中日三角比內容比較——以上海教育出版社和數研出版社出版的教科書為例

陳月蘭

（華東師范大學 數學系，上海 200241）

1 引 言

“三角比”這個知識無論在中國還是在國外都是非常重要的數學內容，它是連接代數與幾何的重要紐帶之一.中國和日本同處于亞洲，由于受中國文化特別是儒家思想的影響，日本在對待教育、思考問題等方式上與中國有很多相似的地方，比如重視教育、注重基礎等.然而隨著時代的變遷，西方教育理念的引入，日本在一些觀念上也發生了變化，這些差異同樣反映在數學教科書編寫與內容處理方式上.這里將以日本數研出版社（岡部恒治主編）等出版的《高等學校數學I》[1]（2011）（以下簡稱教研社教科書）和上海教育出版社出版的《數學》（2007）（以下簡稱上海教科書）為原始材料，選取“三角比”內容，進行深入細致的比較研究，詳見表1.

表1 基本信息

2 研究問題

主要圍繞3個問題展開，首先，中日兩國關于三角比主要內容和順序上有何特征；其次，知識點的呈現方式；最后，三角比概念核心定理——正余弦定理在構建上有何特征，進行深入研究.

3 研究方法與結果

關于教科書比較的研究方法的文獻有很多，既有宏觀的又有微觀的，既有本國教科書之間的比較（Mesa（2010））[4]，又有國際（Stevenson和Bartsch（1992））[5]或跨文化的研究（Li（2000），Son（2005）[6～7]，Charalambous et al.（2010））.根據這里的研究問題，將借鑒Charalambous et al.（2010）[8]的研究方法，構建宏觀與微觀的研究框架，宏觀層面主要從教學目標、內容順序兩個視角展開；微觀層面將從知識呈現、三角比概念核心定理的構建兩個視角進行比較.

3.1 宏觀層面

3.1.1 主要內容及順序

打開上海與數研社教科書，可以發現教科書的編寫風格比較接近：簡潔，結構緊湊.比如上海教科書編寫格調基本上是：引言—引入概念或定理—例題—練習—本章小結；數研社教科書是：引起關注—導入—概念或定理—例（或例題或應用例題）—練習（注意）—補充習題—章末習題A—章末習題B.

上海與數研社教科書的差異也是顯而易見的，首先是整個高中數學教科書的冊數不同：上海數學高中教科書分為高中一年級第一學期、第二學期，高中二年級第一學期、第二學期，高中三年級，高中三年級理科拓展、高中三年級文科拓展，共計7冊；數研社教科書是數學I，數學II，數學III；數學A，數學B，數學活用，共6冊.尺寸大小差異，上海教科書是大開本A4（16 k，297 mm * 210 mm）尺寸，數研社教科書是A5（32 k，210 mm * 148 mm）尺寸，大約只有上海的一半；其次是內部，比如同樣是例題，數研社分為例、例題和應用例題3類.“例”在解答題目時帶有說明，重點部分會用顏色標出；而“例題”則沒有這些，有的是明顯的“解答”字樣，為學生解答做示范；“應用例題”除了有解答，還列出了思考方法.這說明日本是非常注重細節的，安排的例題用意也是不一樣的.

這里所指的主要內容是指“三角比”章節中出現章節名、單元名、黑體字.上海教科書初中“銳角三角比”主要有比值、名稱（正弦、余弦、正切和余切）、銳角三角比定義、特殊角的三角比、一般角的三角比、計算器）求銳角的三角比的值、解直角三角形、解直角三角形的應用.高中主要有：任意角的度量（包括2kπ+α）→弧度制→任意角的三角比（正弦，余弦和正切）→同角三角比關系→誘導公式（-α，π+α，π-α）→兩角和與差的余弦、正弦和正切→二倍角與半角的正弦、余弦和正切→正弦定理→余弦定理→應用（解斜三角形，測量）.

