圓錐曲線中最值、范圍、定值及存在性問(wèn)題

2013-10-27 01:13:09虞金龍

中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2013年3期

關(guān)鍵詞：拋物線數(shù)學(xué)

●虞金龍

(紹興市第一中學(xué) 浙江紹興 312000)

圓錐曲線中最值、范圍、定值及存在性問(wèn)題

●虞金龍

(紹興市第一中學(xué) 浙江紹興 312000)

1 考點(diǎn)回顧

圓錐曲線中最值、范圍、定值及存在性問(wèn)題是歷年高考命題的熱點(diǎn)之一.此類問(wèn)題涉及的知識(shí)面廣、綜合性大、隱蔽性強(qiáng)、計(jì)算量大，常常令考生頭疼.解決此類問(wèn)題常常要用到數(shù)學(xué)思想方法，有時(shí)題設(shè)條件紛繁復(fù)雜，使得考生答題舉步維艱.近幾年的浙江省數(shù)學(xué)高考都考到圓錐曲線中最值、范圍、定值及存在性問(wèn)題，本文給出該類題型的一些解法，旨在拋磚引玉.

2 典題剖析

2.1 最值問(wèn)題

解答圓錐曲線中最值問(wèn)題的常用方法有：幾何法、函數(shù)法、不等式法.幾何法是根據(jù)圖形幾何性質(zhì)求解的方法；函數(shù)法是指將所求變量表示成某個(gè)相關(guān)變量的函數(shù)，再求函數(shù)的最值；不等式法是根據(jù)曲線性質(zhì)及條件建立一個(gè)關(guān)于所求變量的不等式，再解不等式求其最值的方法．

圖1

(1)求橢圓C的方程;

(2)求△ABP的面積取最大時(shí)直線l的方程.

(2012年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

從而

3x2-3mx+m2-3=0.

顯然Δ=(3m)2-4×3(m2-3)=3(12-m2)>0,

故

由韋達(dá)定理，得

又因?yàn)辄c(diǎn)P(2,1)到直線l的距離為

下面利用導(dǎo)數(shù)求解:令u(m)=(4-m)2(12-m2),則

u′(m)= -4(m-4)(m2-2m-6)=

評(píng)注本題是利用函數(shù)法求最值，特別是最后用導(dǎo)數(shù)求解，學(xué)生往往難以想到，有一定的難度.

2.2 范圍問(wèn)題

圓錐曲線中的范圍問(wèn)題，一般先根據(jù)條件列出所求目標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、不等式法、單調(diào)性法、導(dǎo)數(shù)法以及三角函數(shù)最值法等求出它的最大值和最小值，從而確定參數(shù)的范圍.

圖2

例2如圖2,動(dòng)點(diǎn)M與2個(gè)定點(diǎn)A(-1,0),B(2,0)構(gòu)成△MAB,且∠MBA=2∠MAB,設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C.

(1)求軌跡C的方程;

(2012年四川省數(shù)學(xué)高考試題)

分析(1)軌跡C的方程為

3x2-y2-3=0(x>1).

由題意,方程(1)有2個(gè)根且均在(1,+∞)內(nèi).設(shè)f(x)=x2-4mx+m2+3,則

解得

m>1且m≠2.

設(shè)點(diǎn)Q,R的坐標(biāo)分別為(xQ,yQ),(xR,yR),由|PQ|<|PR|，得

由m>1且m≠2,得

2.3 定值問(wèn)題

圓錐曲線中的定值問(wèn)題包括幾何量的定值或曲線系(直線系)過(guò)定點(diǎn)等問(wèn)題，處理時(shí)可以直接推理求出定值，也可以先通過(guò)特定位置猜測(cè)結(jié)論后進(jìn)行一般性證明.對(duì)于客觀題，通過(guò)特殊值法探求定點(diǎn)、定值能達(dá)到事半功倍的效果．

例3在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的點(diǎn)均在圓C2:(x-5)2+y2=9外,且對(duì)C1上任意一點(diǎn)M,M到直線x=-2的距離等于該點(diǎn)與圓C2上點(diǎn)的距離的最小值.

