生說一說這組分數的分數單位是多少。再自己選擇兩個分數，并計算出這兩個分數的和與差。說一說計算的過程。

反饋時，教師選擇如下一組板書：

+===1， －==

（2）把上面的這一組分數約分，并比較約分后的這組分數與原來的這組分數有什么不同的地方。

約分后的這組分數為：、、、。

（3）讓學生再在約分后的這組分數中選擇兩個分數，計算出這兩個分數的和與差。看誰能夠比較快地得到結果。

由于要求學生比較快地得到結果，所以會有學生選擇與原來分別相等的兩個分數，寫出加、減法算式，得到結果：

（4）比較上下兩個算式，它們有什么不同？想一想，你是怎么得到計算結果的？如果直接出示+，你會怎么做？

引導學生得到，上、下兩行算式的最大不同：上行的兩個分數的分數單位相同（分母相同），下行兩個分數的分數單位不同（兩個分母不同，相異）。分數單位不同（分母不同）不能直接相加、減，必須轉化成分數單位相同（分母相同）。轉化的方法可以是通分。

（5）再在約分后的這組分數中選擇兩個分數進行加減計算。

（6）想一想，如何計算異分母分數的加、減法？引導歸納出：①通分（轉化成相同的分數單位）；②計算（按照同分母分數加減法的方法計算）；③化簡（能約分的要約分，或化成帶分數）。

9.下面是“分數加減法”的一個引入片段，你覺得這樣的教學有什么優點與不足？

（1）簡要回顧整數運算的順序，提出問題：整數有加減乘除四種運算， 我們是按照怎樣的順序學習的？為什么要按照這樣的順序學習？整數有大有小，我們是按照怎樣的順序學習的？為什么？

（2）我們已經認識了分數，如果要學習分數的運算，那么，你想按照怎樣的順序來學習？

（3）右面有一些分數，如果我們要研究分數的加法，那么，選擇哪些分數研究加法，可能會比較簡單一些？為什么？

引導學生得出在同一行中選擇兩個分數可能會簡單一些，從而得到先研究同分母分數的加法，再進一步展開如何進行異分母分數加法的計算。

10. 學生在解決異分母分數加減法時，很關鍵的一步就是用通分的方法進行轉化。如何進行通分呢？在一般的教學中，會讓學生根據兩個分母之間的不同關系選擇通分的方法。兩個分母之間可以分成以下三種關系：一是倍數關系，即一個分母是另一個分母的倍數。如+，這時公分母就是較大的這個分母。二是互質（或互素）關系，即兩個分母是一對互質數（互素數）。如+，這時公分母就是兩個分母的積。三是一般關系，也就是兩個分母之間既不是倍數關系，也不是互質（互素）關系。如+，這時公分母是兩個分母的最小公倍數。面對這樣的教學，有些教師的做法不相同。下面是甲、乙兩位教師的對話，你贊同他們的觀點嗎？

甲：讓學生解決異分母分數的問題，通分是關鍵。

乙：是的，怎么通分呢？

甲：就是求兩個分母的最小公倍數。

乙：通分不一定要求最小公倍數的。但你說的最小公倍數怎么求呢？

甲：根據分母的三種不同的關系求最小公倍數，分成倍數關系、互質關系和一般關系。

乙：你的意思是學生要先判斷兩個分母是屬于哪一種關系，然后再決定用什么方法求最小公倍數，再得到公分母？

甲：是的，這樣做是最簡單的。

乙：你的這種方法保證了得到的公分母一定是兩個分母的最小公倍數，這樣在計算上的確比較簡單，但判斷關系會麻煩一些。

甲：你有其他簡單的方法嗎？

乙：我在引導學生做異分母分數加減法時，一律以兩個分母的積作為公分母。

甲：你的方法就不要判斷兩個分母的關系了。但你得到的公分母不一定是兩個分母的最小公倍數。

乙：是的，這樣得到的結果一定要注意約分。

甲：在現在的教材中，分數的分母是比較小的，你的方法很有優越性，特別是對數學能力相對較弱的學生來說。

乙：你的方法對于數學能力較強的學生來說，也有很大的優越性。

甲：是不是可以把我們兩人的做法相結合，在一開始教學時，強調你的方法，然后在練習中，讓學生明確兩個分母有三種不同的關系，可以根據分母之間的關系，靈活地求出公分母。

乙：這是一個好的想法！這樣學生先有了一般方法（也可以稱為通法），然后再有靈活的方法。不同層次的學生可以根據自己的水平，選擇方法解決問題。

甲：是的，與你交流是件開心的事。

乙：的確如此，與你交流很開心。

11.你覺得，在學生通過探索得到了異分母分數加、減法的計算方法后，去解決下面的問題，有什么教學價值？

12.在練習課中，如果讓學生去解決下面的問題：先計算出下面各題的結果，再想一想，它們有什么共同的地方？

①－= ② －= ③ －=

④ －= ⑤ －=

你覺得：

（1）學生可能會發現哪些共同點？下面寫出了這組算式的一些共同點，你認為，哪些共同點容易被學生發現？哪些共同點不容易被發現？容易發現的請在相應的括號內打“√ ”，否則打“×”。你能簡單地說一說容易被發現或者不容易被發現的理由嗎？試一試。