日本銳角三角比的主要內容有比值、名稱、三角比定義、解直角三角形、特殊角的三角比、一般角的三角比、查表）→同角三角比的關系→誘導公式（90°-α）→三角比概念擴充到鈍角（0°≤α≤180°，正弦，余弦和正切）→誘導公式（180°-α）→同角三角比的關系→特殊角：0°,30°,……，180°的三角比→正弦定理→余弦定理→定理應用→三角形面積（正弦與三角形面積、多邊形面積、三角形的內切圓與面積、海倫公式）→在立體幾何中的應用（利用定理測量實際立體問題，利用定理求體積、二面角的平面角等）.

比較分析：從上面列出的主要知識點和順序可以發現，兩國教材主要內容相似，高中三角比基本上都是沿著任意角的三角比→同角三角比的關系→誘導公式→正弦定理→余弦定理→應用這條路線走的.但在細小處理上有差異.比如上海教科書從銳角一下子擴充到任意角，角度制與弧度制混合使用，后者為主；日本在同角三角比關系與誘導公式之間有一次小的迂回；多了一個環節——鈍角，即按照銳角→鈍角→任意角這樣的小步制擴充方法進行，仍然是角度制.從角擴充的跨度到弧度制的采用，折射出上海教科書步子大、內容相對集中，體現了一定系統性的同時，也暴露出與其它知識聯系不夠緊密的弱點；數研社教科書顯得比較保守，步子小、鋪墊到位，求一般角的三角比時拒絕計算器而是采用傳統的三角比表.應用范圍廣，從求三角形面積、測量三角形邊或角、三角形內切圓與面積、多邊形面積、求體積、求二面角的平面角、空間圖形的邊角關系等.在應用過程中為學生編織了一個知識網，這和他們在教學目標（高等學校學習指導要領2009）[9]中所提倡的理念，即通過數學活動、通過應用感受數學的好處相吻合.

結論：兩國主要內容相似都強調概念的理解、關注基礎，體現了中日的共性.但在角的擴充速度上、對一般角的處理上以及應用上存在差異.

3.2 微觀層面

3.2.1 呈現方式

如同前面所述，“三角比”是基礎數學中一個非常重要的內容，因此相關的具體知識點有哪些異同？又是如何呈現的是一個值得探討的問題，為此對上海教科書與數研社教科書進行了一番梳理，其結果如表2所示.

比較分析：從表2中可以清晰地看到，兩種教材都把這部分內容定義為“三角比”（注意有的國家或地區稱為銳角三角函數），主要知識點上接近均有銳角三角比概念、鈍角三角比概念、同角三角比關系、90°、180°的誘導公式、正弦定理、余弦定理、應用以及測量等兩國都有，且都被安排在必修中；但在時間安排、知識應用、角度度量和一般角的處理方式上顯示了差異：

（1）內容與學段.上海教科書把三角比這部分知識分成“銳角三角比”與“任意角三角比”兩大塊處理.前者被安排在初中（9年級第一學期），后者被安排在高中（10年級第二學期），這說明了上海數學課程體系正在由原來的直線型向螺旋式發展；日本雖也是分階段完成的，高一學三角比主要涉及銳角和鈍角，高二學“三角函數”，內容有任意角、兩角和、倍角、半角的正弦余弦等.另外，日本學者認為“比”這個概念與除法、函數概念有很強的內在聯系，是數學中的難點和重點，因此他們將通過小學滲透（Masami Isoda（2000）），初中正式引入，高中正規學習三角比、函數等3個階段完成.

表2 中日教科書三角比相關知識點對比

（2）角度單位.上海教科書初中“銳角三角比”中角度的度量均使用角度制，但一到高中馬上引入了弧度制，緊接著是任意角的概念；角的度量采用的是角度制與弧度制混用方法，角度制較少，除了P40、P41、P49、P56、P58上各有一題外，其余均為弧度制.由于任意角的概念日本要在高二的“三角函數”中才正式引入，因此在三角比這一章沒有涉及弧度制，全部采用角度制表示，因此顯得比較簡單不易混淆.

（3）對一般角的三角比處理方式上.上海初中“銳角三角比”部分，利用計算器來處理，比如P69上的例題2，高中則沒有涉及一般角.在數研社教科書上一般角是采用傳統的三角比表P123（見圖1）和附錄來處理的.從這個差異可以看出日本雖然在計算器領域比較先進，擁有像“卡西歐”這樣的品牌，但他們在學校教育，特別是基礎教育階段為保證學生的計算能力不輕易采用計算器或計算機.

