中英初中數學教科書難易程度的比較研究——以中國“人教版”和英國《數學連接》為例

周九詩，王延文

（天津師范大學 教師教育學院，天津 300387）

1 問題的提出

縱觀世界各國的教育改革運動，幾乎每一次首當其沖的都是數學課程改革，數學課程的改革大多都會對數學教科書進行變動，教什么永遠比怎么教更重要[1].研究者普遍認為，教師在日常教學中相當依賴教科書，在很大程度上依據所使用的教科書而決定教什么、怎么教以及給學生布置哪些習題等[2].因此，選擇中國和英國兩個國家初中數學教科書作為研究對象，從教科書難度角度進行比較分析，以期對中國數學教科書的編寫與使用提供一定的借鑒與參考，對中國正在進行的數學課程改革具有重要的參考價值.

2 研究設計

2.1 研究對象

中國教科書選擇人民教育出版社2008年出版的初中《數學》（簡稱“人教版”），共6冊，是目前國內實踐領域影響較大，使用較為廣泛的教科書之一.

英國教科書選擇由最新英國數學課程標準（2007年頒布）設計而成的《數學鏈接》，《數學鏈接》由英國牛津大學出版社于2009年出版，分為七、八、九3個年級，每個年級各自有1本，共3本，目前在英格蘭的許多中學使用.

2.2 研究問題

從5個知識主題入手，比較中英初中數學教科書的難度，這5個知識主題分別為：數與代數的數與運算、方程、空間與圖形的三角形、空間圖形（立體）和統計與概率的統計.

每個知識主題的難度從內容廣度、內容深度、例題難度和習題難度這4方面進行考慮，這4方面對于每個知識主題的難度貢獻的權重，經層次分析法確定為0.28、0.30、0.20、0.22.每個知識主題對教科書綜合難度的權重，為此知識主題所占此教科書中5個知識主題總頁數的百分比.

2.2.1 內容廣度

內容廣度指課程內容所涉及到的領域和范圍的廣泛度，采用史寧中、孔凡哲等人所研究的內容廣度量化指標[3～4]，以課程內容所包含“知識點”的個數來刻畫內容廣度.

“人教版”中數與代數的數與運算的知識點為：正數負數；有理數；無理數；實數；數軸；相反數；絕對值；有理數的大小比較；整數的加法；整數的減法；整數的乘法；整數的除法；有理數四則運算順序；乘方；加法交換律；加法結合律；乘法交換律；乘法結合律；乘法分配律；科學計數法；近似數；有效數字；平方根（算術平方根）；立方根；開方；計算器求平方根立方根；二次根式加減法；二次根式乘除法，共計28個知識點，所以其內容廣度為28.

《數學鏈接》中數與代數的數與運算的知識點為：負數；整數大小比較；整數的加法；整數的減法；整數的乘法；整數的除法；近似數；平方根；開方；計算器求平方根立方根；比；最簡比例；比的應用；比例尺；運算順序；最小公倍數；最大公因數；整除性質；素數；平方數；最簡分數；分數性質；分數加減；分數乘除；假分數帶分數；小數比較；小數加法；循環小數；百分數；小數百分數互化；小數分數互化；小數分數應用；整數加法心算；整數減法心算；整數乘法心算；整數除法心算；位值；坐標軸，共計38個知識點，所以其內容廣度為38.

“人教版”中涉及方程的知識點為：方程；列方程；方程的解；方程性質；一元一次方程；解一元一次方程；一元一次方程應用；二元一次方程（組）；二元一次方程組的解；代入消元法；加減消元法；二元一次方程組應用；三元一次方程組；分式方程；分式方程解法；一元二次方程；配方法；公式法；因式分解法；根與系數關系；一元二次方程應用；一元一次與一次函數；一次函數與二元一次方程組；二次函數與一元二次方程，共計24個知識點，所以其內容廣度為24.

《數學鏈接》中涉及方程的知識點為：方程；列方程；方程的解；解方程；逆運算法；一元一次方程；解一元一次方程；應用；映射與函數；直線方程，共計10個知識點，所以其內容廣度為10.

“人教版”中空間與圖形的三角形的知識點為：三角形概念；三角形分類；三邊關系；內角和定理；外角；中線；尺軌作圖；穩定性；全等三角形；全等三角形性質；判定三角形全等（SSS）；判定三角形全等（SAS）；判定三角形全等（AAS）；判定三角形全等（HL）；等腰三角形；等腰三角形性質；等腰三角形判定；等邊三角形；直角三角形性質；直角三角形判定；勾股定理；逆定理；勾股定理應用；相似三角形；相似三角形性質；相似三角形判定；正弦；余弦；正切；特殊角三角函數；解直角三角形，共計31個知識點，所以其內容廣度為31.

