高斯函數(shù)
——樸素的外形、深邃的內(nèi)涵

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(柯橋中學(xué) 浙江紹興 312030)

高斯函數(shù)
——樸素的外形、深邃的內(nèi)涵

●章水云

(柯橋中學(xué) 浙江紹興 312030)

高斯函數(shù)從形式上看，簡潔美觀；從函數(shù)角度看，包含著連續(xù)和離散2個方面，因此高斯函數(shù)有其獨特的魅力.與高斯函數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，歷來被各級競賽命題者青睞，是各級競賽的熱點問題且常考常新.本文試圖對高斯函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用作一個比較全面的概括，現(xiàn)分述如下：

1 高斯函數(shù)y=[x]的定義和性質(zhì)

1.1 定義

設(shè)x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則稱y=[x]為高斯函數(shù)，也叫取整函數(shù).記{x}=x-[x]為x的小數(shù)部分.高斯函數(shù)從形式上看，簡潔美觀，易為學(xué)生理解，而從函數(shù)角度看，其定義域為R，值域是Z，因高斯函數(shù)的定義域是連續(xù)的，值域卻是離散的，它關(guān)聯(lián)著連續(xù)和離散2個方面，故有其獨特的性質(zhì)和廣泛的應(yīng)用.

1.2 性質(zhì)

(1)當(dāng)x1≤x2時，[x1]≤[x2].

(2)[n+x]=n+[x]，{n+x}={x}，其中n∈Z.

(3)x-1<[x]≤x<[x]+1.

(4)若[x]=[y]=n，則x=n+a,y=n+b,其中0≤a<1，0≤b<1.

(5)對于一切實數(shù)x,y，有

[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1.

(6)若x≥0,y≥0，則[xy]≥[x][y],特別地，[nx]≥n[x]，其中n∈Z.

(11)設(shè)p為任一素數(shù)，在n!中含p的最高乘方次數(shù)記為p(n!)，則

(12)函數(shù)y=[x]的圖像如圖1所示，設(shè)f(x)={x}，則f(x)是周期為1的函數(shù)，圖像如圖2所示.

圖1 圖2

2.高斯函數(shù)的應(yīng)用

2.1 利用高斯函數(shù)解決整數(shù)問題

(2009年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽河北省預(yù)賽試題)

分析當(dāng)0

[x+y]=[x]或[x+y]=[x]+1；

當(dāng)y≥1時，

[x+y]>[x].

又因為

即

(1993年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

分析令x=1031，則

2.2 利用高斯函數(shù)解決求值問題

例3設(shè)[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則[sin1]+[cos2]+[tan3]+[sin4]+[cos5]+[tan6]=______.

(2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽貴州省預(yù)賽試題)

[sin1]+[cos2]+[tan3]+[sin4]+[cos5]+[tan6]=

0+(-1)+(-1)+(-1)+0+(-1)=-4.

例4符號[x]表示不超過x的最大整數(shù)，符號{x}表示x的小數(shù)部分，即{x}=x-[x].若實數(shù)x滿足[2x]+[4x]+[6x]+[8x]=2 012，則{x}的最小值為______.

(2012年福建省高一數(shù)學(xué)競賽試題)

分析由題意x=[x]+{x}，記{x}=t，0≤t<1,則

[2x]+ [4x]+[6x]+[8x] =

20[x]+[2t]+[4t]+[6t]+[8t]=2 012.

由0≤t<1,得

[2t]+[4t]+[6t]+[8t]=12，

[2t]+[4t]+[6t]+[8t]<1+2+4+5=12，

例5[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，則[log21]+[log22]+[log23]+…+[log22 012]=______.

(2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽河南省預(yù)賽試題)

分析根據(jù)題目特征，聯(lián)想到當(dāng)2k≤x<2k+1時，[log2x]=k,從而

[log21 024]= [log21 025]+…+[log22 012]=

10(2 012-1 023)=9 890.

又[log21]+[log22]+…+[log21 023]=

1·(22-21)+2·(23-22)+…+9·(210-29)=

1·2+2·22+…+9·29=8 194,

因此

[log21]+ [log22]+…+[log22 012]=

8 194+9 890=18 084.

(2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖北省預(yù)賽試題)

分析注意到2 012=211-25-22,因此

(210-24-2)+(29-23-1)+(28-22)+

(27-2)+(26-1)+(25-1)+24+23+

22+2+1=2 012.

2.3 利用高斯函數(shù)解決方程問題

例7對任意的x∈R，[x]表示不大于x的最大整數(shù)，則滿足[|x2-1|]=10的x的集合是

( )

(2009年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽山東省預(yù)賽試題)

分析因為[x]≤x<[x]+1，所以

10≤|x2-1|<11.

當(dāng)x2≤1時，10≤x2-1<11無解.

當(dāng)x2>1時，10≤x2-1<11，解得

故選C.

