怎樣備課——從“平行四邊形性質”的教學設計說起

●王華鵬

(黃巖實驗中學 浙江黃巖 318020)

怎樣備課——從“平行四邊形性質”的教學設計說起

●王華鵬

(黃巖實驗中學 浙江黃巖 318020)

隨著互聯網技術的發展，豐富的網絡資源給教學帶來了很多便利，但也使很多教師特別是年輕教師在備課時被現成的課件所綁架.教學需要創新的系統設計，這是教師實現教育目標的系統規劃．沒有進行系統的設計，教學就失去了靈魂．

備課需要研究教材，整合教師與學生的認知活動，這是一個在沖突中尋求平衡的過程．下面以人教版“平行四邊形”(第1課時)的教學為例談談具體的操作思路．

1 對教學內容的理解與分析

平行四邊形是“空間與圖形”領域中最基本的幾何圖形之一，它在生活中有著十分廣泛的應用.對邊平行是平行四邊形的本質屬性，是仿射變換下平行不變性的體現.初中階段有關平行四邊形的學習綜合了平行線與三角形的相關知識，突出演繹推理，是訓練學生思維的良好平臺，也為高中向量加法運算提供了直觀模型.

本節課的知識內容是平行四邊形的定義以及邊、角的性質．2組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，它揭示了“平行四邊形”與“四邊形”的隸屬關系，以及它們之間的區別與聯系，反映了平行四邊形的本質屬性．平行四邊形邊、角的性質中，“平行四邊形的對邊相等”相對于定義中的“2組對邊分別平行”，是由位置關系向數量關系的一種延伸；“平行四邊形的對角相等”相對于“2組對邊分別平行”，是由“相鄰的角互補”產生的一種思維的深化．

平行四邊形性質的探究，經歷了“感知、猜想、驗證、概括、證明”的認知過程；研究先從邊分析，再從角分析，再到下一節課的從對角線分析，提供了研究四邊形的一般思路；平行四邊形性質的證明，滲透了將四邊形問題轉化為三角形問題的思想，在證明線段相等或角相等時經常借用三角形全等的方法，而添加對角線，則是將四邊形問題轉化為三角形問題的一種常用手段．因此本課的教學重點是：平行四邊形邊、角的性質以及幾何研究的一般思路與方法．

學生在小學階段已經學習了平行四邊形的概念并能應用公式計算平行四邊形的周長、面積，但這些只是從感性認識的層面對圖形特征加以辨別與數量的計算．作為初中生，需要從對圖形的整體感知發展到基于邏輯推理的理性認識，在這個過程中，需要做好2項工作:一是為了明確概念而確立定義;二是為了揭示真理而推證定理．

本節課始終圍繞類比與轉化的思想，考慮初中生的學習特點，通過回顧和類比三角形的學習過程，讓學生了解學習幾何圖形的過程是必要的．但這種幾何研究的一般思路不適合同時大篇幅地向學生介紹，應當在學習的不同進程中根據需要適時給出對應內容，以漸進的方式在學習新知識的過程中讓學生不斷體會與領悟，這是本課的教學難點，也是有效設計本節教學的關鍵．

2 站在學生的角度設計教學

站在學生學習的角度來思考是進行教學設計的核心要求，唯有如此方能有效突破難點，實現預定的教學目標．在具體的教學過程設計中，應以“問題串”方式呈現為主．所提出的問題應當注意適切性，對學生理解數學概念和領悟思想方法有真正的啟發作用，達到“跳一跳摘果子”的效果．

2.1 從實物到圖形——平行四邊形定義的確立

(1)展示圖片或錄像，感受生活中大量存在平行四邊形的形象(如圖1)．

圖1

說明：幾何學是對空間形式的研究，而幾何圖形是對生活中具體形象的抽象．讓學生真切感受現實世界中許多物體給我們以平行四邊形的形象．

(2)教師通過電腦，演示從實物中抽象出平行四邊形的過程．

說明：從實際問題中抽象出幾何圖形——平行四邊形，讓學生經歷將實際問題抽象為數學問題的過程，進一步強化學生對平行四邊形圖形的認識.

