貨幣時(shí)間價(jià)值中數(shù)學(xué)工具的應(yīng)用

張占軍

一、貨幣時(shí)間價(jià)值的內(nèi)涵

貨幣時(shí)間價(jià)值是指貨幣在周轉(zhuǎn)使用中隨著時(shí)間的推移而發(fā)生的價(jià)值增值。該價(jià)值增值的實(shí)質(zhì)是由于貨幣作為一種特殊的稀缺性商品，投資者因讓渡其使用權(quán)而索要的對(duì)機(jī)會(huì)成本的補(bǔ)償和對(duì)承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)的補(bǔ)償。時(shí)間價(jià)值原理揭示了不同時(shí)間點(diǎn)的單位貨幣的價(jià)值不相等，所以，不同時(shí)點(diǎn)上的貨幣收支不宜直接比較，必須將它們轉(zhuǎn)換到相同的時(shí)點(diǎn)上，才能進(jìn)行大小的比較和有關(guān)的計(jì)算。

二、貨幣時(shí)間價(jià)值的基本要素

貨幣時(shí)間價(jià)值的衡量對(duì)象是貨幣活動(dòng)，而貨幣活動(dòng)的兩種基本類型是復(fù)利和年金，在利息不斷資本化的條件下，復(fù)利是貨幣時(shí)間價(jià)值計(jì)算的基礎(chǔ)，也就是說(shuō)復(fù)利是年金的計(jì)算基礎(chǔ)。年金按其每次收付款項(xiàng)發(fā)生的時(shí)點(diǎn)不同，分為普通年金、先付年金、遞延年金、永續(xù)年金等類型。所以貨幣時(shí)間價(jià)值計(jì)算的關(guān)鍵是正確判斷貨幣活動(dòng)的類型，只要判斷準(zhǔn)確就能計(jì)算出相應(yīng)的時(shí)間價(jià)值。在貨幣時(shí)間價(jià)值的計(jì)算中，所涉及的要素主要有終值（F）、現(xiàn)值（P）、利率（i）、計(jì)息期數(shù)（n）。

三、貨幣時(shí)間價(jià)值中數(shù)學(xué)工具的應(yīng)用

為了形象的描述不同時(shí)點(diǎn)上貨幣之間的等值換算關(guān)系，我們經(jīng)常會(huì)利用數(shù)學(xué)輔助工具來(lái)計(jì)算相應(yīng)的貨幣時(shí)間價(jià)值。主要的數(shù)學(xué)輔助工具有：升（降）冪法、補(bǔ)割（割補(bǔ)）法、分割法、三角形相似法等。

（一）升冪法

在普通年金終值、現(xiàn)值公式的推導(dǎo)過(guò)程中，巧妙使用了降冪法，使公式的推導(dǎo)清晰明了。以推導(dǎo)普通年金終值的公式為例，普通年金終值（FVAn）是指一定時(shí)期內(nèi)每期期末等額收付款項(xiàng)的復(fù)利終值之和，如圖所示。

從圖1 中可知：

在普通年金現(xiàn)值公式的推導(dǎo)過(guò)程中也可以使用同樣的方法。而在固定股利增長(zhǎng)模型下的普通股資本成本的測(cè)算公式的推導(dǎo)可以用降冪的方法。

（二）補(bǔ)割（割補(bǔ)）法

在先付年金終值、現(xiàn)值公式的推導(dǎo)過(guò)程中，可以借用數(shù)學(xué)工具補(bǔ)割（割補(bǔ)）法可以形象的推導(dǎo)出其計(jì)算公式。以推導(dǎo)先付年金終值的計(jì)算公式為例。先付年金終值（XFVAn）是指一定時(shí)期內(nèi)每期期初等額收付款項(xiàng)的復(fù)利終值之和。下例先付年金終值的計(jì)算公式既可以根據(jù)其含義用復(fù)利終值推導(dǎo)，又可以先把先付年金轉(zhuǎn)換為后付年金，由后付年金來(lái)推導(dǎo)。下圖是標(biāo)準(zhǔn)的先付年金，用轉(zhuǎn)換方法推導(dǎo)其公式。

在圖2 的基礎(chǔ)上往前延長(zhǎng)一年，把先付年金轉(zhuǎn)換為后付年金轉(zhuǎn)化成圖3，再在圖3 上第n+1年上補(bǔ)個(gè)A。則就變成了標(biāo)準(zhǔn)的后付年金終值的計(jì)算，在此基礎(chǔ)上割去A 就推出了先付年金終值的計(jì)算公式，即：XFVAn=A×FVIFAi.n+1-A。先付年金現(xiàn)值可以用割補(bǔ)法來(lái)進(jìn)行推導(dǎo)其計(jì)算公式，方法同理。

（三）分割法

還是以推導(dǎo)先付年金終值的計(jì)算公式為例，其原理是先把先付年金轉(zhuǎn)換為后付年金，由后付年金來(lái)推導(dǎo)先付年金終值的計(jì)算公式。

根據(jù)圖3 分割后轉(zhuǎn)化成圖5，圖5 前n年是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的后付年金終值的計(jì)算，即FVAn=A×FVIFAi，n，這個(gè)值可以看作是第n+1年的復(fù)利現(xiàn)值，則就可以推導(dǎo)出先付年金終值XFVAn=A×FVIFAi，n×(1+i)。

（四）三角形相似法

三角形相似法主要用在貨幣時(shí)間價(jià)值要素中利率和期數(shù)計(jì)算，由于利率和期數(shù)包含在終值、現(xiàn)值系數(shù)中，所以只有計(jì)算出終值、現(xiàn)值系數(shù)的值才能通過(guò)系數(shù)表查出，查不出其值就只能用內(nèi)插法來(lái)計(jì)算。以下以計(jì)算年金現(xiàn)值中的計(jì)息期數(shù)為例，原理是在其他要素不變的情況下，計(jì)息期數(shù)與現(xiàn)值系數(shù)成同方向變動(dòng)的關(guān)系，利用這一關(guān)系構(gòu)建相似三角形。

例：甲企業(yè)向銀行貸款5000萬(wàn)元進(jìn)行工程項(xiàng)目投資，假設(shè)銀行借款利率為16%，該工程當(dāng)年建成投產(chǎn)，投產(chǎn)后每年可獲凈利1500萬(wàn)元，全部用來(lái)歸還貸款的本息，需要多少年才能還清？

解析：由PVIFA16%n=5000/1500=3.333。通過(guò)年金現(xiàn)值系數(shù)表，不能查到計(jì)息期數(shù)，此時(shí)只能用內(nèi)插法找到3.333 的臨界的兩個(gè)現(xiàn)值系數(shù)值，及其對(duì)應(yīng)的計(jì)息期數(shù)，然后根據(jù)三角形相似法求解。見(jiàn)下圖。

臨界值（5，3.685），（6，3.274）之間的弧線可以近似看作是直線，構(gòu)建三角形△ABC∽△ADE，相似三角形對(duì)應(yīng)變成比例。即

總之，財(cái)務(wù)管理中的定量分析很多，應(yīng)該把數(shù)學(xué)的工具形象而巧妙的與之相結(jié)合。這樣可以加深學(xué)生的理解，提高教學(xué)質(zhì)量。

［1］荊新，王化成，劉俊彥.財(cái)務(wù)管理學(xué)【M】.北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2012.

［2］郭巧麗,王彥東.《貨幣時(shí)間價(jià)值中插值圖示法的運(yùn)用》，《財(cái)會(huì)通訊》，2011年第4期.