從高考三角問題看正弦、余弦定理的辯證統一

●孫郁娥 ●呂峰波

(嘉興市秀州中學 浙江嘉興 314033) (嘉興市第一中學 浙江嘉興 314000)

從高考三角問題看正弦、余弦定理的辯證統一

●孫郁娥 ●呂峰波

(嘉興市秀州中學 浙江嘉興 314033) (嘉興市第一中學 浙江嘉興 314000)

解三角形是高考中的常見試題，縱觀2012年全國各地的高考數學卷，其中不乏各類解三角形的題，歸納起來有以下4種類型：

(1)已知兩角和任一邊，解三角形；

(2)已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形；

(3)已知兩邊及其夾角，解三角形；

(4)已知三邊，解三角形.

事實上，這4類解三角形問題在教科書上已給出了明確的解法，而且很多教學參考書上把它們的解法歸納為：利用正弦定理可以解決類型(1)和類型(2)；利用余弦定理可以解決類型(3)和類型(4).筆者發現這樣的歸納很容易把學生帶入一個誤區，學生會認為類型(1)和類型(2)必須用正弦定理來做，而類型(3)和類型(4)則只能用余弦定理去解決.

而正弦、余弦定理作為揭示一般三角形邊角關系的重要定理，它們之間不是相互獨立的，而是辯證統一的關系.從證明方法上看，兩者可以有各自獨立的證明方法，也可以互推，因此用正弦定理能解的三角形，用余弦定理也可以解，反之亦然,只是不同的方法計算繁簡不一.下面筆者以2012年的數學高考題為例，來闡述這一問題.

1 已知兩角和任一邊，解三角形

例1

( )

(2012年廣東省數學高考文科試題)

而事實上，設角A，B，C所對的邊分別為a,b,c，也可以用余弦定理得

將a,A,B的值代入解方程組即可得到b，c，C.只是這個方程組解起來有點麻煩，嘗試后有意外發現.3個式相加得

0=a2+b2+c2-2bccosA-2accosB-2abcosC,

即 0=a2cos2B+b2cos2A+c2-2bccosA-2accosB+

2abcosBcosA+a2sin2B+b2sin2A-2abcosBcosA+

2abcos(A+B),

亦即0=(acosB+bcosA-c)2+(asinB-bsinA)2，

因此

asinB=bsinA，c=acosB+bcosA，

即csinB=acosBsinB+bcosAsinB=

bsinAcosB+bcosAsinB=bsinC,

評注由此可見,已知兩角和任一邊時，用正弦定理求解比用余弦定理求解在計算上更簡單，因此我們常說用正弦定理解決此類問題.而用余弦定理去求解也是可行的，只不過求解方程組的過程要復雜一些，但最后殊途同歸.

2 已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形

例2

(2012年北京市數學高考文科試題)

而事實上，也可以用余弦定理

a2=b2+c2-2bccosA，

將a，b，A的值代入整理，得

解得

但此處涉及到一個問題就是所得的一元二次方程的根可以有2個，2個根是否都滿足條件呢？如果有增根，又該如何取舍？筆者經過仔細推敲，發現只要是正根，必定均滿足條件，無需檢驗能否構成三角形.簡單證明如下：

由余弦定理知

a2=b2+c2-2bccosA，

將a，b，A的值代入整理得關于c的一元二次方程

c2-(2bcosA)c+(b2-a2)=0,

從而

Δ=(-2bcosA)2-4(b2-a2)=4(a2-b2sin2A).

同理,當A為銳角時，分ab這5種情況討論即可.

評注由此可見,類型(2)也是2個定理均可以用.一般來說，求角用正弦定理更快捷，若求第三邊，則用余弦定理只需解一個方程即可完成，比用正弦定理更直接.

3 已知兩邊及其夾角，解三角形

例3

(2012年重慶市數學高考文科試題)

分析此題一般考慮先用余弦定理求出邊

若不是特殊三角形，則可用余弦定理求出cosB，再求sinB，也可以先求sinC，再用正弦定理求出sinB.不管用哪一種方法，這里都要先用余弦定理求出第三邊c.

同樣來思考一個問題，可不可以先用正弦定理來計算呢？

化簡得

bsinBcosC+bcosBsinC=asinB,

即

解得

于是

評注由此可見，類型(3)也是既可以用余弦定理也可以用正弦定理來解決.我們發現先用正弦定理計算相對復雜，因此大多數教學參考書上常將此類問題歸納為用余弦定理可以解決的問題.

4 已知三邊，解三角形

例4如圖1，正方形ABCD的邊長為1，延長BA至E，使AE=1.聯結EC，ED，則

( )

(2012年四川省數學高考文科試題)

那么已知三邊求角是否只能用余弦定理解決呢？當然不是，它同樣也可以用正弦定理.不妨設△ABC中角A,B,C的對邊分別是a，b，c,且a

(2)

(3)

根據式(1)還可以得到

asin(A+B)=csinA，

即

asinAcosB+acosAsinB=csinA.

將式(2),式(3)代入，整理得

即

又因為B是銳角，所以

繼續代入,得

兩邊平方后整理,得

即

b2=c2+a2-2accosB.

從而可得角B的值，同理可得角A的值，最后得到角C.

評注類型(4)用余弦定理比用正弦定理簡單很多，因此類型(4)通常采用余弦定理求解，用正弦定理也是可行的，只是路途曲折很多.在用正弦定理求解的過程中，最后推得的結果剛好就是余弦定理的結論.

正因為正弦、余弦定理是互通的、辯證統一的，所以解三角形的4類問題，其實都既可以用正弦定理去做，又可以用余弦定理去做.只是類型(1)和類型(2)用正弦定理做、類型(3)和類型(4)用余弦定理做，在計算過程上相對來說可略勝一籌，計算更便捷.

[1] 劉清源.構建高效教學 探求數學本質——如何解好三角形[J].數學教學與研究，2011(36):78-79.

[2] 覃埋基.一類解三角形問題的另一解法[J].數學通訊，2003(12)：9.