中日兩國小學數學課程統計與概率的比較研究

劉 曌，楊光偉，唐恒鈞

（浙江師范大學 教師教育學院，浙江 金華 321004）

20世紀末開始，世界各國都將“統計與概率”的初步知識作為數學素養的一部分引入小學至高中的課程中.學生應該了解數據分析和有關概率方面的知識，并能做出統計判斷——這是成為見識廣博的公民和明智的消費者所必備的技能[1].中國于2001年頒布的《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》首次將“統計與概率”、“數與代數”和“空間與圖形”等并列作為一個獨立的學習領域，重視程度可見一般，但在課程改革深化過程中如何合理開展此領域的教學還需較長時間的探索.日本與中國同屬于東亞文化圈，對中日兩國數學課程標準的比較研究，可為中國數學教育改革提供借鑒與啟示.

中國和日本分別于2011年12月和2008年3月頒布了《義務教育數學課程標準（2011年版）》[2]（以下簡稱《新標準》）和《小學校學習指導要領 算數》[3]（以下簡稱《要領》），其中對小學數學中統計與概率的內容和要求都進行了詳細闡釋.這里主要以中國《新標準》和日本《要領》為依據，對兩國小學數學中統計與概率的課程目標、內容選取、組織方式等進行比較分析.

1 課程目標的比較研究

首先，兩國一致認為統計概率初步知識是未來社會公民必備的基本素養之一.中國《新標準》中明確指出“數學課程是培養公民素質的基礎課程”，“數學素養是現代社會每一個公民應該具備的基本素養”[2].“統計與概率”作為數學4個學習領域之一，貫穿于中國小學數學課程的全過程，在兩個學段都有重要體現，并且十分強調與學生基本活動經驗的結合.日本中央教育審議會的報告中明確指出新課改的基本理念為“培養學生的生存能力”[4].生存能力是未來公民在快速發展與激烈變動的社會中生存下去的基本能力，統計與概率也是本著這一基本目標始終貫穿于日本小學的六個學年，在注重基本知識與技能的同時，強調培養學生現代社會所必須的生存能力.

其次，兩國均強調在基本知識與概念學習的基礎上，加強能力的訓練.中國《新標準》中提出學生要能根據實際問題設計簡單的調查表，能選擇恰當的方法（如調查、試驗、測量）收集數據；能從報紙雜志、電視等媒體中，有意識地獲得一些數據信息，并能讀懂簡單的統計圖表[2].日本《要領》中也指出學生要通過數學活動，掌握基礎知識與基本技能，進而能將所學運用于日常生活中的現象；要培養學生數學表達的能力，體驗數學活動以及處理數據的樂趣，并養成積極的生活和學習態度[3].可以看出，雖然兩國都重視知識與能力的同時發展，但是中國特別強調統計過程的體驗、統計思想方法與觀念的形成，而日本更強調培養學生將統計知識及思想運用于社會生活中的能力，注重幫助學生體驗學習的快樂，以及培養學生積極的生活態度.從日本全國統計教育研究協會所公布的小學1～6年級的統計學習項目[5]可以看出，日本尤其重視統計思想的社會及人文關懷應用價值.項目主題有：我愛爸爸媽媽；關心朋友——調查身邊的三年級同學；芬蘭兒童的游戲；我所在的縣生產的大米和蔬菜；我們一起救救世界的兒童吧——通過兒童基金會活動；世界人口與糧食供應等.內容涉及了良好的生活學習習慣、對親情友情的關注、世界兒童及老人的生存狀況、科技、以及社會公共事業、環境保護等各方面內容.

2 內容標準的比較研究

日本文部科學?。ㄏ喈斢谥袊逃浚┯?008年3月頒布的《要領》中對“統計與概率”領域的內容標準，分6個學年分別進行了詳細闡釋.中國教育部于2011頒布的《新標準》中對小學“統計與概率”分1～3年級、4～6年級兩個學段進行詳細說明.為了比較的可行性與可信度，鑒于日本普通基礎教育的學制與中國相同，均采用“六三三”制，在此以中國《新標準》和日本《要領》為依據，將日本內容標準也分為1～3、4～6兩個學段進行比較分析.

中日兩國在內容選取上既有相同之處，又各有側重.兩者在共同的內容選取上都遵循了基礎性、普及性和發展性的原則，選取了統計學中最基本，且適用性最廣泛的知識，也都是未來公民所必須掌握的基本知識.同時，兩者都非常重視教學生體會數據分析的觀念，要了解在現實生活中有許多問題應當先做調查研究，對數據進行收集、分類、整理，體會數據中蘊含的信息，并通過分析做出合理的預測與判斷；了解對于同樣的數據可以有多種分析和表示方法，不同的分析和表示方法可以得出數據不同方面的信息.

