從信息效應(yīng)的視野審視數(shù)學(xué)推理教學(xué)

方均斌，周 文

（溫州大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江 溫州 325035）

加涅把信息加工過程依次分為：注意刺激、信息編碼、儲存信息、提取信息4個階段.盡管將信息加工過程分為以上4個階段還只是大家公認的理論推測，實驗中還難以對它們劃出明確的界線.現(xiàn)代心理學(xué)的大量研究表明，個人登記、編碼、儲存和提取信息，不可能是分別單獨進行的，信息加工過程的幾個階段密切聯(lián)系甚至存在著某種重疊.但是，這個模式對有機體內(nèi)信息加工過程的描述與分析，可以解釋人類的許多思維過程，使人類的高級心理過程不再那么神秘[1].加涅的信息加工理論如何應(yīng)用到數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)上是很值得研究的話題，尤其對數(shù)學(xué)活動的靈魂——數(shù)學(xué)推理，更值得重新審視.

數(shù)學(xué)推理是依據(jù)邏輯規(guī)則所進行的在數(shù)學(xué)上的推理活動，是數(shù)學(xué)思維的重要形式.若“結(jié)論A”得出“結(jié)論B”，人們將“結(jié)論A”稱之為“結(jié)論B”的充分條件，“結(jié)論B”稱之為“結(jié)論A”的必要條件.這種推理方式鑄成了整座“數(shù)學(xué)大廈”，然而，在人們進行數(shù)學(xué)思考的過程中，伴隨著的卻是一種由“結(jié)論A”將產(chǎn)生怎樣的“信息效應(yīng)C”或由“結(jié)論B”將產(chǎn)生怎樣的“信息效應(yīng)D”的摸索過程.因此，有必要將“冷冰冰”的演繹過程放大到“火熱”的“信息效應(yīng)”過程進行探究，或許能夠找到數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)教育研究的新視野.為此，研究者整合及探索相關(guān)的信息加工理論，對數(shù)學(xué)推理過程進行重新審視，以期能夠讓人們更加清楚數(shù)學(xué)教學(xué)過程中應(yīng)該遵循的一些基本規(guī)律.

1 基于信息效應(yīng)觀下的推理現(xiàn)象探析

所謂的信息效應(yīng)是指外界傳遞給人們某個信息的時候，人們所產(chǎn)生的信息加工現(xiàn)象.這種信息加工是依據(jù)信息接收者的認知情況所進行的，人們從信息A經(jīng)過加工得到信息B的依據(jù)是過去所獲得的知識及經(jīng)驗，而且往往屬于一種“高概率”的“推理模式”.數(shù)學(xué)上的演繹推理僅僅屬于人類目前認可的被稱之為“概率為1”的推理，所遵循的是邏輯上的“三段論”.在其它學(xué)科上所進行的推理卻不一定實施概率為1的推理，漢字上的一些用詞（如“往往”、“很可能”、“經(jīng)常”、“一般地”、“通常”等）都是一些人文社科類進行信息加工的“推理用詞”，數(shù)學(xué)上的思考也離不開這種信息加工方式.