(3)問題：你還記得三角形、等腰三角形是如何定義的嗎？類似地，你能給出平行四邊形的定義嗎？

學生會答對，因為小學講過，學生講后，教師指出：正如有2條邊相等的三角形是等腰三角形，平行四邊形是特殊的四邊形，是在四邊形基礎上進行定義的．同時對定義的文字描述進行劃線，以分清層次，強調“四邊形”和“2組對邊分別平行”這2個條件:一個“四邊形”必須具備有“2組對邊分別平行”才是平行四邊形；反之，平行四邊形，就一定是有“2組對邊分別平行”的一個“四邊形”．

說明：類比三角形和等腰三角形的定義，滲透類比思想，進一步明確四邊形、平行四邊形的本質內涵與定義形式，也為后續研究特殊平行四邊形的定義埋下伏筆．

(4)三角形常用符號“△”與3個頂點字母來表示；對于平行四邊形，我們也有類似的表示方法．

將前面抽象出的平行四邊形的4個頂點標上字母，類比三角形的表示方法，介紹平行四邊形的符號表示方法(如圖2)．

圖2

有了符號表示后，前面的生活語言敘述就可以改為用數學語言進行的推理：

推理1因為ABCD(已知),所以AB∥CD，AD∥BC(平行四邊形的定義).

推理2因為AB∥CD，AD∥BC(已知),所以四邊形ABCD是平行四邊形(平行四邊形的定義).

說明：強調定義的2個方面作用:一是可以判定一個四邊形是不是平行四邊形;二是平行四邊形具有2組對邊分別平行的性質．

2.2 從直覺到證明——平行四邊形性質的探究

(1)引言：與三角形的學習過程一樣，對于一種幾何圖形的研究，我們總是先確定它的定義，再在定義的基礎上進一步探究圖形的性質．而對性質的研究，其實就是對邊、角、線等基本構成要素關系的揭示．

說明：對圖形性質的研究，重在解決研究什么和怎么研究的問題.在引言部分，調動學生的學習經歷，使學生明確平行四邊形性質的探究方向．

(2)問題：對于平行四邊形，從定義出發，你能進一步得出其他性質嗎？

由于有了小學學習的經驗，學生會說出對邊相等、對角相等．教師結合前面已經標注字母的平行四邊形將其以數學語言表述．

猜想1由ABCD,得AB=CD,AD=BC.

猜想2由ABCD,得∠A=∠C,∠B=∠D．

(3)追問：你能證明這些結論的正確性嗎？

這里的教學宜采用開放式教學，讓學生充分自由發表意見，學生的思維在交流中碰撞．一般地，學生會對2個結論分開證明，其中對角相等利用平行線的性質可證，而對邊相等則需要添加輔助線利用全等證明．證后又會發現其實用全等可以同時證明2個結論，此時可進一步明確平行四邊形的對角線將平行四邊形分成2個全等的三角形這個常識．

說明：猜想結論并不困難，主要是對猜想的結論(小學里的常識)應當進行證明，只有經過證明才能成為定理，這是追問設計的意圖所在．

(4)點撥：學生思維受阻時，可進行適當引導，讓學生領悟.證明線段相等、角相等通常是利用全等的方法，而圖形中沒有三角形，只有四邊形，可見需添加輔助線，構造三角形，將四邊形轉化為三角形來解決，使難點得以突破．教師可在證明思路完成后進行歸納小結，對思想策略加以提煉．

說明：平行四邊形性質的證明，滲透了將四邊形問題轉化為三角形問題的思想，在證明線段相等或角相等時經常借用三角形全等的方法，而添加對角線，則是將四邊形問題轉化為三角形問題的一種常用手段．

(5)歸納：①平行四邊形的性質定理：平行四邊形的對邊相等、對角相等;②平行四邊形的一條對角線將平行四邊形分成2個全等的三角形;③有些四邊形問題在不能直接運用四邊形的性質解決時,常常可以轉化為三角形問題處理．

說明：歸納環節的設計是對探究過程中得到的結論(知識)和形成的思想策略進行回顧與整理,這有助于學生形成清晰的認識．

2.3 從基礎到綜合——平行四邊形性質的運用

(1)簡單計算，直接應用.