(1)求曲線C1的方程.

(2)設(shè)P(x0,y0)(y0≠±3)為圓C2外一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作圓C2的2條切線,分別與曲線C1相交于點(diǎn)A,B和點(diǎn)C,D.證明:當(dāng)點(diǎn)P在直線x=-4上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)A,B,C,D的縱坐標(biāo)之積為定值.

(2012年湖南省數(shù)學(xué)高考試題)

分析(1)曲線C1的方程為y2=20x.

(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線x=-4上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-4,y0).又y0≠±3,則過(guò)點(diǎn)P且與圓C2相切的直線斜率k存在且不為0.由題意，每條切線都與拋物線C1：y2=20x有2個(gè)交點(diǎn),則切線方程為

y-y0=k(x+4),

即

kx-y+y0+4k=0,

于是

整理得

(2)

設(shè)過(guò)P所作的2條切線PA,PC的斜率分別為k1,k2,則k1,k2是方程(2)的2個(gè)實(shí)根,故

設(shè)點(diǎn)A,B,C,D的縱坐標(biāo)分別為y1,y2,y3,y4,則y1,y2是方程(4)的2個(gè)實(shí)根,所以

(6)

于是由式(3)～(6)得

因此，當(dāng)點(diǎn)P在直線x=-4上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)A,B,C,D的縱坐標(biāo)之積為定值6 400.

評(píng)注本題考查曲線與方程、直線與曲線的位置關(guān)系,考查運(yùn)算能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)思想方法.第(1)小題用直接法或定義法求出曲線的方程;第(2)小題設(shè)出切線方程,把直線與曲線方程聯(lián)立,由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到點(diǎn)A,B,C,D縱坐標(biāo)之積為定值,體現(xiàn)“設(shè)而不求”思想.

2.4 存在性問(wèn)題

圓錐曲線中的存在性問(wèn)題也很受高考命題教師的青睞.這類題的解題策略有2個(gè)：(1)先假設(shè)存在，然后建立等量關(guān)系,若能求出相應(yīng)的量就存在，否則就不存在；(2)若能直接找到所求的量，則就能判斷存在與否，進(jìn)而解決問(wèn)題.

(1)求曲線C的方程.

(2)動(dòng)點(diǎn)Q(x0,y0)(-2

(2012年江西省數(shù)學(xué)高考試題)

分析(1)曲線C的方程:x2=4y.

解得點(diǎn)D,E的橫坐標(biāo)分別是

則

又因?yàn)?/p>

所以

對(duì)任意x0∈(-2,2),要使△QAB與△PDE的面積之比是常數(shù),t只需滿足

解得t=-1,此時(shí)△QAB與△PDE的面積之比為2.故存在t=-1,使△QAB與△PDE的面積之比是常數(shù)2.

評(píng)注本題以平面向量為載體,考查拋物線的方程、直線與拋物線的位置關(guān)系以及分類討論的數(shù)學(xué)思想.

2.5 綜合性問(wèn)題

圓錐曲線中最值、范圍、定值及存在性等綜合性問(wèn)題，它涉及到圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，同時(shí)又與三角函數(shù)、函數(shù)、不等式、方程、平面向量等代數(shù)知識(shí)緊密聯(lián)系.解這類問(wèn)題時(shí)，需要有較強(qiáng)的代數(shù)運(yùn)算能力和圖形識(shí)別能力，能準(zhǔn)確地進(jìn)行數(shù)與形的語(yǔ)言轉(zhuǎn)換和運(yùn)算、推理轉(zhuǎn)換，并在運(yùn)算過(guò)程中注意思維的嚴(yán)密性.

(1)求拋物線C的方程.

(2)是否存在點(diǎn)M,使得直線MQ與拋物線C相切于點(diǎn)M?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2012年山東省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析(1)拋物線C的方程為x2=2y.