1.1 上位信息與下位信息

若由“信息A”產(chǎn)生了“信息B”的效應(yīng)，稱“信息A”是“信息B”的上位信息，而稱“信息B”是“信息A”的下位信息.如果“信息A”既是“信息B”的上位信息又是“信息B”的下位信息，此時稱“信息A”為“信息B”的等位信息.這樣的“定義”與數(shù)學(xué)上的“充分條件”、“必要條件”、“充要條件”提法既有聯(lián)系又有區(qū)別.首先，它們都研究的是由“前提”得出“結(jié)論”的“推理”模式，都是研究人們的思考與推理方式.其次，“信息A”及“信息B”都是指能夠激發(fā)人們反應(yīng)的信息，不一定屬于數(shù)學(xué)上的“條件”，一個點、一個符號、一個讀音都可以納入“信息”范疇，從這個意義上講，“上位信息”、“下位信息”的提法范疇更廣，視野也更開闊.第三，產(chǎn)生信息效應(yīng)是依據(jù)個人經(jīng)驗及周圍信息環(huán)境而確定的，個人思考往往“依概率”進行的，情況復(fù)雜多了，不僅考慮依概率為1的演繹推理，而且也把依高概率的合情推理也納入視野中.第四，數(shù)學(xué)是講究依概率為1的推理而形成的科學(xué)，而這里所提的“上位信息”“下位信息”是研究人們進行數(shù)學(xué)思考規(guī)律而采取的信息效應(yīng)觀，是借鑒數(shù)學(xué)推理模式及其它人文學(xué)科思維模式所采取的一種提法，它使數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的種種現(xiàn)象研究的視野更為開闊.第五，這是一種把數(shù)學(xué)推理因素考慮得更加復(fù)雜化的數(shù)學(xué)推理研究模式，這種推理研究的方式是“非線性”的（即并非由A到B的推理.而是由A中的某個信息片段聯(lián)想到結(jié)論C的信息效應(yīng)，那么，一個條件A蘊涵多個信息片段，因此可能讓人聯(lián)想到多個結(jié)論的信息效應(yīng)，屬于一種多向發(fā)散的信息效應(yīng)，故稱“非線性”），其研究難度顯然要大得多，是基于環(huán)境、個人因素、人類一般思維規(guī)律等綜合因素考慮的一種試圖拓廣人們研究和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思維規(guī)律的視野而提出的.由于“上位信息”、“下位信息”為研究者首次提出，便于大家理解，不妨舉兩個例子來說明.

（1）等腰三角形兩底角相等，那么，“有兩個角相等”而得出“三角形是等腰三角形”的概率“很大”，如果得到的概率為1，那么，就是通常所說的“充要條件”，很多數(shù)學(xué)上的充要條件及數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)都是在這種信息效應(yīng)下獲得成功的.

（2）有些學(xué)生把小于1的高概率推理的信息加工理解為“概率為1”，那么就是通常所說的推理錯誤甚至“思維混亂”.例如，偶函數(shù)一般是沒有反函數(shù)的，但有些學(xué)生得出“偶函數(shù)沒有反函數(shù)”的結(jié)論卻是錯誤的命題，很多數(shù)學(xué)公式、定理、法則都是“有條件”的，這些“條件”能夠“確保”所進行推理的正確性“概率為1”，然而，一些學(xué)生對這些條件往往忽略或視而不見，導(dǎo)致數(shù)學(xué)推理上的錯誤頻發(fā).

為什么有些學(xué)生會經(jīng)常把命題成立的充分性、必要性搞混？其中一種原因在于上位信息、下位信息處于同一個信息加工庫中沒有進行進一步等位性加工（即確認兩個信息加工方向得到的概率均為1）所導(dǎo)致的混淆，經(jīng)常出現(xiàn)的一種情況是對信息表述的內(nèi)涵方式及外延方式的“一致性”沒有進一步辨析.舉一個例子：棱柱的概念，初中、小學(xué)階段接觸棱柱的概念都是一些具體的棱柱在腦子中所形成的印象，屬于外延性概念教學(xué)引導(dǎo)方式，學(xué)生看到的棱柱都是“有兩個面平行，其余各個面都是平行四邊形”，他們往往就把“由這些面所圍成的幾何體”稱之為棱柱，導(dǎo)致內(nèi)涵表述的錯誤.在數(shù)學(xué)上，概念教學(xué)往往需要進行“等位信息”加工的環(huán)節(jié)，盡管這個環(huán)節(jié)需要考慮學(xué)生及具體的概念情況教師要有所控制，但這個環(huán)節(jié)教師一般是很重視的，因為這個環(huán)節(jié)對學(xué)生的思維訓(xùn)練是很重要的.