結論：中日兩國在“三角比”相關知識點的選取上大體相同，但在時間安排、知識應用、角的度量方式以及對一般角的處理方式上表現出了差異.雖然三角比的內容上海要多于日本，但花費的課時數要少于日本，上海初高中課時數合計24節，共960分鐘；日本27（25～30）課時，看上去只多3節，但由于日本每節課是50分鐘，比中國（40分鐘）足足多了390分鐘，即實際比上海多了9課時，可見日本在主要內容上舍得花時間.

圖1 傳統的三角比表

3.2.2 三角比概念構建方式

關于三角比概念是用直角三角形好還是利用單位圓好，這在國際上是有爭論的，有的贊成用直角三角（Ellis, J.（1990））（Lloyd, D.G.H.B.（1976））、有的認為用單位圓好（Ince, L., & Johnston, A.（1988））（Shear, J.（1985）），還有認為兩者結合為佳（Ellery, P.（1980））（Satty, G J.（1976）），那么上海教科書與數研社教科書采用哪種方法呢？通過比較發現，上海在初中階段通過有公共銳角的直角三角形相似（3個畫在同一個圖中）得到相似比，從而得出給定直角三角形的銳角則比值是一個定數的結論；然后通過一個問題“當直角三角形中一個銳角的大小變化時，這個銳角的對邊與鄰邊的長度的比值隨著變化嗎”的解答，說明該比值隨著銳角大小的變化而變化，最后點出關鍵：在一個直角三角形中當銳角A的大小確定后，不論該直角三角形的邊長如何變化，∠A的對邊與鄰邊的比值總是確定的，稱為該角的正切（tantA）.然后依次給出cotA、sinA和cosA概念，從而引出三角比概念.高中則利用單位圓把三角比概念擴充到任意角（見圖2）.

圖2 上海教科書任意角三角比概念

日本最初銳角三角比的概念也是通過直角三角形引出的，首先給出兩個含有30°角的直角三角形，一大一小用兩個圖表示，得出相似比和具體比值，然后點出這些比值與三角形的大小無關，總是一個定植.繼而再用一個一般的直角三角形，設銳角為θ，斜邊為r，θ的對邊為y，鄰邊為x，再一次指出y/r，x/r，y/x的各值與三角形的大小無關，僅由角θ的大小決定，這些分別稱為正弦、余弦和正切，再引入符號，最后點出這些統稱為三角比.鈍角三角比概念則是利用半圓加直角三角形（見圖3）將銳角三角比概念擴充到鈍角.他的特色是通過鈍角、通過半圓過渡，比較仔細，這為后面任意角的擴充奠定了基礎掃除了障礙.

圖3 數研教科書任意角三角比概念

比較分析：上海與日本均采用直角三角形與單位圓兩者相結合的方式.差異在利用直角三角形相似時，上海是將3個直角三角形放在一個圖形中，強調的是“在一個直角三角形中當銳角θ的大小確定后，不論該直角三角形的邊長如何變化，∠θ的對邊與鄰邊的比值總是確定的”；日本雖然也是用直角三角形相似引出比值，但他們給出的兩個直角三角形都是含有30°角的特殊三角形，而且分別畫在兩個圖中，兩個三角形大小明顯不同.然后是一般的直角三角形，邊的名稱也變得抽象，分別用x、y、r表示，強調的是y/r，x/r，y/x的各值與三角形的大小無關，僅由角θ的大小決定.

從兩個圖形（上海是一個圖形）、特殊直角三角形（上海是一般直角三角形）、比值由銳角決定而與三角形的大小無關（上海的提法：一旦銳角確定，無論直角三角形的邊長如何變化，比值為定值）等細節中可以發現日本與上海的差異.日本在圖形表達和語言闡述上比較細膩，教科書編寫走的是一條從具體到一般的路線，強調學生的可接受度.同樣的內容日本是在高中教科書，中國在初中，因此難度上要高于日本.

