認知發展研究新成果——David Tall的“數學三個世界”理論

周士民，聶立川，王 君

（1.青島理工大學 基礎部，山東 臨沂 273400；2.河北農業大學 理學院，河北 保定 071001；3.哈爾濱學院 理學院，黑龍江 哈爾濱 150086）

關于認知發展理論的研究，皮亞杰、布魯納等教育學家在其著作中已經有深刻論述.進入21世紀，英國知名數學教育家Warwick大學教授David Tall在認知主義、建構主義基礎上，融合了認知科學、新皮亞杰主義等相關研究于2004年提出了數學三個世界理論[1]，該理論是Tall關于認知發展研究的最新成果.

1 數學三個世界的理論基礎[2]

該理論與認知主義、建構主義一脈相承，同時吸收了新皮亞杰主義、認知科學等研究成果而形成.

認知主義流派的代表人物有Piaget、Bruner、Skemp、Van Hiele和Fischbein等.Piaget認為抽象有3種形式：經驗抽象、偽經驗抽象、反思抽象；Bruner認為人用3種形式將經驗轉化為模型：行為的、形象的、符號的形式；Skemp認為人有3種性質不同的活動：感覺（輸入）、操作、反思；Van Hiele認為兒童以格式塔方式認識對象，描述性質并定義出各種層次的圖形，利用演繹推理推導出其它性質，形成理論體系.數學三個世界理論借鑒認知主義表征概念的方式：首先對現實對象操作，提取對象性質，逐漸上升為形象表征，再利用語言抽象出符號，最后通過嚴謹的定義和推理形成形式化公理理論.

建構主義下的APOS學習理論，將認知建構分為操作、過程、對象、圖式4個階段[3]；新皮亞杰主義下的SOLO分類理論，將認知發展階段重新劃分為：感知、形象、符號化、形式化、后形式化5個階段，把認知看做是一個累積過程；建構主義與SOLO理論都承認了經驗對形成認識的作用.數學三個世界理論受建構主義和新皮亞杰主義的啟發，認為認知發展具有階段性、層次性、累積性，David Tall還認為經驗對認知形成有正反兩方面的作用.

認知科學認為認知以聯結的方式存在，重復能提高聯結水平.腦科學研究表明，大腦中有專門的視覺區域感知事物，人先天具有識別、語言表達的能力，認知的形成與發展受大腦活動的影響，人類思維由具體向抽象過渡與大腦皮層活動相關.Lakoff認為所有思維過程在活動中都是具體化的.數學三個世界理論接受了認知科學的觀點，認為人具有使用語言和模式識別的基本能力.因而有能力處理外部信息，并隨著抽象程度的加深逐漸產生符號[4].

2 數學三個世界理論結構[5]

Tall在這里選擇使用“界”不是指范圍，而是指不同的思維發展方式.他認為人的認知過程是以“前集”與“前變量”為基礎經數學三個世界而得以發展的.“前集”表示的是一種與生俱來的心理結構，該理論中特指“識別、重復、語言”；“前變量”即為個人以往的經驗在大腦中建立的聯結.

概念—具體化世界：現實中的具體對象與概念性具體都稱做“具體化”的，即以對世界的感知為基礎，通過反思利用語言形成精致的意義.在這個世界中，既包括對外部世界的認識，又包括對內部世界的感知.其數學學習對象是具體的、形象的、可見的，簡稱具體化世界.

過程—符號化世界：將操作壓縮并用符號表示，進一步壓縮形成概念的過程稱為“符號化”的，即開始于過程操作，通過符號的使用實現由解決數學問題到進行數學思考的有效轉換.在這個世界中數學學習對象具有符號過程性和符號概念性兩面特征，符號過程性是指具體化數學世界的操作過程，符號概念性則是指通過對這個操作過程的概括、抽象等心智活動得到的數學對象，簡稱符號化世界.

公理—形式化世界：把利用形式化定義和證明建立公理體系的過程稱為“形式化”的，即以對象性質為基礎，通過高度抽象，主要是對符號世界進行自反抽象，發展為形式化定義，有時需要進一步證明，使之發展為形式化公理，簡稱形式化世界.

Tall認為，人以“前集”為生理基礎，以“前變量”為社會基礎，形成了數學認知發展的3種途徑：具體化世界、符號化世界、形式化世界[13]，認知以感覺、操作和反思等基本活動為基礎，經具體化、符號化、形式化的過程發展.

3 理論相關研究

3.1 關于矢量學習的研究[6]

Tall在研究矢量概念學習時完整地提出該理論.該研究以Lakoff具體化認知理論和Dubinsky的APOS理論為基礎，在Amma Poynter關于矢量問題的研究啟發下進行，繼而不斷發展和完善.研究采用先對“操作—過程”進行分析后對“操作－結果”進行分析的方式.研究認為感知/形象—具體模式和具體—符號模式是聯系在一起的，從而把現實中的具體對象和概念具體聯系起來.矢量的三個世界表征為：矢量在物理中有各種具體的表現形式，可以用有大小和方向的量表示；也可以用符號表示并規定運算法則；還可用矢量空間的形式化方式定義并把形式化運算作為公理.

