一道希望杯培訓題的探究

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(錦屏中學 浙江奉化 315500)

一道希望杯培訓題的探究

●傅前達

(錦屏中學 浙江奉化 315500)

第23屆希望杯全國數學邀請賽培訓題初一年級第69題：

從學生的練習解答情況看，大多數填“1”．課堂上分析此題時，請學生介紹了各自的思路、解法，很受啟發．

學生1：用特殊值法，令x=y=z=w=1，使連等式成立，因此w2x2y2z2=1．

有學生質疑：此解法不符合條件(要求w,x,y,z互不相等)，且選取不同的特殊值，結果可能不同．答案正確純屬巧合．

學生2：這是一個不定方程組，有無數組解，可以用某個未知數的代數式表示其他未知數，再代入求解．對于客觀題，我嘗試用賦值法，減少運算量．

令x=1，則

解得

從而

wxyz=-1,

即

w2x2y2z2=1．

(該生有非常扎實的代數基礎知識和基本技能.)

學生3：根據經驗，輪換式通常整體考慮，采取全加、全乘的策略，我嘗試后，沒有成功．聯想起一道輪換式競賽題，是用輪減法解決的，模仿后居然有了驚喜．

全乘得

(w-x)(x-y)(y-z)(z-w)=

因為(w-x)(x-y)(y-z)(z-w)≠0，所以

w2x2y2z2=1．

(此法與組委會提供的參考解法一致，此學生的數學素養可見一斑.)

學生4：順著前一種解題的思路，我進行了簡化操作．

式(1)，式(2)相乘,得

因為(w-y)(x-z)≠0，所以

wxyz=-1，

從而

w2x2y2z2=1．

(教室里先是鴉雀無聲，很快響起了熱烈的掌聲，學生們由衷欽佩的目光聚焦在這位學生的身上.)

在課后的反思中，筆者聯想起了2003年全國初中數學聯賽的最后一題：

該題在起初求解時遇到了極大的困難，通過輾轉代換消元，歷經復雜的運算、因式分解、分類討論解答．如果采用學生4的結論，結合學生3的經驗，可以這樣解答：

解全乘得

輪乘后再全加,得

又因為abcd=-1，所以

x4-4x2+4=0，

解得

回顧本題的解決過程，學生始終處于舞臺的中央，真正成為學習的主人.學生熱情高漲，積極參與到數學活動中去，獨立思考、自主探索、合作交流、共同發展，體驗到了數學的魅力、思維的樂趣，增強了自信心．教師成為了組織者、合作者、學習者，同樣收獲頗豐：在數學資優生培養中，要相信學生，放手讓學生自主學習，大膽嘗試先學后教，即先布置學習任務獨立探索，再在課堂上讓學生暢所欲言，教師認真聽，積極捕捉學生的閃光點，放大并完善它，若能有畫龍點睛之舉則更妙．