利用三角形中一個平面向量定理解題

●高 召

(三門峽市第一高級中學 河南三門峽 472000)

利用三角形中一個平面向量定理解題

●高 召

(三門峽市第一高級中學 河南三門峽 472000)

定理若P是△ABC內一點，SB,SC,S分別表示△APC,△APB,△ABC的面積，則

1 定理的證明

證明如圖1，當點P不在直線AB,AC上時，過點P分別作AC和AB的平行線，交AB和AC于點D,E,則

當點P在直線AB或AC上時，容易驗證結論也成立．

圖1 圖2

2 定理的應用

例1

( )

(2006年陜西省高中數學聯賽預賽試題)

( )

(2004年全國高中數學聯賽試題)

分析記△ABC,△BOC,△COA,△AOB的面積分別為S，SA，SB，SC，由定理得

(2005年中國奧林匹克選拔賽試題)

證明記△ABC的面積為S,由定理得

于是

圖3 圖4

(2006年吉林省高中數學聯賽預賽試題)

分析借助例3的結論可得

SA∶SB∶SC=3∶4∶5，

于是

S△PAB∶S△PBC∶S△PCA=5∶3∶4．

3 定理的推論

當點P分別為△ABC的重心、內心、外心、垂心、旁心時，能導出一組結構優美的結論．

推論在△ABC中，設∠A,∠B,∠C的對邊分別為a,b,c，則

(1)當點P為△ABC的重心G時，

(2)當點P為△ABC的內心I時，

(3)當點P為△ABC的外心O時，

(4)當點P為△ABC的垂心H時，

(5)當點P分別為∠A,∠B,∠C內的旁心Ia,Ib,Ic時，

證明(1)當點P為△ABC的重心G時，

代入定理可知推論(1)成立．

(2)當點P為△ABC的內心I時，

代入定理可知推論(2)成立．

(3)當點P為△ABC的外心O時，

代入定理可知推論(3)成立．

(4)當點P為△ABC的垂心H時，

同理可得

代入定理可知推論(4)成立．

(5)當點P為△ABC的∠A內的旁心Ia時，設其旁切圓半徑為ra，因為

所以

代入定理可得

當點P分別為△ABC的內的∠B,∠C旁心Ib,Ic時，同理可證其他兩式成立．

從而

從而

因此

由推論(3)得

分析在等腰△ABC中，由AB=AC=5,BC=8，得

從而

由推論(4)得

綜上可知，對于涉及到三角形面積的向量問題，靈活合理地使用上述定理或推論，可以使問題的解決更簡單流暢．