(2009年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建省預(yù)賽試題)

分析顯然x>0.若x≥3，則[x]≥3，從而

不符合要求；若0

不符合要求.

(2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建省預(yù)賽試題)

分析根據(jù)高斯函數(shù)性質(zhì)(3)，當(dāng)x≥3時，

x3-3[x]≥x3-3x=x(x2-3)≥3·6=18，

不符合要求；

當(dāng)x≤-3時，

x3-3[x]

-3·6+3=-15，

不符合要求.

(2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川省預(yù)賽試題)

分析題目中定義「x?和高斯函數(shù)是姊妹定義，或者說靈感來源于高斯函數(shù)，故本題的解題思路可作相同的類比、遷移.

于是原方程等價于

即

得

2.4 利用高斯函數(shù)解決格點問題

格點，又稱整點，就是平面直角坐標系中橫坐標和縱坐標都為整數(shù)的點.格點問題是一類有趣的數(shù)學(xué)問題，往往與[x]有關(guān).

例11雙曲線x2-y2=1的右半支與直線x=100圍成的區(qū)域內(nèi)部(不含邊界)整點(縱、橫坐標均為整數(shù)的點)的個數(shù)是______.

(2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

分析由對稱性，知只需考慮x軸上方的情況.設(shè)y=k(k=1,2,…,99)與雙曲線右半支交于Ak,交直線x=100于Bk，因此

則線段AkBk內(nèi)部整點的個數(shù)為

從而在x軸上方區(qū)域內(nèi)部整點的個數(shù)為

又因為在x軸上有98個整點，所以整點的個數(shù)為

2×4 851+98=9 800.

例12[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)值，則在平面直角坐標系xOy中，滿足[x]·[y]=2 013的所有點(x,y)組成的圖形面積為______.

(2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽新疆維吾爾自治區(qū)預(yù)賽試題)

2 013=1·2 013=3·671=11·183=33·61，

所以滿足[x]·[y]=2 013的所有點(x,y)組成的圖形是16個面積為1的區(qū)域，其面積為16.

例13設(shè)[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，則在平面上，由滿足[x]2+[y]2=50的點所形成的圖形的面積是______．

(2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽甘肅省預(yù)賽試題)

分析同上例，設(shè)[x]=a,[y]=b.在平面上，由滿足[x]2+[y]2=50的點所形成的圖形關(guān)于x軸、y軸對稱，因此只需考慮第一象限的情況.因為

50=1+49=25+25=49+1，

所以

在第一象限所形成的圖形面積為3.因此在平面上，由滿足[x]2+[y]2=50的點所形成的圖形的面積是12.

例14(1)設(shè)a>0，平面上的點如果其坐標都是整數(shù)，則稱之為格點.今有曲線y=ax3過格點(n，m)，記1≤x≤n對應(yīng)的曲線段上的格點數(shù)為N.證明：

(2)進而設(shè)a是一個正整數(shù)，證明：

(注：[x]表示不超過x的最大整數(shù).)

(2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽浙江省預(yù)賽試題)

(2)當(dāng)a是一個正整數(shù)時，曲線y=ax3上的點(k,ak3)(k∈N+,1≤k≤n)都是格點，因此第(1)小題中的N=n.同時，m=an3.將以上數(shù)據(jù)代入第(1)小題的結(jié)論，得

2.5 構(gòu)造高斯函數(shù)解決問題

在求解一些問題時，若能根據(jù)題目特征、解題過程積極聯(lián)想，合理地構(gòu)造、利用高斯函數(shù)及其性質(zhì)，往往能使問題更輕松地解決.

例15一個正數(shù)，若其小數(shù)部分、整數(shù)部分和其自身成等比數(shù)列，則該數(shù)為______．

(1989年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

分析記這個數(shù)為x(x>0)，則其整數(shù)部分為[x]，小數(shù)部分為{x}=x-[x].由題意得

[x]2=(x-[x])·x，

從而

[x]2

得

[x]2-[x]-1<0，

解得

由x>0知[x]=1,從而

1=(x-1)·x，

即

x2-x-1=0,

故

例16設(shè)n≥11是一個正整數(shù)，由不大于n的連續(xù)10個正整數(shù)的和組成集合A，由不大于n的連續(xù)11個正整數(shù)的和組成集合B.若A∩B的元素個數(shù)是181，求n的最大值和最小值.

(2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽甘肅省預(yù)賽試題)

分析顯然，

A={55+10k|0≤k≤n-10,k∈Z},

B={66+11l|0≤l≤n-11,l∈Z},

為求A∩B的元素個數(shù)，令55+10k=66+11l，則

10k=(l+1)·11.

即

2 001≤n<2 012，

于是n的最大值和最小值分別為2 011和2 001．

通過本文可以看到高斯函數(shù)是各類競賽的“常客”.高斯函數(shù)的外表樸素，定義簡單，性質(zhì)也不多，但正因為如此，在解題時常無規(guī)律可循，需要我們結(jié)合分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、化歸等思想和方法.