侗族數學文化面面觀

羅永超

（凱里學院 數學科學學院，貴州 凱里 556011）

1 概 述

隨著數學課程改革實施的深入，國家、地方、學校三級課程的需要日顯凸現，迫在眉睫.為了貫徹落實國務院三級課程管理政策的精神，以有效提高課程為當地經濟服務的適應性，促進教育與當地經濟社會發展緊密結合，滿足少數民族地區數學教育的需要，項目組近幾年積極組織師生收集、研究和挖掘少數民族數學文化，其目的是弄清少數民族數學文化背景，了解少數民族學生學習數學的基本思維方式，適時地在少數民族地區實施跨文化數學教育.在此，僅報告項目組對侗族數學文化部分的研究成果.

侗族是全國55個少數民族之一，主要分布在黔、湘、桂3省區的毗鄰地區，全國侗族人口約三百萬.侗族沒有文字，長期生活在相對封閉的山區，山外的文明至今沒有將他們同化，世界鄉土文化基金會將貴州省黔東南苗族侗族自治州列入“返璞歸真，回歸自然”的十大旅游勝地之一，并稱侗族文化是世界文化的瑰寶，是“隱藏千年的文明”，稱侗鄉是人類僅存的“人與自然和諧之地”、“人類疲憊心靈的最后家園”[1].侗族的生活背景決定了侗族文化全憑心傳口授，頑強地世代相傳，所以，研究侗族數學文化主要是研究侗語中所表達的數學概念和相關計算，以及他們生活中特有的鼓樓建筑、民居、民間工藝、服飾、刺繡等載體所蘊涵的數學知識.

2 侗族生活中的數學概念及相關計算

經過漫長的發展，侗族生活中也形成了“數”的抽象概念及相關運算.侗族母語中所表達的基數和序數與中國傳統數學基本相符，最小的自然數是1；零沒有確定的讀法，僅用“無”或“完了”表達其意；分數概念較為清晰，也有小數的意義，但表達不了純小數；沒有負數、無理數等概念.有關數的運算，一般都與市場交易或生活的實際問題聯系在一起，是典型的古代中華民族以問題解決為目的的數學觀.以乘法運算為例，設單價為a，件數為x，求交易額時，相關的加減法及擴大（或縮?。?0n倍的乘法運算與人們現在的理解完全一致，但2至9的乘法卻沒有“九九表”可用，而是充分利用2、及10的倍數進行運算[2].基本方法如下：求一個數的2倍，是通過計算相同的兩個數的和去實現；求一個數的3倍是通過求這個數的2倍加上它的1倍的和去實現；求一個數的4倍，則是通過計算它的兩個2倍的和去實現，或通過這個數的5倍減去它的1倍的差去實現；而求一個數的5倍，或是通過這個數的2倍的2倍再加上它的1倍的和，或是求它的10倍的一半去實現的；求一個數的6倍，則可以通過它的5倍加上它的1倍的和去實現；如此等等.母語中所表達的這些算法，可以總結歸納并“翻譯”為下列函數：

運算中，他們不拘一格，并不完全按（1）式計算，如，當x=5，6，7時，對應的乘法運算有時?。篺(5)=2a+2a+a，f(6)=10a?2a?2a，f(7)=10a?2a?a等，但是，他們始終注意有效地利用2、及10的倍數去實現乘法運算.

在侗族的“乘法”運算中，無論是20以內的“乘法”，還是30以內的“乘法”，或是更大的數的“乘法”運算都能繼續用分段函數表示.例如，用公式表示20以內的“乘法”運算等.

這樣，古代侗族巧妙地實現了將乘法轉化為加減法的運算，既克服了沒有“九九表”的困難，又不陷入乘法意義中的連加運算.在義務教育基本普及的今天，仍然傳承并使用上述方式進行運算的只有極少數老年文盲婦女.

幾何概念較為豐富，如三角形、多邊形、圓、直線、平面等在侗語中都有，但抽象程度不高，遠未達到“數學化”的程度，由此容易帶來概念上的含混不清，這種現象是尚未進入現代數學文明的中華民族語言的共同特征.

由于侗族沒有文字，所以沒有任何數學符號，數學概念、公式與運算方法全憑口傳心授世代相傳.

3 以鼓樓為載體的侗族數學文化

侗族聚居的村寨都有鼓樓，鼓樓是侗族所特有而其他民族所沒有的建筑，是侗族全部精神性的文化結晶，是最具有象征性的文化符號[3].鼓樓雄偉、壯觀，占地面積百余平方米，高數十米不等.如此高大的建筑，其整體以杉木做柱、枋，鑿榫銜接，橫穿斜套，縱橫交錯，結構嚴謹牢固，卻不用一釘一鉚，其中蘊涵著豐富的數學文化，也體現了侗族祖先的數學應用與思維特征.