1.2 信息加工模塊的激活

布魯克斯（R.Brooks）認為：“傳統(tǒng)的方案把智能分解為一些功能性信息加工模塊，系統(tǒng)的整體行為來自于這些模塊的組合.身體基礎(chǔ)方案（physical grounding project）1“身體基礎(chǔ)方案”是布魯克斯（R.Brooks）針對“符號系統(tǒng)假設(shè)”支配的傳統(tǒng)人工智能研究提出的新方案，身體基礎(chǔ)方案的實質(zhì)是把機器人的物理行為或者身體行為作為產(chǎn)生智能的基礎(chǔ).（孟偉.如何理解涉身認知[J].自然辯證法研究，2007）則是把智能分解為產(chǎn)生模塊的個體行為，這些行為產(chǎn)生的模塊之間的共存和合作形成更加復(fù)雜的行為.”[2]人們在生活中為適應(yīng)環(huán)境逐步積累起經(jīng)驗，也為了提高工作效率而采取信息加工模塊策略，生活中的“一日被蛇咬，十年怕草繩”就是這個信息模塊效應(yīng)的典型案例，由于繩子的樣子很像蛇，所以很容易讓曾經(jīng)被蛇咬過的人產(chǎn)生當時的信息模塊加工效應(yīng).數(shù)學(xué)上所采取的符號、概念、公式、法則、定理、公理的教學(xué)，本質(zhì)上就是一種信息加工模塊的教學(xué).數(shù)學(xué)工作者（包括學(xué)習(xí)者）看到符號“sin”，就會本能地產(chǎn)生“正弦函數(shù)”的信息加工效應(yīng).有學(xué)者認為，固定化的邏輯推理可以形成“思維塊”，“思維塊”的應(yīng)用又導(dǎo)致思維的跳躍性；合情推理中有很多的直覺思維，直覺思維又有“模糊性”[3].那么這種“跳躍性”及“模糊性”是如何解釋的呢？數(shù)學(xué)上的思維過程與個別信息導(dǎo)致蘊含該信息的整個信息模塊產(chǎn)生了加工效應(yīng)，也就是說，一個信息加工模塊中的“信息碎片”產(chǎn)生了另一個信息加工模塊的加工效應(yīng)，有時兩信息模塊很難找到它們有什么“必然聯(lián)系”，這就是通常所說的思維“跳躍性”.同時，一個信息加工模塊中的哪些信息且這些信息是通過如何手段激活其它信息模塊進行加工的與信息加工者的記憶力、即時的信息加工環(huán)境等很多復(fù)雜因素有關(guān)，故只能用“模糊性”來描述人們的一些思維活動現(xiàn)象.因此，如何激發(fā)有效的信息效應(yīng)很值得大家深入研究，而且也是一線數(shù)學(xué)教師可深入探索的教學(xué)實證研究課題.

這里舉一個簡單的例子：在等邊三角形ABC所在平面內(nèi)有一點D，滿足AD=AC，求∠BDC的度數(shù)（圖1）.研究者對這個題進行過實驗，發(fā)現(xiàn)把題中的字母A改為字母O（圖2），學(xué)生更能夠想到用圓周角定理來解決，字母O的使用激發(fā)了學(xué)生的聯(lián)想.

圖1

圖2

從某種意義上說，“觸景生情”就是指信息加工模塊的激活現(xiàn)象，現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育強調(diào)情景教學(xué)，其實就是強調(diào)情景信息激活原有的信息加工模塊，使其進行有效地加工.然而，一旦進入某個信息加工模塊，如何進行繼續(xù)加工，必然會遇到信息“激發(fā)鏈”的問題，即當激活一個信息加工模塊后，發(fā)現(xiàn)加工并不順利，需要從這個信息加工模塊中解脫出來進入其它信息加工模塊，這需要從加工過程及加工策略調(diào)整獲得的信息中激發(fā)其它信息加工模塊.

1.3 數(shù)學(xué)推理的信息導(dǎo)向

前面提到的上位信息，實際上是一些“信息源”的組合.這個組合體中的每一個“信息碎片”及部分組合都可能激發(fā)信息的下一步加工，教學(xué)過程中的導(dǎo)向就顯得非常重要[4].因為正確的導(dǎo)向既含有數(shù)學(xué)思想方法的教育，同時又讓學(xué)生感悟捕捉相關(guān)信息的敏感性.

下面，不妨從一個教師在問題[5]“x,y,z∈R+，求證：”推理的授課片段（見表1），來看數(shù)學(xué)信息捕捉的導(dǎo)向.

