高中數(shù)學(xué)競賽客觀題中的全對稱與輪換對稱

●王 華 王延敏

(鳳鳴高級中學(xué) 浙江桐鄉(xiāng) 314500)

高中數(shù)學(xué)競賽客觀題中的全對稱與輪換對稱

●王 華 王延敏

(鳳鳴高級中學(xué) 浙江桐鄉(xiāng) 314500)

在高中數(shù)學(xué)競賽中，若滿足f(a,b,c)=f(b,c,a)=f(c,a,b)，則稱為輪換對稱；若在輪換對稱的基礎(chǔ)上滿足f(a,b,c)=f(b,a,c)，則稱為全對稱．無論是在高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽還是在國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽中，全對稱與輪換對稱都占據(jù)著一定的地位．它在客觀題中主要以求最值的形式出現(xiàn)，對學(xué)生來說，“全對稱與輪換對稱”客觀題都是難題．下面通過對高中數(shù)學(xué)競賽客觀題中典型例題的分析，盤點“全對稱與輪換對稱”客觀題的最佳解題策略．

一、高中數(shù)學(xué)競賽客觀題中的“全對稱”

從而

于是

得

解法2由題意可知，a,b2,c3是全對稱，可知取最值只會在三者相等時取到，令

則

a=b2=c3，

從而

又a>0，得

點評解法1中利用解不等式求出其最大值，解法2中巧妙地利用原式取得最大值時a,b2,c3三者相等.

解法1

解法2由題意可知，a,b,c是全對稱，可知最小值只會在三者相等時取到，即a=b=c，而abc=1，因此a=b=c=1.此時原式的最小值為

點評解法1中2次利用基本不等式求出其最小值，解法2中巧妙地利用原式取得最大值時a,b,c三者相等.

例3設(shè)n為自然數(shù)，對于任意實數(shù)x,y,z恒有(x2+y2+z2)2≤n(x4+y4+z4)成立，則n的最小值為______.

解法1令a=x2,b=y2,c=z2，則題設(shè)不等式變?yōu)?/p>

(a+b+c)2≤n(a2+b2+c2).

一方面，

(a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≤

a2+b2+c2+(a2+b2)+(b2+

c2)+(a2+c2)=

3(a2+b2+c2),

當(dāng)n=3時不等式成立；

另一方面，當(dāng)a=b=c>0時題設(shè)不等式可化為9a2≤3na2，必有n≥3.

故n的最小值為3.

解法2由題意可知，x,y,z是全對稱，可知最小值只會在三者相等時取到，即x=y=z，故題設(shè)中不等式等號成立時，n的最小值為3.

點評解法1中利用兩邊夾原理求出其最小值，解法2中巧妙地利用原式取得最大值時x,y,z三者相等.

2 高中數(shù)學(xué)競賽客觀題中的“輪換對稱”

例4

A．2B．4C．6D．8

解法1f(x)=

兩式相減得

sinx-cosx=cosx-sinx，

即

sinx=cosx.

因為

所以

從而

故選B.

sinx=cosx.

因為

所以

從而

故選B.

點評解法1中利用基本不等式的性質(zhì)求出其最小值，解法2中巧妙地利用原式取得最大值時sinx與cosx相等.

例5設(shè)a,b,c為三角形的3條邊長，則

a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)

的最小值為______.

解法1不妨設(shè)a≥b,a≥c，則

(1)當(dāng)a≥b≥c時，

從而

a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)≥

c2[a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)]≥0.

(2)當(dāng)a>c≥b時，

從而 a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)≥0.

綜合(1)，(2)，可得

a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)≥0,

即a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)的最小值為0.

解法2由題意可知，a,b,c是輪換對稱，可知取最小值只會在三者相等時取到，即a=b=c，此時三角形為正三角形，故原式的最小值為0+0+0=0.

點評解法1中利用分類討論的思想求出其最小值，解法2中巧妙地利用原式取得最小值時必為特殊的三角形(正三角形)，此時a=b=c.