每個算式都是異分母分數的減法；（ ）

每個算式中的兩個分數的分子都是1；（ ）

每個算式中兩個分數的分母大小都相差1； （ ）

每個算式中兩個分數的分母都是兩個連續自然數；（ ）

每個算式的兩個分數都是分數單位；（ ）

計算這些算式時，公分母都是兩個分母的積；（ ）

計算結果的分子都是1；（ ）

計算結果都是一個分數單位。（ ）

（2）有人認為：“上面的問題是一個好問題，用類似于上面這樣的問題讓學生去練習主要有以下一些教學價值：一是可以進一步鞏固基礎知識與基本技能；二是有利于培養學生觀察、比較、概括、表達等能力；三是能夠適合不同層次學生的數學水平，促進每一個層次學生的發展。”你同意這樣的觀點嗎？如果同意，請你把三個方面的教學價值再作一些具體的說明，比如，“進一步說明鞏固了哪些基礎知識與基本技能？為什么去解決這樣的問題可以促進每一個層次學生的發展？”等等。如果不同意這個觀點，主要的理由是什么？

（3）在完成了上面的問題后，接著讓學生去解決下面的問題，計算：++++，大約會有百分之幾的學生能夠獨立解決這個問題？在能夠解決這個問題的學生中，有多少學生會與前面的問題聯系起來，采用“分拆”的方法？如=－、=－等。不能解決這個問題的學生，他們的困難主要是什么？（有興趣的教師可以把這個問題作為一個專題進行調查研究）

13.當學生完成了分數加減法學習時，他們在小學階段學習的整數、小數與分數的加減法就全部學完了。請你結合下面的算式，說一說整數、小數與分數的加減法意義與計算方法有什么相同與不同的地方。

部分問題的參考答案：

1. （1） 答：讓學生涂色，用分數表示陰影部分，并說有幾個分數單位。（2） 答：在強調“求兩個同學一共涂的份數是整個圓的幾分之幾，怎樣列式” “把兩個分數合起來，做加法計算”都重視了分數加法意義的教學。（3）答：以下四個方面重視了過程，重視了算理：①在教師選擇兩個分數后，讓學生列式并先獨立思考嘗試解決問題，重視了學生獨立思考列式及解決問題的過程；②板書“分母不變，兩個分子相加”這樣的計算過程；③畫圖說明算理；④學生自己選擇分數解決問題，不但要求畫圖說明算理，而且還要求同桌相互說一說思考過程。（4）答：這是一個開放的環節，學生自主性比較大，可能會出現許多不同的加法算式。從理論上說，在8個分數中，任意兩個都可能被學生選擇，最多可能出現7+6+…+2+1=28個加法算式。在實際教學中，由于習慣的因素，前面幾個分數（即比較小的幾個分數）被選擇的可能性會大一些。

2.（1）有可能。（2）按照現行幾套教材，三年級在分數初步認識教學時都沒有學習假分數的概念，也沒有出現分子比分母大的分數。（3）略。

3. 答：根據筆者的實際教學獲得的經驗，用數軸圖學生會更容易理解。因為在數軸上分數的“具體量”含義更為清晰。學生有用較短的線段拼成較長的線段的經驗。正方形圖在分數表示具體量上的直觀性不如數軸圖，特別是具體量累加后的序不如數軸圖來得直觀。

4. （1）答：先讓學生明確是哪一條線段的長，然后從左往右找到第一個所對應的點。再引導學生明確加上的含義就是再加上2個，再向右數過去2個。對應的點的數就是，所以+=。計算+時也作類似的引導，根據筆者的經驗，在數軸上學生對真、假分數的認識界線不會十分明顯。（2）答：根據筆者實際教學的經驗，多數學生能正確解決結果是假分數的問題。這是因為分數加法的含義與整數加法相同，學生對于意義容易遷移。數數對于學生來說比較容易，只要意義與數數相結合就可以比較容易地解決問題。減法也可以用類似的方法，只不過是倒數而已。

5.略。

6. 略。

7.答：引導時，先要讓學生判斷哪種方法是對的，哪種方法是錯誤的。用化成小數的方法可以說明④、⑤兩種方法都是錯誤的。留下正確的方法后，再讓學生解決一些新的問題，如計算+，體會不同方法的特點。

8.略。

9.答：這樣的引入十分重視研究的思想方法，能夠讓學生初步把握分數加減法的研究順序的整體性。但這樣的引入難度比較大，如果學生是初次接觸，可能會有很大一部分學生不知道從哪里入手解決問題。

10.略。

11.答：教學價值：一是進一步理解分數加、減法的意義，即明確“加的合并意義”“減的去掉意義”；二是進一步理解異分母分數加減法計算方法的含義，即進一步明確為什么要進行“通分、轉化”；三是運用圖形的直觀明確怎樣進行“通分、轉化”。

12.略。

13.答：整數、小數與分數加減法的意義都相同。計算時，都要相同的計數單位的數才能直接相加減。如在整數的加法中，有一步是4個十加上3個十；在小數的加法中，有一步是4個0.1加上3個0.1。在分數加法中，有4個加上3個。在整數與小數的計算方法中分別表現為“相同數位對齊”和“小數點對齊”。在分數的計算方法中表現為“分母不變”。在整數與小數的加法中，在同一個數位上，當計數單位超過十，就要“滿十進一”。而在分數加法中，有了b個（b≥a，a≠0），就能分出一個或若干個單位1。在整數與小數的減法中，當相同計數單位的數不夠減時，就要用“退一作十”轉化成夠減的相同的計數單位。分數相減時，如果相同計數單位的數不夠（如例子是減去不夠減），就是用整數1轉化為夠減的相同的計數單位的數。

（浙江省杭州市上城區教育學院 310006）