表1 推理片段

限于篇幅，僅描述其中的一個片段.該問題有很多“信息碎片”：“根號”、“平方”、“兩數(shù)的和大于第三數(shù)”等.這些“信息碎片”及組合中，到底能夠激活哪些已有的信息加工模塊是問題解決的關(guān)鍵.顯然，學(xué)生在觀察問題的時候，腦子里就一直在思考，以期獲得“靈光一閃”的“東西”，這個“東西”就是指能夠有效激活以往已經(jīng)建立起來的信息加工模塊或促使形成“信息模塊串”.學(xué)生在平時學(xué)習(xí)過程中已經(jīng)建立起很多數(shù)學(xué)信息加工模塊，他們解決每一個問題都要不斷地觀察并在頭腦中進行檢索，這個過程就是獲取有價值信息并有效激活與該問題能夠順利解決的信息加工模塊過程.在這個過程中，教師的教學(xué)導(dǎo)向就顯得至關(guān)重要了，中國一直重視啟發(fā)式教學(xué)，從某個角度上講，所謂的啟發(fā)式教學(xué)就是對學(xué)生已有信息加工模塊的激活及“有效鏈接”.就這個例子而言，有些學(xué)生一聽到“數(shù)形結(jié)合”的方法，他們往往會對諸如“2x”和“xy”等進行面積上的聯(lián)想，也就是說，他們也是被老師“啟發(fā)”了（激活了“面積法解決問題”的信息加工模塊），但這種啟發(fā)對這個問題的解決似乎幫助不大.如果教師提供“不等式左邊是兩數(shù)的和，右邊是一個數(shù)”，學(xué)生很可能就會被激發(fā)信息加工模塊：“三角形兩邊之和大于第三邊”，如果教師提供的信息是：“這個問題是證明兩數(shù)之和大于第三數(shù)”，恐怕激活率會更高.

2 對于擴展數(shù)學(xué)推理教學(xué)研究視野的啟示

加涅認為，人們進行信息加工是需要進行信息讀取并進行編碼[6]，如何進行編碼對后續(xù)的數(shù)學(xué)信息加工更有效很值得研究.其實，人類的思維不一定是線性的、連續(xù)的，有時甚至是“多維”、“零散”、“間斷”、“跳躍”的，一切能夠在人們感官及頭腦中產(chǎn)生效應(yīng)的因素都是人們所指的“信息”.當前，采取文化的視野審視學(xué)科教育成為一些學(xué)者密切關(guān)注的熱點.這里所提出的信息效應(yīng)觀點是與之相協(xié)調(diào)的.為了培養(yǎng)能夠全方位適應(yīng)社會的未來社會公民，數(shù)學(xué)學(xué)科必須在搞好本學(xué)科教學(xué)的前提下，對如何把本學(xué)科與其它學(xué)科乃至普通生活的關(guān)系進行必要的“鏈接”，即要關(guān)注學(xué)生的“信息綜合效應(yīng)”問題.用信息綜合效應(yīng)的視野審視人類的數(shù)學(xué)推理活動，是為了彌補以往的“條件”與“結(jié)論”之間所進行的“依概率為1”的教學(xué)過程中對一些思維現(xiàn)象解釋所遇到困惑而進行的一點努力，這種努力或許很困難且能否成功尚不得而知，但畢竟是一條新路，希望對此話題感興趣的同仁與研究者一道作一些有益的探索.由于這種探索涉及到社會學(xué)、教育學(xué)、心理學(xué)、哲學(xué)、思維科學(xué)、統(tǒng)計學(xué)、概率、信息科學(xué)等很多學(xué)科.在這里，研究者僅僅基于日常教學(xué)經(jīng)驗的積累，從信息效應(yīng)的觀點，試圖為拓廣數(shù)學(xué)推理數(shù)學(xué)研究的視野提幾點想法.

2.1 跨越學(xué)科信息加工審視數(shù)學(xué)推理教學(xué)

