學生在邏輯推理中的思維誤區及矯正對策

●陶增元

(九江市第十一中學 江西九江 332000)

學生在邏輯推理中的思維誤區及矯正對策

●陶增元

(九江市第十一中學 江西九江 332000)

學生的幾何學習是以認識和發展平面幾何知識為目的的一種思維活動.在這個過程中，學生將思維建立在幾何概念和定理的基礎上進行邏輯推理，然而推理的過程并不是一帆風順的，學生解題過程中會暴露出思維上的誤區，嚴重影響學生邏輯思維能力的健康發展[1].他們在進行幾何證明時，由于邏輯思維不夠縝密，致使他們的推理過程漏洞百出，歸納起來有以下幾種思維上的誤區．

1 移花接木

所謂“移花接木”指的是學生在邏輯推理的過程中，由條件中推導出的結論與本身條件不相一致，它是根據學生的需要生拉硬拽得出的結論，這種錯誤常常出現在全等三角形證明的過程中．這種錯誤不是學生的有意行為，而是一種無意行為，是他們沒有意識到自己在思維上的一個誤區．

圖1

案例1如圖1，已知在矩形ABCD中，AC與BD相交于點O，BE⊥AC于點E，CF⊥BD于點F．求證：BE=CF．

學生A的解答是：在矩形ABCD中，AB=DC．因為AC與BD是矩形ABCD的對角線，所以

OA=OC，OB=OD,

從而

△AOB≌△COD,

得

∠BAO=∠CDO.

又因為BE⊥AC于點E，CF⊥BD于點F，所以

∠BEA=∠CFD．

在△ABE與△DCF中，因為

∠BAO=∠CDO，∠BEA=∠CFD，AB=DC，

所以

△ABE≌△DCF,

從而

BE=CF．

點評學生在得到△AOB≌△COD后，誤認為點A與點D對應，點B與點C對應，從而∠BAO=∠CDO，在不知不覺中實行了移花接木.在他的思維當中，∠BAO=∠CDO是很自然、正確的，卻沒有認真思考這2個角是否是對應角．

2 無中生有

“無中生有”指的是學生在答題過程中，常常根據答題的需要，自己杜撰定理或條件．有些學生將看起來成立但未經證明的結論或者某些定理的逆命題理所當然地認為是定理，而不假思索地應用到證明當中．

圖2

案例2如圖2，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于點E，求證：四邊形AECD是菱形．

學生B的證明過程是：聯結ED,交AC于點F，因為AB∥CD，CE∥AD，所以四邊形ADCE是平行四邊形，AC與ED互相平分，即AF為DE的中線.又因為AC為∠BAD的平分線，所以△ADE是等腰三角形，從而AD=AE，即ADCE是菱形．

點評在證明過程中，學生理所當然地認為“等腰三角形的三線合一”會有一個逆定理，即：如果三角形中一個角的角平分線是對邊的中線，則這個三角形是等腰三角形．基于這個考慮，認為AF既是ED的中線又是頂角的平分線，因此△ADE是等腰三角形.

3 望“圖”生義

圖3

望“圖”生義就是學生根據圖形主觀認定某個數學對象自然而然是存在的，主要表現在習題的已知條件中并不存在的數學對象，而在圖形中看起來像存在這種數學對象，而證明過程中恰好又可以使用，于是就順理成章地被學生拿來作為條件或結論加以使用．

案例3如圖3，已知正方形ABCD在直線MN的上方，BC在直線MN上，E是BC上的一點，以AE為邊在直線MN的上方作正方形AEFG，聯結GD，求證：△ADG≌△ABE．

相當多學生的證明是：因為四邊形ABCD與四邊形AEFG都是正方形，所以

AB=AD，AE=AG,且∠ABE=∠ADC=90°，

可得

∠ADG=90°，

從而△ADG與△ABE都是直角三角形．在Rt△ADG與Rt△ABE中，

AE=AG，AB=AD．

因此

△ADG≌△ABE(HL)．

點評這些學生沒有注意到題中的“聯結GD”的含義意謂著點C,D,G可能不在同一直線上，這些學生僅是根據圖形的形狀就望“圖”生義，主觀臆測得出∠ADG=90°，因而錯誤地運用“HL”定理證明了△ADG≌△ABE．

4 “思”無反顧

邏輯思維具有多向性，它不僅可以正向思維，也可以逆向思維．逆向思維是指由果索因，知本求源，從原問題的相反方向著手的一種思維[2].