鼓樓主體結構對稱和諧，其平面圖通常是正方形，正六邊形和正八邊形，常見的八角鼓樓平面圖通常由正方形和正八邊形復合組成.如：從江縣增沖鼓樓平面結構圖內部是一個正方形，而外部是一個與正方形同心的正八邊形組成等.所以，建筑師在建造鼓樓時大量地涉及與正多邊形相關的計算.

3.1 與正八邊形相關的計算

八角鼓樓的建造，涉及正八邊形的邊長a與半徑R的計算.在今天可用公式a=2Rsin22.5°表示.顯然，22.5°不是特殊角，計算結果無疑是取其近似值.但古代侗族對角度的概念并不十分清晰，對此，他們有自己的計算方法：

圖2是八角鼓樓樓冠（如圖1）在平面上的正射影，已知正八邊形半徑OMi（OMi=ONi，i=1,2,3）的長度，則邊長MiNi的確定是通過公式

來實現（計算說明：例如，OMi=4市尺，代入（3）式，得MiNi=30市寸，即MiNi=3市尺）.古代侗族沒有系統的三角函數知識，加上侗族語言難以表達純小數的讀法，他們巧妙地運用了10進制單位進行換算來實現公式（3）的計算.它顯然是一個較好的近似計算，這是侗族鼓樓建筑師在長期的實踐中總結得到的結果.

值得注意的是，八角鼓樓樓冠的屋面需要制作如圖3的三角架，其中OBi（i=1,2,3,…）的長度為已知，角O的大小與AiBi長度的確定一般也是通過公式

來實現.

由此可見，侗族在三角形概念的分類中不是十分清晰，他們知道直角三角形與其它類三角形的區別，但在相關計算時，有時又容易出現這種含混不清的處理方式.因此，在侗族地區實施數學教育時應高度重視這個問題.

圖1 八角鼓樓樓冠

圖2 八角鼓樓樓冠正射影

不過，沒有文字的侗族，為了減輕鼓樓建筑師記憶的負擔，也便于建筑工人的操作，在樓冠的屋面三角架（圖3）的制作中他們類比公式（3）得到公式（3′）來實現這個計算，不失為明智之舉.

有意思的是，上述侗族鼓樓建筑師在直角三角形“已知鄰邊求對邊”的問題上，類比正八邊形的“已知半徑求邊長”的公式，得到圖3中直角三角形OAiBi的三邊恰巧是“勾3、股4、弦5”的關系.

圖3 三腳架

在復合型八角鼓樓中，通常第一、二層是四面倒水，從第三層起變為八面倒水，建造時還涉及如圖4的相關計算，即若正方形邊長AB=1，則圖4中較大（與最外層正方形相接）的正八邊形的邊長A1E是多少？點A1應在對角線OA上的什么位置？A2呢？第二個正方形的邊長是多少？等等.

當然，與八角鼓樓相關的計算還有很多，如有關角度的處理，等等，在此不再贅述.

3.2 與正六邊形相關的計算

建造六角鼓樓，需要制作正六邊形.進一步調查發現，黎平縣境內有部分鼓樓建筑師用“九五分六角”的方法去近似地6“等分”圓周，這是古代侗族對角度概念尚未完全掌握的歷史條件下6等分圓周的近似方法.即制作一個對邊為9市寸（市尺、市寸是侗族至今仍然普遍使用的長度單位），鄰邊為5市寸的直角三角板（如圖5），在這個直角三角板中，較大的一個銳角約為6055′° （接近60°），用這個較大的銳角當作60°角去“等分”圓周，得到正六邊形，以實現6角鼓樓的建造.6“等分”圓周具體過程如下：

（1）在圓柱形（實際上是不規則的）木料的一個底面（如圖6）上作線段PQ及中點O，用如圖5的三角板ABC中的點A與點O重合，AC邊與OQ邊重合，AB與底面圓周交于點M，連接OM，得到∠MOQ≈6055′° .

圖4 相關計算

（2）作OM的反向延長線與底面圓周交于點N，得到∠NOP=∠MOQ.

（3）用三角板ABC中的點A與點O重合，AC邊與OQ重合，AB與底面圓周交于另一點R，再用三角板ABC中的點A與點O重合，AC邊與ON重合，AB與底面圓周交于點S，在RS弧上找到中點T，連接OT.