《人民日報》刊登了一篇標題為“三問‘幼教小學(xué)化’的文章[7]，該文以“北京市2010年幼升小測試題權(quán)威歸類標準版”的一道“牛題”引出：“1到9九個數(shù)，按要求給它們分類，如‘1、3、5、7、9’和‘2、4、6、8’是按奇、偶數(shù)來分.那么，‘1、3、7、8’，‘5、9’，‘2、4、6’是按照什么分類的？”并用“這個讓大人們看著‘發(fā)懵’的題目”、“這道難倒諸多教授學(xué)者的考題”、“雷人”等字眼來評價這道題，該題的答案是“在讀音上，1、3、7、8都是一聲，5、9都是三聲，2、4、6都是四聲”.2011年11月25日，研究者在溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與科學(xué)學(xué)院對大三數(shù)學(xué)專業(yè)的58名學(xué)生進行測試，給了10分鐘，僅有3位學(xué)生想到了用音調(diào)的角度來對該問題解答！時隔兩天，研究者用這個問題給20位初一學(xué)生解決，學(xué)生冥思苦想了5分鐘還是沒人能夠解決，當研究者提示：“這是幼兒園升小學(xué)的一道考題.”時，才有一位學(xué)生說：“哦，我想起來了！是用讀音來分類的！”顯然，經(jīng)過6年的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，學(xué)生在數(shù)學(xué)課上的思維已經(jīng)被數(shù)學(xué)教師所“俘虜”了！出現(xiàn)了思維上的學(xué)科跨越困難的跡象.

演繹推理中的“三段論”有一個所謂的“大前提”.這個“大前提”就是研究者所提到的“比較大的信息加工模塊”.受分類式學(xué)科教育的培養(yǎng)，學(xué)生頭腦中很可能形成“學(xué)科信息加工模塊”的思維模式，往往出現(xiàn)跨越模塊思維困難的現(xiàn)象，剛才這個案例中，或許是“這是幼兒園升小學(xué)的一道考題”這一信息給了初一學(xué)生暗示，使他們覺得“幼兒園小朋友不會做那么難的數(shù)學(xué)題”而“猛然覺醒”.再比如說，三角形重心的性質(zhì)（重心是中線的一個三等分點），站在數(shù)學(xué)角度進行推理，只能采取相似比等數(shù)學(xué)方法，然而，受物理學(xué)上的常見的“重心”這一信息的“激活”，可以用物理上的“杠桿原理”進行解釋讓學(xué)生很好理解其“道理”[8].1+1=2在數(shù)學(xué)家眼里是天經(jīng)地義的事情，但在物理學(xué)家眼里可能允許“1+1=2.000 1”，而在社會上的政治活動場合 1+1可以得出任何結(jié)論，比如：兩個地下黨員的聯(lián)絡(luò)暗號是“1+1=1 938”.或許這種現(xiàn)象對數(shù)學(xué)家而言很荒誕，但在現(xiàn)實生活中大量演繹著這種“荒誕的事情”，卻很“合情合理”，這需要根據(jù)具體情況合理抉擇信息加工模塊，思維才能夠“靈活”.這里不是對數(shù)學(xué)教育進行“攪和”，而是強調(diào)數(shù)學(xué)推理應(yīng)該根據(jù)具體情況，靈活地整合其它學(xué)科進行思考，這對成人的思維方式很重要.再舉一個很簡單的例子：到菜場買菜，小販用計算器算出顧客需要付20元零1角，一般的小販會按照數(shù)學(xué)規(guī)則堅持要顧客付零頭的1角嗎？答案顯然是否定的，在精明的小販眼里，這個零頭是“廣告費”.舉這些例子的目的，是認為在數(shù)學(xué)推理中，如果能夠拓展大的數(shù)學(xué)思維模塊，有時甚至跨越數(shù)學(xué)本身的學(xué)科視野，或許能夠找到一些數(shù)學(xué)教育的新思路.

跨學(xué)科有3個層面的含義：一是經(jīng)常換不同的學(xué)科視角看問題；二是要關(guān)注學(xué)科之間所留下來的“縫隙”，延伸數(shù)學(xué)學(xué)科的“觸角”與其它學(xué)科“握手”；三是要用比數(shù)學(xué)學(xué)科更大的視野來看待目前所遇到的“數(shù)學(xué)”問題.也就是說，要關(guān)注學(xué)生不同信息加工模塊的構(gòu)建及協(xié)調(diào)，才能夠合理地激發(fā)學(xué)生的信息加工模塊，促使更好的信息加工.另外，每一個“三段論”可以理解為一個信息加工模塊的完成，人的思維隨著這個信息加工模塊的完成必然會轉(zhuǎn)入下一個信息加工模塊，此時的信息加工模塊的鏈接必須及時進行“跨越”.例如，前面所提的小販按照數(shù)學(xué)信息加工規(guī)則算出顧客應(yīng)該付的錢，接著就馬上要進入具有“心理學(xué)意義”上的廣告學(xué)信息加工模塊，這就是“靈活加工”的含義.