《數學鏈接》空間與圖形的三角形的知識點為：三角形分類；三角形面積；三邊關系；內角和定理；外角；三角形畫法；等腰三角形；等腰三角形的概念；角的作法SAS；角的作法ASA；三角形的作法SAS，共計11個知識點，所以其內容廣度為11.

“人教版”中空間圖形（立體）的知識點為：長方體正方體；圓柱；圓錐；球；棱柱；棱錐；直棱柱側面展開；圓錐側面展開；立體圖形畫法；投影（平行中心）正投影；三視圖，共計11個知識點，所以其內容廣度為11.

《數學鏈接》空間圖形（立體）的知識點為：長方體；圓柱；圓錐；球；棱柱；棱錐；幾何體展開圖；三視圖；立方體體積和表面積；等距圖；3D圖形的二維示意圖；小立方體構成圖形；長方體的表面積；面、棱、頂點、底，共計14個知識點，所以其內容廣度為14.

人教版中統計與概率的統計的知識點為：抽樣調查；樣本（總體 個體 樣本容量）；條形圖；扇形圖；直方圖；平均數；加權平均數；樣本估計總體；中位數；眾數；極差；方差；頻率，共計13個知識點，所以其內容廣度為13.

《數學鏈接》中統計與概率的統計知識點為：數據收集；離散數據；連續數據；數據整理；樣本容量；樣本代表性；條形圖；雙條形圖；雙線形圖；餅狀圖；直方圖；莖葉圖；時間序列圖；折線圖；散點圖；讀取和解釋圖表中的數據；比較統計圖表；平均數；樣本估計總體；中位數；眾數；極差；頻數表；頻數；調查報告撰寫；調查設計；問卷設計；圖表的解釋；數據/分布的比較；象形圖（pictogram），共計30個知識點，所以其內容廣度為30.

總體來看，對于這5個知識主題來講，人教版教科書包含107個知識點，《數學鏈接》包含103個知識點，兩套教科書的總知識點量差別不大.在“數與代數的數與運算”和“統計與概率的統計”方面，英國教科書所含知識點數均超過中國人教版教科書，英國教科書中“統計與概率的統計”所含知識點是中國相應主題的2.3倍.另一方面，中國教科書在“方程”和“空間與圖形的三角形”這兩方面的知識點數量均比英國教科書多，“空間與圖形的三角形”知識點個數含量為英國教科書的2.8倍.此外，兩國在“空間圖形（立體）”知識點數量相近.

2.2.2 內容深度

內容深度（S）泛指課程內容所需要的思維深度，較為抽象，主要從每個知識主題中概念、命題的呈現方式來刻畫.概念、命題的呈現方式主要分為3級指標：直觀描述、歸納、演繹，對這3級指標賦值依次為“1、2、3”，將其作為權重，對每個知識主題所涉及的概念和命題進行加權平均.SCi(i=1,2,3,4,5)表示中國人教版教科書中第i個知識主題內容深度的加權平均值，SEi(i=1,2,3,4,5)表示英國《數學鏈接》教科書中第i個知識主題內容深度的加權平均值，如SC1表示中國人教版教科書中第1個知識主題（數與代數的數與運算）內容深度的加權平均，SE3表示英國《數學鏈接》教科書中表示第3個知識主題（空間與圖形的三角形）內容深度的加權平均.則有，

可以看出兩個國家都是“空間與圖形的三角形”這一知識主題內容深度最深，“統計與概率的統計”內容深度最淺.此外，中國教科書的5個知識主題在內容深度上均超過英國教科書，以“空間與圖形的三角形”差距最大，中國此知識主題的內容深度是英國相應的1.72倍.

2.2.3 例題和習題難度

依據曹一鳴、史寧忠、宋乃慶主持的全國教育科學“十二五”重點課題——“中小學理科教科書國際比較研究”的相關研究，影響數學例、習題難度的因素主要包括知識點數量、背景水平和要求水平這3個因素，每一個因素又可以劃分為不同的水平（具體劃分見表1），數學例、習題難度的綜合模型為：

其中，di(i=1,2,3)依次表示“知識點數量”、“背景水平”和“要求水平”3個難度因素上的取值；dij表示第i個難度因素的第j個水平的權重；nij為第i個難度因素中第j個水平題目的個數，nij的總和為該組所有題目個數.表2～6分別是中、英兩國5個知識主題例、習題難度的量化指標.