結論：上海教科書與數研社教科書均采用直角三角形與單位圓兼并的方法引入三角比概念，不同的是在具體引入銳角三角比概念的方式上數研社教科書無論是在圖形的展示還是舉例方面比較具體、簡單容易接受.

3.2.3 核心定理——正弦定理與余弦定理的構建與證明方式比較

在三角比中有兩個重要定理，分別是正弦定理與余弦定理，下面將分別對他們進行比較.

正弦定理

圖4 正弦定理上海教科書推導過程

數研社教科書則通過探討三角形外接圓直徑與某個角的正弦值關系，運用分類討論思想將內接三角形分為銳角、直角和鈍角3種情況處理，均得到a=2RsinA，即=2R（P138）見圖5—7，涉及到的知識點是平幾中圓周角與同弧所對的圓心角關系，同理可以得到=2R，=2R.從而得到正弦定理：

圖5 正弦定理數研教科書推導過程1

圖6 正弦定理數研社教科書推導過程2

余弦定理

上海教科書通過求兩點間的距離推導出余弦定理.主要步驟：

（1）建立坐標：把一個斜三角形放在坐標系中；

（2）利用三角比確定三角形的3個頂點的坐標；

（3）兩點間的距離公式.

數研社教科書則通過勾股定理導出.主要步驟：

（1）過三角形某一定點作對邊的高，構建直角三角形；

（2）正弦、余弦三角比表示某兩條邊；

（3）利用勾股定理求出邊之間的關系.由于過某一頂點作高可能在形外，也可能在形內，所以需分類討論，但不管哪一種情況都能得到余弦定理.

比較分析：對于三角比中的核心定理正弦定理，兩國都運用了基本知識——三角比；相異處上海強調數形結合利用解析幾何解決問題，但未得到定值，定值是通過一個例題加以說明的；日本則注重三角比與平面幾何的聯系，不僅得到比值同時得到定值2R.后者的推導方法學生容易理解和記住定值2R，而通過例題的方式導出則不易引起學生的關注，畢竟定理與例題的地位不同.同樣余弦定理也用到了三角比概念，在具體方法上上海教科書偏向代數法，數研教科書偏向幾何.究其原因主要與其背后的教科書體系有關：在上海教科書中，平面幾何內容全部放在了初中，高中幾乎不涉及，因此采用代數方法也是情理之中.日本平面幾何內容分散在初中和高中，初中主要涉及三角形全等、相似、圓的性質（一部分）等，高中主要是研究三角形的幾個心、圓中的相交弦定理、圓與內接四邊形、兩圓位置關系等.因此此時日本用平面幾何知識來推導余弦定理則很自然.到底用代數法好還是幾何法好，在此不能妄加評論，但有一點是肯定的，從學生角度出發，哪種方法符合學生的認知或容易被接受理解哪個就是最好的.

圖7 正弦定理數研社教科書推導過程3

結論：（1）雖然數研社教科書沒有把任意角納入三角比中，但鈍角三角比的定義方式與上海教科書任意角的三角比的方式基本一致，前者利用半圓、后者利用整個圓.（2）兩國正弦定理的內涵不盡相同，上海是日本則為=2R.（3）在正弦與余弦定理的推導上，上海偏向代數法，日本則偏向幾何法，這反映出背后的不同課程體系，這將在討論中詳細闡述.

4 討 論

上海教科書和數研社教科書在“三角”這塊知識的前期都使用“三角比”這個專用術語，可見兩國都非常重視“比”的概念，要知道不是所有的國家和地區都是如此的.比如中國人民教育出版社出版的教科書數學①（2004）[10]上稱為“銳角三角函數”和“三角函數”.從上面的比較可以看到中日兩國數學教科書的邏輯性強，條理清晰，沒有過多地解釋，教科書結構緊湊.注重基礎、鋪墊到位、強調知識結構的完整等，這些都反映了中日數學的共性.與此同時也明顯看到兩國在“三角比”細節上的諸多差異，產生這些差異的根本原因可歸結為以下兩點：