（4）作OT的反向延長線與底面圓周交于點W（如圖6所示）.

就這樣，實現了6“等分”圓周的目的，每個角的誤差都不超過55′.

有時候他們干脆將上述的步驟（3）及（4）簡化為：

（3′）如圖6，用三角板ABC中的點A與點O重合，AC邊與OQ重合，AB與底面圓周交于另一點R，連接OR，再作OR的反向延長線與底面圓周交于點D，以此實現6“等分”圓周.但這樣做∠NOR和∠MOD的誤差較大，接近150′° .

以上說明，古代侗族在不完全掌握角度概念的情況下，通過長期的實踐總結出了這種獨特的“九五分六角”的近似計算方法，實現了6“等分”圓周的目的.同時也說明古代侗族早已掌握了“對頂角相等”這條古老的命題的應用.

圖5 三角板

圖6 輔助線

3.3 鼓樓中的近似計算

在鼓樓建筑中，無論是四角鼓樓、六角鼓樓或是八角鼓樓，近似計算都是無法回避的事實.例如，上述用“九五分六角”的方法得到正六邊形，就屬于近似計算問題.還有，運用公式（3）計算正八邊形的邊長就是一個取邊長的不足近似值的近似計算，誤差不超過0.015 5，這在半徑不超過3 m的樓冠上誤差不到4.65 cm；鼓樓建筑師處理這樣的誤差問題全憑長期的做工經驗，并根據柱頭的大小、正八邊形半徑的長短來估計誤差大小，進而去彌補不足近似值，同時還利用杉木的忍性在連接兩個柱頭的木枋上做成如圖7這樣的兩個“魚尾”彌補其不足，同時“魚尾”又起到了掩蓋柱眼以增強建筑的美感和固定柱子位置的作用.真可謂是巧奪天工.

圖7 魚尾

在鼓樓建筑中還經常遇到求正方形對角線長的問題.鼓樓建筑師通常采用的計算方法是：

侗族生活中沒有無理數的概念，但以上說明他們如同其他民族或地區的文明一樣利用了有理數做近似計算，而且無論是四角鼓樓、六角鼓樓或是八角鼓樓，在相關的長度計算中一般都取不足近似值，不足部分留給兩個“魚尾”去彌補，這是侗族鼓樓建筑中近似計算的基本特征.

3.4 鼓樓中的黃金分割

美的建筑一般都與黃金分割比例相關，鼓樓也不例外.

帶著問題，項目組對鼓樓的各部分結構進行了專門的測量，發現有為數不少的鼓樓在結構上十分接近黃金分割比例，內部結構中的主承柱、檐柱、瓜柱分拉枋的分點也都十分接近黃金分割點.

例如，從江縣增沖鼓樓高25 m，內有4根主承柱，高15 m.該鼓樓由樓體、樓頸和樓冠3部分構成，從遠處眺望似人體一般形狀，以樓頸為分點其樓體高（即為主承柱高度）15 m與樓高25 m之比是0.60，十分接近黃金分割比例，這恰似咽喉是人體結構中的一個黃金分割點一樣[4]，鼓樓樓頸是其黃金分割點.

再如，圖8是從江縣的則里鼓樓平面圖[3]，A和D為檐柱，B和C為主承柱，其中AB=CD=265cm ，BC=410cm ，由此，BC≈0.6074AC=0.6074BD，即點B（或點C）接近線段AC（或線段BD）的黃金分割點.

圖8 則里鼓樓平面圖

還有，圖9為從江縣小黃鼓樓的一排翹檐的結構圖，經測量，A1A2=107cm，A2A3=57cm，A3A4=B2B3=65cm，A4A5=173cm，B1B2=95cm，B3B4=48cm，B4B5=125cm ；由此，A1A2≈0.6524A1A3，點A2較接近線段A1A3的黃金分割點；A3A5≈0.5920A1A5，點A3更接近線段A1A5的黃金分割點.而B1B2≈0.5938B1B3，點B2與線段B1B3的黃金分割點的誤差較之更小；B1B4≈0.6246B1B5，點B4接近線段B1B5的黃金分割點的程度更好.

此外，對其它鼓樓的翹檐等結構的實地測量，如黎平縣紀堂鼓樓等，也得到類似的結果.

黃金分割比例的應用，不僅僅是鼓樓造型美的需要，它還蘊涵著豐富的力學原理.對此，侗族鼓樓建筑師沒有做任何解釋，面對著這些百年以上的鼓樓，我們只能說這些人類早期文明的數學文化以鼓樓為載體通過侗族建筑師心傳口授傳承至今.