表1 各難度因素的不同水平劃分

表2 中國和英國教科書“數與代數的數與運算”例題和習題難度量化指標

表3 中國和英國教科書“方程”例題和習題難度量化指標

表4 中國和英國教科書“空間與圖形的三角形”例題和習題難度量化指標

表5 中國和英國教科書“空間圖形（立體）”例題和習題難度量化指標

表6 中國和英國教科書“統計與概率的統計”例題和習題難度量化指標

例、習題難度分別從要求水平、包含知識點數量、背景水平3方面進行統計分析，運用層次分析法得到這3面權重依次為0.38、0.36、0.26.LCi(i=1,2,3,4,5)表示“人教版”教科書5個知識主題中第i個主題的例題難度，XCi(i=1,2,3,4,5)表示人教版教科書5個知識主題中第i個主題的習題難度，LEi(i=1,2,3,4,5)表示英國教科書5個知識主題中第i個主題的例題難度，XEi(i=1,2,3,4,5)表示英國教科書5個知識主題中第i個主題的習題難度.如人教版第1個知識主題“數與代數的數與運算”的例題難度用LC1表示為LC1=0.38×1.4+0.36×1.154+0.26×1.308=1.288.經計算得：

可以看出中國例、習題難度在這5個知識主題方面均超過英國，在“空間圖形（立體）”方面兩國例、習題難度比較接近.在例題方面，兩國在“空間與圖形的三角形”與“統計與概率的統計”差距較大；在習題方面，兩國在“方程”方面差距較大.縱向來看，英國習題難度都要略高于相應例題難度，中國雖然在前4個知識主題中的習題難度比相應例題難度相對較高，但是在“統計與概率的統計”方面的習題難度略低于相應例題難度.

2.2.4 教科書綜合難度

首先，確定每個知識主題的難度.從內容廣度、內容深度、例題難度和習題難度這4方面進行考慮，這4方面的權重經層次分析法確定為0.28、0.30、0.20、0.22，見表7.

其次，確定教科書綜合難度.《數學鏈接》分為七、八、九3個年級，每個年級各自有1本，共3本，總計804頁，5個知識主題所占頁數依次為279、72、25、37和87；中國人教版初中數學教科書共6本，總計956頁，5個知識主題所占頁數依次為101、113、138、49和61.以每個知識主題占5個知識總體的總頁數比作為此知識主題難度的權重，可以得出英國初中教科書《數學鏈接》的綜合難度為1.132，中國人教版初中數學教科書的綜合難度為1.460（見表8）.

3 研究結論

（1）在整體上，中國人教版教科書的綜合難度水平高于英國牛津版《數學鏈接》，并且5個知識主題“數與代數的數與運算”、“方程”、“空間與圖形的三角形”、“空間圖形（立體）”和“統計與概率的統計”難度也均高于英國教科書的相應主題.

（2）在兩國教科書每個知識主題的難度比較上，“方程”和“空間與圖形的三角形”這兩方面差距較大，中國“空間與圖形的三角形”難度為英國相應主題的1.63倍，與英國教科書相比，中國教科書在這兩方面涉及的知識點多，內容深，例、習題難度也較大.兩國在“統計”難度上差距最小，中國僅為英國的1.049倍.

（3）在內容廣度上，英國教科書在“數與代數的數與運算”和“統計與概率的統計”這兩方面所含的知識點數均超過中國人教版教科書，而中國教科書在“方程”和“空間與圖形的三角形”這兩方面的知識點數量均比英國教科書多，兩國在“空間圖形（立體）”知識點數量相近.

（4）在內容深度上，兩個國家都是“空間與圖形的三角形”這一知識主題內容深度最深，“統計與概率的統計”內容深度最淺.中國教科書的5個知識主題在內容深度上均超過英國教科書，其中“空間與圖形的三角形”差距最大.

（5）在例、習題難度上，中國在5個知識主題的3個難度因素水平上都普遍高于英國，只有在“數與代數的數與運算”的背景水平上中國不如英國高，這可能與中國在數與運算上過于重視算式計算有關.在例題難度上，兩國在“空間與圖形的三角形”差距較大，中國為英國的1.38倍，這也和兩國在此知識主題內容深度上的較大差距相吻合.縱向來看，英國習題難度都要略高于相應例題難度，而中國在“統計與概率的統計”方面的習題難度略低于相應例題難度，這可能和中國課標對“統計”要求不高有關.

表7 各個知識主題難度

表8 中英兩國教材綜合難度

致謝：感謝北京師范大學曹一鳴教授、吳立寶博士在研究與寫作過程中給出的諸多指導與幫助.

[1]張奠宙，趙小平.教什么永遠比怎么教更重要[J].數學教學，2007，（10）：封底.

[2]姜美玲.教師實踐性知識研究[M].上海：華東師范大學出版社，2008.

[3]史寧中，孔凡哲，李淑文.課程難度模型：我國義務教育幾何課程難度的對比[J].東北師大學報（哲學社會科學版），2005，（6）：151-154.

[4]孔凡哲，史寧中.四邊形課程難度的定量分析比較[J].數學教育學報，2006，15（1）：11-15.