在第一學段的內容選取上中日兩國差異不大，均是以統計初步知識為主的，包含簡單的數據分類、整理，數據的圖表表示.鑒于1～3年級的學生還處于皮亞杰認知理論的“具體運算階段”，對事物的認識依賴于具象的物體，中日兩國所選取知識正是以具體事物為依托.比如日本《要領》中提到，會用繪畫或者圖表表達具體的物體個數，中國《新標準》中的表述為，“能用自己的方式（文字、圖畫、表格）呈現數據結果”.同時，中日兩國都非常注重從低年級開始培養學生運用數學語言進行表達與交流的能力.

第二學段的內容選取上兩國顯現出了較大的差異，主要是在概率部分，日本在小學兩個學段均不涉及概率相關內容.其中統計部分最突出的不同在于數據分析部分內容選取的差異.《新標準》要求學生理解中位數、平均數、眾數的意義和特征，并能以這些統計量表示數據的不同特征.而日本《要領》在數據特征值部分僅介紹了平均值，除此之外還要求學生理解頻數的概念和意義，并能依據此來分析數據的離散程度以及其他特征，在此基礎上介紹了頻數分布直方圖.頻數概念以及頻數分布直方圖在中國小學數學中是沒有涉及的，到初中階段才有了初步介紹.第一學段和第二學段中日小學“統計與概率”的內容標準，如表1和表2所示.

表1 第一學段中日小學“統計與概率”的內容標準

日本在小學6個年級均不涉及概率知識，僅在小學六年級介紹了頻數概念，為學生以后學習概率做了鋪墊.《新標準》中則要求學生感受和理解隨機現象發生的可能性，并能對一些簡單隨機現象發生的可能性大小進行定性描述.中國于2001年新課程改革首次將“概率”內容納入小學數學中，但是，對于可能事件、概率大小這種不確定思維的理解，小學生能否接受以及接受的困難程度，在學術界還是頗受爭議.2011年頒布的《新標準》中取消了對第一學段“可能性”的要求，就說明了在實踐證實下，低年級兒童對理解可能性還是存在一定困難的.皮亞杰曾提出處于具體運算階段（從七八歲到12歲左右）的兒童“還不能對兩個成比例的組或一個組在同時改變其全體與部分的前后進行比較”[6].其理論認為處于6～12歲的小學生學習概率知識是不恰當的.但是其后的研究者認為教育的能動作用可以使處于具體運算階段的小學生也能接受初步的概率知識.由此看來，中國將概率納入小學也是有其理論依據的.但是如何合理兼顧學生的認知發展規律，進行內容組織還需進一步探討.

表2 第二學段中日小學“統計與概率”的內容標準

3 內容組織的比較研究

兩國在小學1～6年級均安排了“統計與概率”的內容，從宏觀上看，兩國的組織方式基本相似，均分為兩個學段進行.第一學段（1～3年級）引入的均是單數量的數據分類、整理、表示與分析，第二學段（4～6年級）過渡到兩種數量關系的數據分類、整理、表示與分析.但是在具體的組織方式上卻有顯著差異.中國“統計與概率”的內容組織由易入難，環環相扣，步步推進，對于每一個知識點都有具體詳盡的要求，并且由表1、2也可看出中國的知識點較多且分散；而日本內容組織的特色在于層次清晰，重點突出.《新標準》中明確提出了9處統計、2處概率，共11處的重點內容；而日本則是每學年一個學習主題，共6個知識重點.

同時可以注意到兩國都非常重視培養學生數學的交流表達能力.《新標準》中明確提出體會運用數據進行表達與交流的作用，能用自己的語言解釋其實際意義，能對統計結果進行簡單的交流.《要領》中也多次提到能夠表達物體的個數、表達圖表傳遞的信息.數學的表達與交流是在以往數學教育中經常忽視的問題，僅僅交給學生硬邦邦、無生氣的數學，忽視語言能力的培養，最終導致的就是“啞巴數學”的誕生.另外，區別于日本《要領》，《新標準》中單獨提出了可使用計算器進行簡單的數據整理與分析，能從報紙、雜志、電視等媒體獲得數據信息，通過試驗、游戲等活動感受隨機現象結果發生的可能性是有大小的，可見中國在組織方式上非常重視現代信息科技、生活游戲等在統計與概率教學中的應用.

4 對統計與概率內容實施的思考及教學建議

4.1 合理突出學年重點并兼顧學生認知發展規律

應該精選合適的關鍵內容，合理突出學年重點.從中日的學年內容標準比較可以明顯看出，日本小學的“統計與概率”領域每學年都有一個關鍵知識點，而中國相對來說每學年的知識點分布較多且分散.埃里克森認為處于6～12歲階段的兒童最關鍵的任務是發展能力感，樹立學習自信心，培養勤奮向上的個性品質.過多且分散的知識點容易造成學生過重的學業負擔，進而會影響一部分兒童的學習積極性，造成學習挫敗感，更有甚者會影響兒童今后學習數學的信心.