在證明題中，若從條件出發很難直接得到結論，則可以采用逆向思維，從結論出發采取倒推的方法，逐步回溯分析，最后得出所需要的數學對象．由于這類題要求的思維度比較高、難度較大，不善于使用逆向思維方法進行思考的學生往往會感到束手無策，讓人感覺其“思”無反顧．所謂“思”無反顧指的某些學生只善于從正面入手思考問題，但不善于使用逆向思維進行邏輯分析．

圖4

在幾何學習過程中，某些學生除了存在上述思維誤區以外，還存在著：證明過程中的“因為,所以”上下語句之間不存在因果關系，濫用同理可證等一些似是而非的證明，稍不留神，就有可能被這個證明蒙混過關，給將來的學習埋下隱患．

由于學生的思維不可能是統一的，他們對同一證明題給出的證法是多種多樣的，其中不乏錯誤的證法，但這些錯誤是真實美麗的，可遇而不可求的，這就要求教師及時捕捉一些有用的信息，順勢利導，將這些信息轉化為教學資源.針對這些思維誤區，筆者采用了以下幾個步驟進行矯治：

(1)辨：將學生的幾種不同證法全部展示在全體學生面前，其中的錯誤證法可能不只一種，由學生自己仔細辨別這些證法，對其中的錯誤證法進行糾錯，這種做法可以提高學生的興趣，也可以提高學生辨別正誤的能力．培養學生具有一雙慧眼，遠比教師在辛辛苦苦地講授、學生昏昏欲睡地被動接受的效果好得多．當然，在辨別糾錯的過程中，學生難免有誤判，這就給我們進行下一步提供了契機．

(2)辯：俗話說：理不辯不明．很多學生知道某些幾何題的證法是錯誤的，但只知其然卻不知其所以然，他們并沒有從思想深處真正理解邏輯推理的要義．因此，有必要讓學生參與到辯論當中來，采用的形式可以是學生與學生進行辯論，也可以是老師與學生進行辯論.在辯論的過程中，讓學生在思維的碰撞中產生思想火花，產生解題的靈感，達到“理越辯越明”的目的，同時也可以進一步培養學生的邏輯思維能力，鍛煉學生的口頭表達能力．

(3)變：在完成上述2個步驟之后，可以讓多數學生明白邏輯推理中可能存在哪些誤區，使得他們免去誤入歧途的危險．但這一招還不足以使所有的學生都能順利地掌握邏輯推理的精髓，需要反復訓練，由此可以采用第3個步驟“變”． 教師可準備多道變式練習，這些習題或者是改變了原題的條件，或者是改變了原題的結論，或者是改變了題型，如將證明題改編成開放題、計算題或探索題.總之，要讓學生在“變”的過程中領略到幾何證明題的魅力，它可以有多種變換形式，不同的題型隱含著不同的解決方法或思想方法.“變”可以起到舉一反三、融會貫通的作用，它對學生所學知識的掌握、技能的發展，分析問題、解決問題能力的提高，起著舉足輕重的作用．

(4)遍：所謂“遍”指的是遍訪每一個學生，找出所有在經歷上述3個步驟之后依然存在各種不同思維誤區的學生臨時組成一個學習小組，在該學習小組中重復上述3個步驟，直到所有學生基本消除這一類習題在邏輯推理中的思維誤區為止．

對學生進行邏輯思維能力的培養是教學的一個難點，某些學生初學證明時，看似掌握得挺快，實則漏洞百出，這就需要教師用火眼金睛去發現其中的漏洞，讓學生在交流中領悟，在思維的碰撞中自省，將學生的錯誤消滅在萌芽狀態，切忌等到學生積重難返時再糾錯．

解題過程中的思維誤區是學生學習過程中的相伴產物，是具有特殊教育作用的寶貴的教學資源.我們要善于尋找、開發、利用這些寶貴資源，讓學生在糾錯、辯論的過程中感悟、自省、領悟方法，引導學生對這些思維誤區進行分析，探究產生的原因，促進學生認知能力和情感的發展[3]．

[1] 劉海濤．平面幾何解題思維障礙的成因及解決策略[J]．中國數學教育，2012(3)：21．

[2] 彭玉迎．數學逆向思維訓練淺議[J]．中學生數理化:教與學，2010(1):20.

[3] 邵瀟野．運用錯誤資源拓展思維空間[J]．中國數學教育，2011(9)：5.