圖9 小黃鼓樓的一排翹檐的結構圖

4 等差數列求和公式在侗族生活中的應用

侗族長期過著自給自足的生活，男耕女織千年不變.圖10是侗族家庭中常用的織布機.圖11是圖10中卷布筒的橫截面示意圖.

調查發現，侗族婦女織布時通常能夠根據圖11中半徑OB的大小估算出布匹的長度.例如，要織一匹長度為18m的布匹（不妨設布的厚度為0.1cm，卷布筒的半徑OA=3cm），她們只需要看這卷布的外圈半徑OB的大小約為8m就知道布匹長度基本達到要求.這是長期的實踐經驗告訴她們如何通過半徑OB的大小估算其布匹的相應長度，其實她們的“估算”可作如下解讀：

依題意，假設繞在卷布筒上的第n圈的半徑為an，顯然，a1，a2，…，an，…，構成一個等差數列，其中a1=3+0.1，公差d=0.1；又設布匹的總長度為Sn，取b1=2π×3.05，由等差數列求和公式知：

即n=51；此時布筒的外圈半徑約為：

本例與現行高中教材“銅片繞在圓盤上”的問題類似，它顯然是高中教材的一個補充和拓展.

圖10 侗族織布機

圖11 織布機卷布筒的橫截面

侗族鼓樓建筑師在鼓樓的建造過程中，也經常用到等差數列知識去計算相關的問題使做工達到分毫不差的程度.圖12是鼓樓樓冠側面裝飾圖[5]，共有4個側面，每個側面的裝飾圖案自下而上、從左到右按一定的規律排列.圖中每3個直角扇形為一組，每相鄰的兩個側面的兩組共由5個直角扇形構成（其中位于側棱上的直角扇形為兩組公共的扇形）.圖中的每個側面自下而上從第一層到第五層依次為6、7、8、9、10組，分別有18、21、24、27、30個直角扇形，而4個側面的第一層到第五層的直角扇形依次是68、80、92、104、116個，4個側面總共需要460個直角扇形.而且每一組直角扇形的中間一個都與另兩個不同，即中間一個為圖13中的陰影部分OPQ（為了敘述的方便我們也稱它為直角扇形），另兩個才是真正的直角扇形.形如圖13的這種直角扇形共有160個，真正的直角扇形為300個.對如此繁雜的數據，鼓樓建筑師能在施工前準確無誤地計算出來，他們是用等差數列及其求和公式實現的，盡管他們因沒有文字而無法表達其計算公式，調查中，發現他們大多應用公式

進行等差數列求和的運算.

圖12 鼓樓樓冠側面裝飾

圖13 直角扇形

類似地，六角和八角鼓樓樓冠側面裝飾圖的直角扇形的數目更大，他們同樣能夠運用等差數列求和公式進行計算.

還有，鼓樓自下而上每層的正八邊形的半徑也呈等差數列[6].

5 侗族生活中的平面鑲嵌

在侗族地區不僅僅保留侗族所特有而其他民族所沒有的鼓樓，也保存著農耕文明時期的侗族民居，是中華本土建筑文化的“活化石”，同時，還傳承著豐富的竹編等傳統工藝，難能可貴的是這些建筑和傳統工藝中蘊涵著豐富的數學文化.

圖14是侗族地區常見的竹編，顯然，圖中是由邊長相等的正三角形和正六邊形兩種圖形鑲嵌成的一個平面.

圖15是侗族民居窗戶的花格，顯然，它也是由正三角形和正六邊形兩種圖形鑲嵌成的一個平面，所不同的是，此時的正三角形邊長是正六邊形邊長的兩倍.這為研究者研究當正三角形的邊長是正六邊形邊長的n倍時能鑲嵌成一個平面（圖16）提供了現實模型.

在侗族的傳統工藝中，如上所述的窗戶花格，還有服飾中的圖案等都有豐富的鑲嵌問題.而且正三角形、正四邊形、正六邊形，以及正三角形與正四邊形、正三角形與正六邊形鑲嵌成一個平面的模型都有.

圖14 侗族地區竹編

圖15 侗族民居窗戶花格

圖16 平面鑲嵌模型

6 侗族服飾中的數學文化

侗族女性的服飾千姿百態，或款式不同，或裝飾部位不同，或圖案和工藝不同，或色彩和發型、頭帕不同.服飾注重審美，樸素與華貴相得益彰，充分展示出侗族女子的聰慧和高超技藝，是民族文化之瑰寶.