數(shù)學(xué)推理在很多情況下是需要各種感官輔助協(xié)調(diào)的.既然把信息理解為能夠促使個體產(chǎn)生效應(yīng)的因素，人類產(chǎn)生信息效應(yīng)往往都是通過各個感官而產(chǎn)生的，感官的作用在信息加工中不可忽視.其實，目前的數(shù)學(xué)教育中很多行為都在不知不覺中運用了信息加工原理.例如，在直角坐標系中進行邏輯演繹推理及計算，大家會覺得很舒暢，但假如教師把直角坐標系按照人們的視覺傾斜45°，然后再在里面進行演繹推理及運算，這種“反視覺”的舉措會讓學(xué)生“怎么看怎么別扭”，但是，卻讓一些善于抽象思維的學(xué)生進一步感悟到直角坐標系的本質(zhì).這個例子說明，有些邏輯演繹推理及計算是以視覺信息為平臺的，教學(xué)中必須調(diào)動視覺信息加工模塊（包括所產(chǎn)生的美感）與之相左.其實，短時記憶的容量是很有限的，研究表明，一般人一次只能加工7±2個項目[9].人們需要及時地把剛加工過的信息痕跡保留，經(jīng)常采用的手段是記錄在紙上，通過視覺反復(fù)檢索所加工過的信息，學(xué)生做數(shù)學(xué)題基本上采取這種模式.教師的板書布局、語言表述如果得當，就能夠更好地促使學(xué)生進行有效的信息加工.

2.2 拓廣數(shù)學(xué)與生活信息加工的文化視野

由于數(shù)學(xué)教育研究具有多學(xué)科交叉和跨學(xué)科的性質(zhì)，因此從學(xué)科關(guān)聯(lián)的角度看，除了從教育學(xué)、心理學(xué)和教育心理學(xué)等學(xué)科去審視數(shù)學(xué)教育之外，還可以從以下4個角度去認識數(shù)學(xué)教育的問題和本質(zhì)：……，第四，文化與社會的視角[10].眾所皆知，數(shù)學(xué)源自生活.許多數(shù)學(xué)概念都與生活概念有著千絲萬縷的關(guān)系，一旦脫離生活后就自成體系，但在使用名詞信息上卻和生活含義可能出現(xiàn)了差異，導(dǎo)致數(shù)學(xué)演繹推理方面出現(xiàn)了信息加工模塊構(gòu)建的混亂現(xiàn)象（可以認為，數(shù)學(xué)概念是一個信息加工的小模塊）.例如：“上底”、“下底”是依據(jù)生活中人們視覺信息加工習(xí)慣采取的文字信息表述，但在數(shù)學(xué)中，為了不產(chǎn)生邏輯混亂，必須擺脫感性，進行“理性定義”，結(jié)果出現(xiàn)了信息加工“矛盾”的現(xiàn)象.《青年報》以“‘1倍租金’怎么理解房東房客打起‘數(shù)學(xué)官司’”為題[11]，對“應(yīng)付1倍的租金”演繹了數(shù)學(xué)與生活不同信息加工的典型官司.同樣，在普通人眼里，球是圓的，但在一些數(shù)學(xué)教師眼里，這個結(jié)論卻是錯的.于是，遇到了這樣的一些命題：在信息加工方面，到底是數(shù)學(xué)要服從生活還是生活要服從數(shù)學(xué)？人們習(xí)慣于生活上的用語被數(shù)學(xué)“篡改”后，需要服從數(shù)學(xué)的規(guī)定嗎？數(shù)學(xué)是借用邏輯上的“演繹推理方式”還是“演繹推理方式”本身就是數(shù)學(xué)的組成部分？數(shù)學(xué)上的推理方式在生活上行得通嗎？有人曾指責一些數(shù)學(xué)家是“書呆子”，只會按照數(shù)學(xué)信息加工的形式來處理生活.這種指責在某些情況下是值得反思的，教師給學(xué)生建立起來的數(shù)學(xué)信息加工模塊必須在一定的情況下進行“跨界”[12].