從而

由x2=2y,得

則

即

從而

Δ=4k2+2>0.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則

|AB|2= (1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=

(1+k2)(4k2+2).

于是

評(píng)注本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與拋物線的位置關(guān)系引申出的相關(guān)探討性問(wèn)題及最值問(wèn)題，是一個(gè)綜合性較強(qiáng)的題目.

例6設(shè)A是單位圓x2+y2=1上的任意一點(diǎn),l是過(guò)點(diǎn)A與x軸垂直的直線,D是直線l與x軸的交點(diǎn),點(diǎn)M在直線l上,且滿足|DM|=m|DA|(m>0且m≠1).當(dāng)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),記點(diǎn)M的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程,判斷曲線C為何種圓錐曲線,并求其焦點(diǎn)坐標(biāo).

(2)過(guò)原點(diǎn)且斜率為k的直線交曲線C于點(diǎn)P,Q,其中點(diǎn)P在第一象限,它在y軸上的射影為點(diǎn)N,直線QN交曲線C于另一點(diǎn)H.問(wèn)：是否存在m,使得對(duì)任意的k>0,都有PQ⊥PH?若存在,求m的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖3

(2012年湖北省數(shù)學(xué)高考試題)

分析(1)如圖3,設(shè)M(x,y),A(x0,y0),則由|DM|=m|DA|(m>1,且m≠1),得x=x0,|y|=m|y0|,從而

(7)

因?yàn)辄c(diǎn)A在單位圓上運(yùn)動(dòng),所以

將式(7)代入式(8),即得所求曲線C的方程為

圖4 圖5

(2)如圖4和圖5,對(duì)任意k>0，設(shè)P(x1,kx1),H(x2,y2),則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-x1,-kx1),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(0,kx1),直線QN的方程為

y=2kx+kx1,

將其代入橢圓C的方程并整理可得

依題意可知此方程的2個(gè)根為-x1,x2,于是由韋達(dá)定理可得

即

因?yàn)辄c(diǎn)H在直線QN上,所以

而PQ⊥PH等價(jià)于

評(píng)注本題主要考查曲線的軌跡方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,要求能正確理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì),并能熟練運(yùn)用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題,對(duì)運(yùn)算能力有較高要求.

3 精題集萃

圖6

(1)求橢圓E的方程.

(2)設(shè)動(dòng)直線l:y=kx+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P,且與直線x=4相交于點(diǎn)Q.試探究:在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M，使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2012年福建省數(shù)學(xué)高考試題)

2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知雙曲線C1:2x2-y2=1.

(1)過(guò)C1的左頂點(diǎn)引C1的一條漸近線的平行線,求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積.

(2)設(shè)斜率為1的直線l交C1于點(diǎn)P,Q,若l與圓x2+y2=1相切,求證:OP⊥OQ.

(3)設(shè)橢圓C2:4x2+y2=1.若M,N分別是C1,C2上的動(dòng)點(diǎn),且OM⊥ON,求證:點(diǎn)O到直線MN的距離是定值.

(2012年上海市數(shù)學(xué)高考試題)

(1)求橢圓的方程.

(2)設(shè)A,B是橢圓上位于x軸上方的2個(gè)點(diǎn),且直線AF1與直線BF2平行,AF2與BF1交于點(diǎn)P.

②求證:PF1+PF2是定值.

(2012年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題)

圖7 圖8

(1)求直線AA1與直線A2B交點(diǎn)M的軌跡方程.

(2012年遼寧省數(shù)學(xué)高考試題)

(1)求橢圓C的方程.

(2)在橢圓C上,是否存在點(diǎn)M(m,n),使得直線l:mx+ny=1與圓O:x2+y2=1相交于2個(gè)不同的點(diǎn)A,B,且△OAB的面積最大?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的△OAB的面積;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2012年廣東省數(shù)學(xué)高考試題)

參考答案