常見的侗族織錦，其圖案分布規律性強，由大小相等的菱形依次相接排列而成，每個菱形內都有1朵花，每一朵花又由8個菱形的花瓣構成（如圖17a），兩個菱形之間的上下空白處分別繡有4個花瓣（如圖17b）.按照規律，作出圖17c，如果需要，還可以繼續作出相關的圖形.這除了是一個等差數列問題，還與平移變換、對稱等數學知識相關.

圖17 侗族織錦

再看圖18，這是侗族女孩子經常穿戴的圍腰，圖形自上而下，圍腰外圍和里面的圖案都有很多條弧線，圖案優美、和諧大方.這里無疑蘊涵著豐富的數學文化，恕不一一列舉.

圖18 侗族女孩子穿戴的圍腰

侗族服飾、刺繡，特別是挑花、數紗繡等工藝與圖形的全等（包括圖案的對稱平移）、面積的大小和圖案各線段的長短都有關系，它有著豐富的數學文化內涵.在民族地區實施數學教育，若能注意參考這些民族文化，創設必要的數學情境，對提高少數民族女童對數學的認識和理解，其效果不言而喻.

7 “二分法”是侗族常用的數學方法

“二分法”是基本的數學方法，是新一輪數學課程改革中新增加的教學內容.其實，在侗族數學活動中早就有“二分法”的應用.

如前所述，侗族生活中的乘法運算公式（1）就有效地運用了2和的倍數將乘法轉化為加減法的運算，這里充分體現了“二分法”在乘法運算中的應用.

“二分法”在侗族的生活實踐中也有著廣泛的應用.

圖19是古代侗族傳承下來的碾米房的水輪車.該水輪車依靠水的沖力使其轉動，形成動能，并通過軸心的立柱帶動上一層石巢軌道的石輪轉動，以實現碾米功能.這個水輪車主要由兩個同心圓和連接同心圓的木板和木枋構成，這本身就蘊涵著豐富的數學和力學原理.制作時，首先運用前述“九五分六角”的方法獲得6個圓心角約為60°的“全等”扇環，然后分別在每個扇環中插入1片葉片，將扇環分為兩個全等的扇環，用同樣的方法依次將扇環“一分為二”，使每個圓心角為60°的“全等”扇環插入7片葉片，在圓弧上實現了水輪車葉片的加密.克服了在對角度概念還不清晰的情況下n等分圓弧帶來的困難.

圖19 碾米房的水輪車

研究者還注意到，如前所述，鼓樓樓冠的屋面需要制作如圖3的三角架，AiBi長度的確定一般也是通過公式（3′）來實現的.而鼓樓樓冠以下的各層翹檐也要制作如圖3的三角架，角O的大小與長度的確定是將公式（3′）中的7i改為5而實現（如圖20）：

圖20 鼓樓樓冠以下的翹檐測量

AiBi(單位：市寸)=5×OBi(單位：市尺) （3′′）即，直角三角形的“對邊是鄰邊的一半”.

需要說明的是，圖20是對鼓樓樓冠以下的翹檐測量的結果，單位是cm，而侗族所用的工具是市尺，且侗族測量或計算到市寸以后的數字通常忽略不計，所以，數據有誤差.但如果轉換為市尺并按照侗族的這一習慣的方式進行測量和計算，那么125 cm=3.75市尺，其中第二位小數中的5是市寸以后的數字忽略不計，他們只記為3.7市尺，將OBi=3.7市尺代入公式（3′′）得到AiBi=18.5市寸，而這里第一位小數中的5是市寸以后的數字又忽略不計，故取18市寸（即60 cm），這正好是測量的結果[3].

侗族民居中的屋面三角架一般也是應用公式（3′′）制作成為“對邊是鄰邊的一半”的直角三角形.這讓研究者再一次地看到了“二分法”這一基本的數學方法在侗族生活中的廣泛應用.

8 結 束 語

綜上所述，侗族特有的鼓樓、民居、民間工藝、服飾及刺繡等都是侗族數學文化的重要載體，侗族從日常生活中的基本運算到生產實踐的數學應用所表現出來的古樸的數學思想方法具有鮮明的文化特征，這說明古代侗族對經典數學有了較好的理解和應用，她再現了中國古代數學應用之一斑.古老的侗族傳承著人類古老的數學文化.

研究侗族數學文化的根本目的在于弄清侗族學生學習數學的文化基礎，以適時地在侗族地區實施跨文化數學教育，為全面提高侗族地區的數學教育質量發揮積極作用.

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