在此基礎上，還應兼顧學生認知發展規律才能保證學生在原有的經驗基礎上，經過同化和順應得到認知水平的發展.將適合且關鍵的知識放在相應的年齡段進行教學，才能取得良好的教學效果.因此建議按照《新標準》要求去掉三年級關于可能性的教學內容（現行教科書中三年級安排有“可能性”）.研究表明，小學三、四年級學生在“認識可能性”方面，在“比較可能性大小”時，所有學生都使用還不涉及比例和簡單模型的說理方法，判斷某些簡單事件發生的可能性還存在著一定的困難；“設計可能性”的能力水平比較低，大部分小學生缺乏對“可能性”進行定性與定量描述的一種逆向思維[7].由于統計概率思維與確定性思維存在著很大差異，小學低年級的學生對其的理解還存在一定困難，過早引入概率知識與學生的認知發展水平和思維模式都不相適應，反而會導致學生的機械記憶和思維困擾.

4.2 加強數學學科知識與學科間知識的聯系

統計與概率的教學不是孤立存在的，而是與代數、幾何等知識組成了系統的數學理論.然而在以往的教學中經常將數學按領域、模塊劃分，將統計與概率作為獨立的內容進行教學，實則這樣不易于學生形成對數學整體的認識，而且打散了知識間的聯系.小學統計課程內容應根據學生的實際，著眼于學生全面發展，體現數學的現實性.現實的數學往往是幾何、代數、統計等內容相互交織在一起的常常伴隨豐富的情境和引人入勝的數學化過程[8].因此進行統計教學時也應發展學生的代數思想，運用幾何圖形亦可以幫助學生進行直觀的數學統計.事實上，將代數、幾何、統計與概率作為一個整體內容傳授給學生，有助于學生對數學知識的整體把握，有利于學生的未來發展，有利于培養學生的創新精神和實踐能力[9].在加強數學學科知識聯系的同時，還應該注重學科間知識的聯系與融合.統計與概率的教學不是孤立存在的，它的廣泛應用決定了教學中應關注與其它各學科的聯系.例如小學品德與社會科目中，對身邊城市的統計、交通工具的調查、所在地區農作物的種類統計等；小學科學中溫度的變化、我所認識的植物等，都可以作為統計與概率學習的素材.將學生所學到的各學科知識都能合理地滲透到統計與概率的教學中，會有助于學生形成對數學、對統計與概率的進一步認識，也有利于培養學生的實踐能力與應用意識.

4.3 加強統計思想在學生生活中的實際應用

中國“統計與概率”教學中特別強調統計過程的體驗、統計思想方法與觀念的形成，而往往忽視了統計思想在社會生活中的實際應用.導致了部分學生認為學習統計概率是無用的，只是為了應付考試等，形成了錯誤的數學觀.這是中國數學教育的理論與實踐中亟待解決的問題之一.孔凡哲提出“‘螺旋式上升’可以通過深度、廣度、應用等3個維度逐步完成，而并非僅限于深度、廣度兩個維度.”[10]在兼顧知識廣度與深度的同時，知識的應用也應同步跟進.隨著社會的進步、信息技術的發展，小學生的社會生活經驗也日益豐富起來，應該在教學中加強統計思想在學生生活中的實際應用.中國可以借鑒日本在這方面的做法，從日本全國統計教育研究協會所公布的小學1～6年級的統計學習項目[5]可以看出，日本尤其重視統計知識在鍛煉學生社會生存能力方面的價值，其內容涉及了良好的生活學習習慣、對親情友情的關注、世界兒童及老人的生存狀況、科技、以及社會公共事業、環境保護等各方面內容.每個年級設置與學生的年齡特征、認知發展水平以及生活經驗相符合的學習項目，有操作性的實際調查活動，也有數據資料性的閱讀體驗，讓學生在豐富知識的同時，真實地體驗統計與概率在生活中發揮的巨大作用.

[1]全美數學教師理事會.美國學校數學教育的原則和標準[M].蔡金法譯.北京：人民教育出版社，2004.

[2]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2011.

[3]日本文部科學省.小學校學習指導要領算數[EB/OL].http://www.mext.go.jp/a_menu/ shotou/new-cs/youryou/syo/index.htm, 2012-5-28.

[4]中央教育審議會.幼稚園、小學校、中學校、高等學校及び特別支援學校の學習指導要領等の改善について（答申）[EB/OL].http://www.mext.go.jp/b_menu/shingi/chukyo/chukyo 0/toushin/1216828.htm, 2012-5-28.

[5]日本全國統計教育研究協議會.小學1～6年級統計學習筆記（教師用）[EB/OL].http://www.naruto-u.ac.jp/kyozai/toukei/s/ teacher_main.html, 2012-5-28.

[6]Piaget, Inhelder.The Origin of the Idea of Chance in Children [M].New York: Norton, 1975.

[7]李林波，李振蕊，陳麗敏，等.小學生對“可能性”理解水平的調查分析[J].數學教育學報，2010，19（6）：60-63.

[8]劉久成.小學統計教學六十年發展研究[J].數學教育學報，2011，20（5）：30-31.

[9]郭民.中美兩國義務教育階段數學課程中統計與概率內容的比較研究[J].外國中小學教育，2008，（5）：39.

[10]孔凡哲.基礎教育新課程中“螺旋式上升”的課程設計和教材編排問題探究[J].教育研究，2007，（5）：62-68.