數(shù)學(xué)作為文化的最重要的組成部分，數(shù)學(xué)教學(xué)研究中必須把突出數(shù)學(xué)的文化品位擺在重要的位置.中國數(shù)學(xué)在明朝以前是世界領(lǐng)先的，尤其是宋元時期最為鼎盛，而明朝以后則一直停滯不前，到清朝中后期已大大落后于西歐數(shù)學(xué)的發(fā)展.通過文獻分析和考證發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)致中國數(shù)學(xué)大起大落的一個重要原因在于是否恰當?shù)剡\用了符號[13].其實，一些數(shù)學(xué)家及數(shù)學(xué)教育家在研究數(shù)學(xué)的時候，發(fā)現(xiàn)微積分中很多結(jié)論在中國古代詩詞中都有體現(xiàn)：在描述數(shù)學(xué)上的無界時，有學(xué)者用“滿園春色關(guān)不住，一枝紅杏出墻來”進行表述[14]，可以解釋為，一些微積分思想所包含的信息激活了數(shù)學(xué)家們頭腦中的“詩詞意境”，即激活了他們頭腦中的“詩詞信息加工模塊”——殊途同歸！有這樣的一位中學(xué)數(shù)學(xué)教師，當他在讀唐詩的時候，就把唐詩的意境滲透到數(shù)學(xué)教學(xué)中；當他在讀《紅樓夢》的時候，也經(jīng)常跟學(xué)生“觸景生情”地把一些數(shù)學(xué)意境與《紅樓夢》所描述的某些情景相類比；最近，他在看佛教的有關(guān)內(nèi)容，也經(jīng)常把相關(guān)的內(nèi)容融進數(shù)學(xué)教學(xué)！他如此跨越的數(shù)學(xué)教學(xué)，讓學(xué)生“大開眼界”！其實，所謂的文化視野無非就是一種超越學(xué)科的信息加工方式，既要激活不同學(xué)科的“信息加工模塊”，又要將不同類型的信息加工模塊來個“文而化之”，這將大大豐富數(shù)學(xué)教育的內(nèi)涵.就拿剛才所說的那個老師而言，有一位老師向他請教一堂公開課“點到直線的距離”的教學(xué)設(shè)計時，他寫了一句慧能的畿語“菩提本無樹，明鏡亦非臺，本來無一物，何處惹塵埃”，這位老師若有所思地離開了，后來的公開課上得很成功！

從上面分析中可以看出，用信息觀點看數(shù)學(xué)教學(xué)中的推理，用“信息”一詞是采取“跨界”的視野看教師的數(shù)學(xué)教學(xué)，文化觀念很自然就納入研究者的視野里，所有能夠?qū)?shù)學(xué)教育產(chǎn)生信息效應(yīng)的信息都不能忽視，人們采取不同學(xué)科的信息加工模塊來有效進行數(shù)學(xué)信息的加工應(yīng)該納入教育研究的視野[16～26].

2.3 豐富和拓展數(shù)學(xué)推理教學(xué)的設(shè)計思路

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，如果能夠認識到學(xué)生學(xué)習(xí)的“前奏”是信息效應(yīng).那么，教師就可以依據(jù)學(xué)生已有的信息加工模塊進行“旁敲側(cè)擊”地“啟發(fā)”，利用提供的“非線性信息”促使有效、連續(xù)、完整的線性思維運作.

