一題多解的“度”

顧和桂

在數學課堂的例題教學中能夠一題多解的題目往往是教師所青睞的，這類題往往能促進學生的思維發展，活躍課堂氣氛，激發學生學習數學的熱情.但并不是一題多解的解法越多越好，也不要一題多解好就每道題都追求解法多、全、新.下面我選取了日常教研工作中幾個例子來說說如何把握例題教學中的一題多解的“度”，如何根據課堂教學的需要選取例題的典型的解法來講解例題.

例1一元一次方程的應用—相遇問題

原題：西安站和武漢站相距1500 km，一列慢車從西安開出，速度為65 km/h，一列快車從武漢開出，速度為85 km/h，兩車同時相向而行幾小時相遇？

先讓學生回憶小學里面的解法： 相遇的時間等于總路程除以兩車速度的和即

1500÷（65+85）=10（小時）

再讓學生考慮用設未知數列方程來解決：

設兩車經過x小時后相遇，分析題目中速度、時間和路程之間的關系

到這里我認為應該重點講如何分析題目，表格與線段圖的關系.可是這位教師為了突出一題多解，讓學生思考這一題還有其他解法嗎？并讓學生思考了兩分鐘，學生找不到思路.教師這里很著急，提示了一下：假如設慢車的行駛路程為y千米，應該怎么列方程呢？（學生仍然沒有反應）

設慢車的行駛路程為y千米，快車的行駛路程為（1500-y）千米，根據題意列方程得

y65=1500-y85.

先解出y=650，再求出時間為

y65=10（小時）

點評：這位教師所犯的問題是一題多解貪多.在七年級學生對列方程解應用題尚不熟練的情況下，抓住一類常見的題型---相遇問題作為一元一次方程應用的研究專題.本來是對七年級學生而言是一節有針對性、有實效性、有數學應用意識的好課.這位教師在講例題時，沒有重點抓住速度、路程和時間的關系給學生講用表格和線段圖分析題目中已知條件之間的關系的方法，以及如何運用表格和線段圖找等量關系列方程，而是把重點放在找不同的解法我認為是不妥的.而且例題中要求相遇的時間是多少？設慢車的行駛路程為y，也的確不是一種高明的方法.教師純粹為了一題多解而設慢車行駛路程為y的方法.不僅是方法的繁簡問題，更重要的讓大多數學生對如何設未知數沒有頭緒.在新授課時，我們應把重點放在通法的講解上，而不應讓學生去思考特殊的解法.如果有學生提出來，也可講解但一個必不可少的步驟就是比較兩種方法的優劣.讓學生學會解題時統籌考慮解法，一般方法和簡捷的方法一直是我們優先考慮的.

例2一節相交線平行線的復習課

在復習完成知識點后，教師講了這樣一道例題

教師先分析圖中A∥CD，但沒有相應的平行線被第三條直線所截的基本圖形，可以考慮作輔助線構造.再請學生說出自己的解題的思路，然后讓兩位學生上黑板板演解題過程.最后教師補充其他方法.

方法1：如圖2過點E作EF∥A， 所以∠AE+∠EF=180°，∠EF=60°，因為A∥CD，所以EF∥CD，所以∠CEF=∠ECD=35°，所以∠EC=∠EF+∠FEC=95°.

方法2：如圖3過點E作EF∥A，所以∠EF=∠AE=120°，因為A∥CD，所以EF∥CD，所以∠CEF+∠ECD=180°，所以∠CEF=145°，所以∠EC=360°-∠EF-∠FEC=95°.

方法3：如圖4延長A至點M，過點E作EF∥A，∠ME=180°-120°=60°，因為A∥CD，A∥EF，所以EF∥CD，所以∠EF=∠ME=60°，∠FEC=∠ECD=35°，所以∠EC=∠EF+∠FEC=95°.

方法4：如圖5延長E交CD于點F，因為A∥CD，所以∠AE+∠EFC=180°，所以∠EFC=60°，在△EFC中，∠CEF=180°-∠C-∠EFC=85°，

所以∠EC=180°-∠EFC=95°.

方法5：如圖6延長CE交A的延長線于點F，

因為A∥CD，所以∠AFE=∠ECD=35°，∠FE=180°-∠AE=60°，

所以∠EF=180°-∠FE-∠AFE=85°，所以∠EC=180°-∠EF=180°-85°=95°.