3.2 數學三個世界之間的關系及大學數學學習研究

數學三個世界具有內在的、遞進的發展方式[7]：具體化世界以對象特征為基礎，通過觀察、描述、定義對象性質并進行反思從而得以發展；符號化世界以操作為基礎，將操作圖式壓縮，并用符號表示形成可想像的概念（thinkable concepts）；形式化世界以性質為基礎，用集合理論定義，并通過形式化推理的方式發展.在教學中以“具體化”為前變量就直接用“自然化”的方法；以“符號化”為前變量會用程序的方法；以“形式化”為前變量會用邏輯的方法.同時Tall還發現具體化、符號化方法會影響形式化方法[8].就3者關系而言，認知發展以具體化、符號化為基礎向形式化轉化.原有的認知結構是通過與新情境融合的方式發展的，具體化、符號化、形式化在應用中實現融合，形式化會推動更高層次的具體化、符號化發展[9].體現出經驗性和演繹性的辯證統一[10].

Tall分別在代數、積分和證明3個領域內[11]再次論述了數學三個世界的發展過程，同時提出了很多解決問題的方法.如用“局部線性”具體化方法[12]、“局部直”符號化方法、“ε-δ”以極限為前變量形式化方法理解積分概念.對于導數概念Tall引用Thurston提出的7種定義方法：（1）無窮小量法；（2）符號化法；（3）形式化方法；（4）幾何方法；（5）比率；（6）近似；（7）顯微鏡法，即無限放大法.對于微積分內容Tall主張用感性的具體化和符號化的方法理解形式化概念[13].連續概念可以通過在電腦屏幕上畫出寬為2ε高為2δ矩形，組成以x為中心的曲線連續動態圖像；極限概念可以通過畫一系列的點最后與極限值無法辨別時確定極限值；微分概念在“局部直”前提下通過高度放大曲線的一小部分看作直線，把dx和dy看成切向量的分量，df(x)是分量的商加以理解.對于函數h(x)=g(f(x))求導的鏈式法則可以用形象化的方法，Y=f(x)，Z=g(y)，在三維空間中以曲線的切向量（dx, dy, dz）為立方體的3邊，分別向3個坐標面投影，dz/dx=(dz/dy)(dy/dx)實現對公式的理解.

3.3 數學三個世界下的認知發展過程研究

Tall認為，人通過感覺、操作、反思形成具體化世界；由特殊計算發展到一般計算并用符號表示，而后規定“算數規則”形成符號化世界；當數學由集合理論定義或由理論證明得出時，形成形式化公理世界[14].如圖1[9]：

Tall同時提出了人的長期認知發展的結構理論[15].Tall認為人的認知發展以SOLO理論提出的累積性建構方式進行；認知在建立長期神經聯結時，加強有效聯結，抑制其它聯結；數學認知經過抽象形成可想像的概念，而后經具體化、符號化、形式化發展，隨時間推移成為高級形式；在應用該結構時將概念進行結構融合，建立可想像的概念間聯系，形成一般圖式[16]；將以前的概念結構重新組織會產生創造性思想，用具體化、符號化、形式化方式加以解決，從而使概念結構更加高級.

圖1 數學三個世界下認知發展圖

3.4 關于抽象 可想像的概念 結晶體概念的研究

Tall通過對3者的論述揭示出認知形成和發展的成因.由于人類大腦作用的范圍限制，認識事物時人們必須將知識壓縮后才能提取信息[17]，通過具體操作感知周圍的事物，通過內部抽象形成特殊和一般認識.抽象可以通過認識對象的性質，將其分解成不同層次進而將其壓縮；也可以對操作過程再認識，而后壓縮成算術中的運算符號、代數中的公式符號、積分符號等；還可以先認識對象的性質，進行分階段的壓縮后，用集合理論和數學證明推導出其它性質，最終形成一個概念或公理體系，因此概念—具體化、過程—符號化、公理—形式化代表3種不同的抽象方式、3種概念形式、3種證明方式[18].

在“前變量”的影響下，人們通過操作認識事物，通過對本質聯結的把握將知識壓縮，并用符號表示形成可想像的概念，這是知識轉化的關鍵[19].壓縮途徑可以Lakoff提出的分類方式，也可采用Dubinsky提出的APOS理論模式，亦可采用Tall提出的程序法即：程序—多個程序—過程—過程概念的方式，如圖2[20]：

圖2 將圖式壓縮成可以想象的概念過程圖

為了合理解釋抽象知識相互轉化的原因，Tall于2011年提出了結晶體概念的思想.Tall認為當知識壓縮形成一個內部實體后，會形成很多等價的概念和公理.他將結晶體概念定義為“一個特殊的知識結構，人們可根據周圍環境確定它的必要性質，其他的概念和定理可以通過對其的推理而獲得”[21]，它自身具有簡約性、發散性的特點.例如完備的有序域是結晶體概念，因為任何兩個滿足完備有序域的公理都是同質的.