其一是理念上的差異，日本在經濟上雖然屬于發達國家，然而與西方國家如美國相比是一個非常保守的國家，特別在教育方面尤為突出，從日本教科書中至今還保留平方根表、三角比表、BASIC語言等都印證了這一點.明白了這一點就不難理解日本為什么在中小學課堂上不積極使用計算器、計算機等現代技術了.日本除了上一輪（每10年大約一輪基本）1998年的數學課程改革幅度比較大（有些異常）以外，一般都非常謹慎，無論是一個知識點還是數學符號的引入都慎之又慎，要經過反復推敲、多次討論、權衡利弊后才作出最后決定，這些現象其實與日本民族有較強懷舊意識、拘泥細節強調完美有非常大的關系.與此相比雖然中國在經濟上不是發達國家，但中國處在改革開放的時代，特別像上海是一個易吸納新思想、接受新事物的城市，上海進行二期課改之時正好遇上美國、英國等試圖建立全國數學課程標準、日本學習指導要領修訂時期，從新課標中“學段”、“理念”等這些新名稱的使用不難看出受國外的影響之深、之快.然而西方的是否都是好的？中國前面的改革（一期課改）是否都是失敗的？如果不做研究不重視自己的特色，一切照搬外國的，這樣是否會丟失和鏟除中國教師長期積累起來的豐富經驗和良好的根基？重新認識自我，對一期課改的結果進行深入仔細的評估，與此同時客觀看待國外課標和教科書，深入科學地研究則勢在必行.

其二，日本初等教育數學課程體系呈現給讀者的是螺旋式上升，注重知識網絡的構建，遵循著由下至上的一條路線，即初中數學教科書如何與高中銜接，高中如何與大學銜接.由于日本低出生率現象的持續，很多年前大學毛入學率就接近100%（名牌大學除外），為了使大多數高中生進入大學后能快速適應大學的學習，在若干年前就已開始規劃高中數學課程體系在內容安排上如何由下至上.因此打開日本高中數學教科書，你會發現“離散和連續”內容是并存的，比如函數極限、微積分、以及概率的研究部分“連續型概率變量的期望值與方差”都說明了這一點.目前中國的教科書結構也正在向螺旋式發展，但下面教科書如何與上面銜接做得還遠遠不夠，上海教科書至今沒有納入微積分就是一個具體的例子.然而隨著中國大學擴招的繼續，出生率的降低，上海也即將面臨日本的情況，未雨綢繆，也應該從現在起進行這方面的研究、規劃并采取相應的措施.

[1]岡部恒治.高等學校 數學I [M].東京：數研出版社，2011.

[2]邱萬作.數學 九年級第一學期（使用本）[M].上海：上海教育出版社，2007.

[3]袁震東.數學 高中一年級第二學期（試用本）[M].上海：上海教育出版社，2007.

[4]Mesa V.Strategies for Controlling the Work in Mathematics Textbooks for Introductory Calculus [J].Research in Collegiate Mathematics Education, 2010, (16): 235-265.

[5]Stevenson H W, Bartsch K.An Analysis of Japanese and American Textbooks in Mathematics [A].In: Leetsma R,Walberg H.Japanese Educational Productivity [C].Ann Arbor: Center for Japanese Studies, University of Michigan,1992.

[6]Son J.A Comparison of How Textbooks Teach Multiplication of Fractions and Division of Fractions in Korea and in the U.S.[A].In: Chick H L, Vincent J L.Proceedings of the 29th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education [C].Melbourne: PME, 2005.

[7]Yeping Li.A Comparison of Problems That Follow Selected Content Presentations in American and Chinese Mathematics Textbooks [J].Journal for Research in Mathematics Education, 2000, 31(2): 234-241.

[8]Charalambos Y Charalambousa, Seán Delaney, Hui-Yu Hsu, et al.A Comparative Analysis of the Addition and Subtraction of Fractions in Textbooks from Three Countries [J].Mathematical Thinking and Learning, 2010, (12):117-151.

[9]日本文部科學省.高等學校學習指導要領（第四節數學）2009.http://www.mext.go.jp.

[10]劉紹學.普通高中課程標準實驗教科書 數學1（必修）[M].北京：人民教育出版社，2008.