點評：

1.方法3有必要介紹嗎？

這位教師講完方法1、2之后，難能可貴的是他沒有就此打住，而是提示學生已經學過的基本圖形（圖7）中有結論∠AEC=∠AE+∠DCE.于是可以延長A至M得圖4.

雖然這種解法不一定簡捷，但這種解法讓學生體會了轉化的數學思想，化一般為特殊，把不熟悉的圖形轉化為熟悉的基本圖形解決問題是一種非常重要的數學方法.我認為在平時教學過程中要經常運用，讓學生熟悉這也是一種重要的解決問題的方法.

2.方法4和方法5超要求，要不要講？

我們知道在小學里學生就已經學過了三角形的內角和為180°的結論，只是沒有給出嚴格的數學證明.三角形的內角和定理是初二的教學內容，但小學里已經有的數學結論是完全可以用于解題.初一的學生完全可以用初二、初三的定理公理來解題，同樣在中考中運用高中的定理公理來解題也是可以.我們應該鼓勵學生鉆研探究知識的積極性，不宜加大學生的學習負擔，而應該圍繞本課的復習重點展開教學活動.

例3九年級試卷講評課.

方法1：如圖9，可以通過證明DH上點D到AH和CH的距離相等來證明：過點D分別作DM⊥CH，DN⊥AH交HA的延長線于點N，通過證明三角形全等來證明DM=DN.

方法2：通過相似證明：如圖8，若∠DHC=∠AHD，則∠EHC=∠DHC，而∠HEC=∠HCD，所以可以通過證明△DCH∽△HCE來證.

方法3：如圖10構造全等三角形證明，延長HF至點G，使得AH=HG，因為∠AHG=∠CHE=60°，所以△AHG為等邊三角形，易證△GAC≌△HAD，所以∠AHD=∠AGC=60°，所以∠CHD=∠AHD=60°.

點評：這位教師主要的問題把講解的重點放在學生不易懂的方法3和方法3上，而忽視了對學生能想到證明角相等的一般方法證明指導.方法2和方法3雖然巧妙，但學生考試的時候不易想到，而方法1證明三角形的全等的困難應該幫學生梳理清楚和重點講解，不能一帶而過.方法 2和方法3我們應從不同的角度來分析和處理問題方面給學生指導，所以可以略講，可以把方法2和方法3的具體的證明過程作為課后探究的內容.

教學中應該注意的幾個問題：

1.重解法種數，輕通法指導

有不少教師講解一道有多種解法的題時，往往挖空心思想它有多少種解法.卻不知學生在具體解題時只采用一種方法，所以我們應當圍繞符合學生認知規律和結合學生知識生長點去把學生講懂.要讓學生會找方法，指導學生去根據題目中的已知條件圖形去尋找有用的信息，找到解決問題的突破口才是我們課上應該重點花時間的地方.

2.重解法的列舉，輕解法總結

對于一題多解的題目，教師各種解法的講解后往往沒有必要的小結，特別是對各種解法的比較.只有對各種不同的解法進行具體的分析和指導之后，才能讓學生在作業和考試過程中能快速找到最佳的解題途徑.

3.重解法的講解，輕學生對解法的領悟

課堂教學應該讓學生說出不同的解法，而不是只講自己課前準備的解法，這樣學生聽課被你牽著鼻子走，但課堂效率往往不高.如果讓學生先思考后再回答，我們教師的講解應該圍繞學生來展開，更何況有時學生的回答會有意想不到的妙法.教師通過學生的回答，發現學生在分析解決問題中存在的共性問題，然后有針對性的講解才是提高學生解題能力的根本方法.

因此在平時的課堂教學中，教師要把握一題多解的“度”，要根據學生的認知水平和能力水平來綜合考慮，千萬不能只求多、求全浪費課堂教學時間.一題多解，絕不僅僅是要訓練學生的思維，更重要的是鞏固、消化、和復習所學知識.鼓勵學生多思考解法，教師課前要充分備課，對個別學生的特殊解法應根據情況，如確是巧解妙解，可以在課堂上講解，對于較繁、不易的方法宜個別指導.例題的講解應把重點放在指導學生對解題方法的指導和小結，讓學生學會取舍，能根據題目的具體特點合理選擇解題方法.只有這樣的例題講解才是有效的，能動的，才能讓大多數學生學得輕松，走出題海.