出示題目后讓學生口答，要求說清理由．

說明：若學生用多種方法計算，可進行比較分析．此題解決后應進一步復述平行四邊形邊、角的性質：平行四邊形的對邊平行且相等;平行四邊形的鄰角互補、對角相等．

圖3 圖4

(2)推理論證，鞏固知識.

例1如圖4，在ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分別為E，F．求證：AE=CF．

分析要證明線段相等，我們利用全等三角形的性質,全等的條件可由平行四邊形的性質得到．

證明因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以

∠A=∠C，AD=CB.

又

∠AED=∠CFB=90°，

所以

△ADE≌△CBF,

從而

AE=CF.

說明：先由學生口頭講解思路，要求做到有理有據，條理清楚,再書寫過程．在運用的過程中加深對定理的理解．

圖5

(3)綜合運用，提升能力．

例2如圖5，已知：△ABC是等腰三角形，P是底邊BC上一動點，PE∥AB，PF∥AC．求證：PE+PF=AB．

說明：此題需要先運用平行四邊形的定義證明四邊形AEPF是平行四邊形，然后運用平行四邊形的性質“對邊相等”進行線段的轉化，同時綜合運用等腰三角形的性質和判定．此題的分析和解決，有利于學生結合具體問題的已知和求證綜合分析思路，在綜合運用中，相關知識得以結合，這也是掌握的標志．

在實際教學中，應根據時間情況，可以讓學生講解思路，要求條理清楚，有理有據.如果時間不多，證明過程可以不寫．

2.4 從學習歷程回顧到反思總結——課堂小結

可以圍繞以下幾個方面進行：

(1)本節課我們學習了哪些知識？

(2)通過本節的學習和過去三角形的學習經歷，你覺得對一個幾何圖形的研究通常是怎樣進行的？

(3)對于平行四邊形你還有哪些方面感興趣、覺得有必要進一步研究思考的呢？

說明：3個問題從不同的層次與角度提出，引導學生在回顧的基礎上總結與延伸，體現平行四邊形的教學不僅要完成其自身顯性知識的教學，而且還擔負著培養學生策略性知識的重要作用,體現對思想方法教學適時滲透、自然體會、自覺運用的價值追求．

3 基于課例設計過程的思考

3.1 對重難點的深入剖析是設計的前提

教學重點是教材的邏輯結構決定的，是客觀存在的，對每個學生都是一致的．而難點是指學生在接受上比較困難的知識點，是由學生原有知識結構與新知識之間的不協調造成的，是因人而異的．備課時，教師應當根據自己以往的教學經驗、數學內在的邏輯關系以及思維發展理論，對學生在本節內容學習中可能遇到的障礙進行預測，并對出現障礙的原因進行分析，在分析的基礎上準確把握教學難點．

3.2 以學定教是設計的基礎

以學定教就是要遵循學生“學”的特點和規律進行設計，在小學階段，通過動手活動，學生已經對平行四邊形的有關性質有所了解，因此，這節課不應該把動手探究作為一個重要內容處理，而是在猜想性質的基礎上，把教學重點放在對性質的證明上．通過證明，一方面對學生進行演繹推理能力的訓練，另一方面，可以滲透證明中蘊含重要的數學思想．

在平行四邊形定義與性質的學習過程中，適時滲透類比、轉化的思想，使學生自然體會幾何研究的一般思路與方法是本節課的靈魂所在，強調適時和自然的原因在于教師認為簡單自然的，學生不一定會認為簡單，教師的思維不能代替學生的思維．

3.3 點線結合是設計的方法

一堂清晰流暢的課，必然有一條明晰的主線，否則這個設計就是雜亂無章、高耗低效的．明晰的主線還只是一種宏觀上的思路，如果沒有微觀的精致的細節設計，就會空洞無力，因此要精心設計教學目標達成的關鍵點、學習情趣升華的觸發點和教學環節自然發展的連接點．

[1] 李昌官．數學優秀課成長的基礎、過程與方法[J]．課程·教材·教法，2011(8):58-63．

[2] 章建躍．聚焦中學數學核心概念、思想方法的課堂教學設計[J]．中學數學教學參考，2008(11):6-10．