3.5 數學三個世界下教師的作用與教學研究

數學的三個世界認為知識是以聯結的方式存在的，因此主張采用聯結主義教學模式[22].該模式要求學生在學習中基于以前的經驗做出合乎邏輯的假設，并通過積極主動地參與來完成知識的建構.而教師作為輔導者安排課堂活動，鼓勵學生通過對本質概念的理解建立聯結、分組探索、接受問題的挑戰形成認識.教師通過準確把握知識、思維的聯結點，使學生的探索逐漸深入；設置具有挑戰性問題不斷增強學生解決問題的信心和能力；通過學生間的互動交流使大多數學生基礎更加扎實.該模式按照輸入信息、激活信息、建立聯結、提取和檢索信息順序進行教學.其優點在于充分調動了教師與學生的積極性，真正實現教學相長.

Tall帶領的研究團隊分別按照講授法、聯結主義教學法、發現教學法進行教學，經過一段時間后進行跟蹤調查，并用國家課程測試進行測量，分為非常有效、有效、一般有效.所得數據顯示那些主張用聯結主義模式的教師教學效果最明顯，那些主張用傳授法或發現法的教學效果僅一般有效，堅持用折中方法教學的則大多數有效.因此，教師教學時要作為輔導者幫助學生將知識壓縮成可想像的概念，并促使他們建立起知識之間的聯結.如表1[22]：

表1 講授法和聯結主義教學法及發現教學法的比較

4 數學三個世界理論的影響及創新

該理論的發展過程一直備受世界數學教育界關注.在2002年、2004年的兩屆國際數學教育心理學會議（PME）上，Tall分別作了題為“Embodied Action, Effect, and Symbol in Mathematical Growth”（見文[23]）和“Thinking through Three Worlds of Mathematics”（見文[2]）的報告.在2009年國際數學教育委員會議（ICMI）上，他的報告“Cognitive and Social Development of Proof through Embodiment,Symbolism and Formalism”（見文[14]）引起了與會專家們的極大興趣.另外，2006年APEC筑波國際會議（見文[8]）、2007年APEC關于課例研究會議（見文[24]）以及2007年中東第三年度科學、數學、計算機教師會議（見文[22]）也都隆重邀請他到會闡述該理論的最新研究成果.同時，他所寫的有關該理論的論文在國際數學教育權威雜志Mathematics Education Research Journal（見文[9，17]）、Journal of Mathematical Behavior（見文[25]）和For the Learning of Mathematics（見文[1，21]）等發表.在美國、英國、德國、澳大利亞、比利時以及臺灣舉辦的數學教育國際會議上，Tall也就這一理論作了典型發言，引起了強烈反響.目前該理論處于結構相對穩定，內容不斷完善階段，并已經在日本、巴西、土耳其等國課堂教學中取得了很好的效果[1].由于該理論還沒有得到全面推廣，因此在世界范圍內還沒有形成一致評價，但是已經得到國際數學教育界同仁們的肯定和認可.

David Tall是這樣評價該理論的：（1）該理論以兒童、中學生、大學生、數學家為研究對象，通過對人學習所有數學科目時認識規律的研究，揭示人一生的認知發展過程；（2）該理論對所有認知層次都起作用；（3）該理論作為一個整體去認識事物并形成結晶體概念.通過比較不難發現，皮亞杰研究兒童思維的認知發展過程，他把抽象作為認知發展的終點[26].而該理論研究抽象知識的形成和轉化過程，把形式化推理作為最終目標，適合解釋中學和純抽象的大學數學知識的學習.同時，與新皮亞杰主義相融合，強調認知建構具有累積性、階段性與層次性.建構主義認為，新知識的學習是以已有知識經驗為基礎的一個主動的意義建構過程[27].而該理論在承認經驗對認知發展作用的同時，又說明了經驗起的正反作用，指出在新環境下需要重新提取.相對于建構主義否認重復對認知發展起作用的觀點[28]，該理論認為重復能加強聯結并促進自動化操作的形成，體現出與認知科學相融合.該理論強調了符號在形成圖式中的中樞作用，認為抽象知識以聯結的形式存在并可以相互轉化，因為知識壓縮最終形成結晶體概念.它自身具有的推理性聯結是抽象知識之間相互轉化的根本原因[21]，彌補了APOS理論不能解釋推理的不足.

2006年國際數學教育心理學大會（PME）承認，建構主義的影響正在消退，潛力已不再突出[29].數學的三個世界理論的出現給人們提供了研究認知發展的新視角，也可以重新審視學生的認知過程，以此創新教學理論、教學模式，并在實踐中不斷對其進行檢驗、修正.期待該理論對中國的數學教學改革，尤其對大學數學教學改革產生積極的影響.

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