首先，要給學(xué)生足夠的獨立思考空間去檢索已有的信息加工模塊.當學(xué)生遇到數(shù)學(xué)問題的時候，很自然會根據(jù)問題信息去檢索已有的信息加工模塊，這種檢索有時是線性的，也有時是非線性的.從某個角度上講，所謂線性的，是指“依概率為1”的思考方式.自然地，“依概率小于1”或不確定的思考方式就是這里所說的“非線性”的思考方式.正確命題“A?B”的推理方式可以理解為信息A線性地加工到信息B，而由信息B想得出信息A的結(jié)論，則可以理解為“非線性”的信息加工方式，若信息A與信息A'屬于某個信息加工模塊（往往屬于某個同類型的信息），由“A?B”聯(lián)想到對信息A'的加工，則也稱之為“非線性”的信息加工方式.舉一個簡單的例子：有人知道“三角形內(nèi)角和為180°”后，對某個三角形，就線性地得到其內(nèi)角和的結(jié)論，但對“某個內(nèi)角和為180°的多邊形”，他也很自然地聯(lián)想到“這個多邊形很可能是三角形”，再“仔細想想”后，發(fā)現(xiàn)這個結(jié)論是對的，這種信息加工就從“非線性的”變成了“線性的”.如果由“三角形”聯(lián)想到“四面體”，則由此聯(lián)想到需要研究“四面體的‘內(nèi)角’和”問題，則屬于“平行性”信息加工模式，很多信息加工就是這種方式，人們通常稱之為“類比”.如果由“三角形內(nèi)角和為180°”聯(lián)想到對“四面體”進行面數(shù)、點數(shù)、棱數(shù)之間關(guān)系的信息加工，此時屬于“浮想聯(lián)翩”型信息加工，必須由信息加工的“宏觀管理器”予以監(jiān)控和調(diào)配，主要從動機、興趣、好奇心、時間調(diào)配等方面考慮，與學(xué)生的注意力調(diào)配、意志力品質(zhì)、想象力程度等密切相關(guān).從這些情況分析中可以看出，檢索已有的信息加工模塊需要足夠的時間，這樣才能達到訓(xùn)練學(xué)生如何根據(jù)具體問題，合理進行信息檢索的目的.

其次，提供必要的相互交流機會.學(xué)生若能與志同道合者共同磋商，必然能點燃學(xué)生數(shù)學(xué)思維的火花，迸發(fā)出智慧之光，優(yōu)化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果[15].其實，當學(xué)生通過一定的信息檢索和進行必要的嘗試加工后，同學(xué)之間的交流和啟發(fā)也是需要的，因為同學(xué)之間的信息加工模塊儲備及加工能力一般不會有很大差異，相互之間的啟發(fā)具有一定程度上的同步性，同齡段之間的言語信息更能夠產(chǎn)生共鳴或啟發(fā)，教師在學(xué)生進行交流的時候進行必要的觀察，只要有足夠的機會，就能夠把他們在信息加工水平的局限性及弱點暴露出來，為接下去的教學(xué)提供策略.

第三，進行必要的信息暗示.當教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生信息加工（包括模塊檢索、推理等）具有一定的局限性的時候，利用旁敲側(cè)擊的策略提供一些“信息碎片”，試圖激活學(xué)生的某些信息加工模塊或進行有效地檢索和加工.這些“信息碎片”包括“口語信息”、“文字信息”、“符號信息”、“圖形信息”、“體態(tài)語言”等，這些零散的“信息碎片”主要是為了培養(yǎng)學(xué)生的信息捕捉敏感性和進行數(shù)學(xué)方法的教育.

第四，要完善學(xué)生的信息加工模塊.通過學(xué)生的努力及教師的指導(dǎo)，學(xué)生把數(shù)學(xué)問題解決后，教師應(yīng)該及時地引導(dǎo)學(xué)生進行反思和總結(jié).比如：為什么某些信息引不起你的注意；針對某些信息進行加工的時候應(yīng)該注意什么；如果不能正確進行推理的時候，如何進行必要的策略調(diào)整；如何選擇信息加工模塊，等等.其實，這個過程就是要優(yōu)化加涅所說的“編碼問題”，以便今后能夠根據(jù)一些“信息碎片”迅速、合理地調(diào)用相關(guān)的信息加工模塊.

第五，教學(xué)過程中的數(shù)學(xué)思維是允許發(fā)散、跳躍，只要能夠根據(jù)一些“信息碎片”有效激活相關(guān)的信息加工模塊，那么，思維激發(fā)過程算是“告一段落”，然而，數(shù)學(xué)信息加工的“外顯方式”，則是想通過文字、符號、圖形、口頭語言等信道來向外界表述整個問題的信息處理過程，需要進行“線性化”工作，這種工作實際上是頭腦信息加工的“整理過程”，也就是人們通常所說的“在表述推理的過程時，則要強調(diào)數(shù)學(xué)推理的科學(xué)性與嚴謹性”.

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