一個函數值域的幾種求法

●張小明

(海寧市高級中學 浙江海寧 314400)

一個函數值域的幾種求法

●張小明

(海寧市高級中學 浙江海寧 314400)

在總結數學知識和領會數學解法方面，一題多解具有“花時少、傳授知識多”的作用，一直受到學生和教師的喜愛.筆者認為“學生懂不懂、如何做題”的教學是第一層次的，“為何這樣做”才是教師和學生追求的最終目標.以2010年全國高中數學聯賽填空題的第2題為例，本文講解其帶來的數學感悟.

評注解法1“妙”在無障礙地去除了根號運算.x=tant的引入，如果說是悟自于雙曲線的參數方程，還不如說來自于不定積分中的三角函數換元法：

解法2(好招)當x>1時，

當x<1時，

評注自變量“少”或自變量“近”是求函數值域的一個要點，把根號外面的量移到里面，就是以此為目的.至于x2=(x-1+1)2的處理是為了使變量處在同一計算形式，而且分母不易拆，而分子易拆.曾有人說:先兩邊平方，再做此題.筆者認為：兩邊平方，風險自理.解法2無風險，但也起到兩邊平方的作用.

解法3(險招)首先，當x>1時，y>0；當x<1時，y<0，且

平方后整理，得

(y2-1)x2-2y2x+y2-1=0.

當y=-1時，x=0；當y=1時，x無解;當y≠±1時，由求根公式知

從而

2y2-1>0，

與x>1矛盾，即x無解;當y>1時，

成立，即x有解.因此，所求值域為

評注用一元二次判別式求值域是有風險的(如解法3中容易遺漏了“從y出發，求出相應的x”).甚至有學者認為，用此法是錯誤的,但筆者認為：利用一元二次判別式求出函數值y的范圍后，再用求根公式求x，若相應的x能求出且符合原題意，則說明y值可取到，反之則不然.

得

(k2-1)x2-2k2x+k2-1=0,

即

4k2-4(k2-1)2=0,

解得

評注“分式”型函數求值域，都可考慮用解析幾何知識來化解問題,有時能事半功倍.

解法5(高招)對y求導，得

從而y在(-∞,-1)上單調遞增，在(-1,1)上單調遞減，在(1,+∞)上單調遞減.由于

解法6(無招勝有招)當x>1,x→1時，易知y→+∞；當x→+∞時，易知y→1.

平方后整理，得

(1-a2)x2+2a2x+1-a2≥0.

4a4-4(1-a2)2≤0，

解得

猜想2當x<1時，y<-1,其等價于

即

亦即

x2+1>1-2x+x2，

從而

x>0，

與x<1矛盾，因此猜想2不成立.