活躍在競賽中的含絕對值不等式問題

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(杭州市第十一中學(xué) 浙江杭州 310014)

活躍在競賽中的含絕對值不等式問題

●蔡小雄

(杭州市第十一中學(xué) 浙江杭州 310014)

絕對值是中學(xué)數(shù)學(xué)中一個重要的運(yùn)算符號，它常與函數(shù)、方程及不等式“聯(lián)袂登場”．當(dāng)然，也正因為有了絕對值的加入，使得有些問題變得更加“神秘莫測”，尤其是含有絕對值的不等式問題，往往是數(shù)學(xué)競賽參賽選手“談虎色變”的主要內(nèi)容．本文通過對一些典型試題的剖析力圖揭開其神秘面紗，尋找隱藏在問題深處的規(guī)律，從而突破難點(diǎn)，舉一反三．

1 特值探路

通過取若干個符合題設(shè)條件的特殊值尋找問題成立的特殊情形，并從特殊情形中尋找解題突破口，這是解決含絕對值問題常用的一種方法．

式(1)+式(2)與式(2)+式(3)可分別得到A≥0,A≤0．從而A=0，B≠0,可得

與假設(shè)矛盾．

2 和式變換

在含絕對值問題中，對于涉及2個數(shù)列對應(yīng)項之積求和的問題，利用和式變換，尤其是Abel分部求和公式往往能出奇制勝．

(1989年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

3 正難則反

對于有些含絕對值的不等式問題，當(dāng)我們直接去解決有困難時，不妨換一個角度，從其反面去思考，得出矛盾后否定假設(shè)從而證明原命題的正確性，這就是正難則反思想，體現(xiàn)在解題方法上就是反證法．

(第20屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克競賽試題)

4 系數(shù)代換

將原函數(shù)或方程中的系數(shù)用給定區(qū)間的端點(diǎn)值或中點(diǎn)值代換，再通過絕對值不等式“|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|”放縮得到目標(biāo)，這也是解決含絕對值不等式問題的一種較好的方法．

例4已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c在[-1,1]上的函數(shù)值的絕對值不超過1，求|a|+|b|+|c|的最大值．

從而

|a|+|b|=max{|a+b|,|a-b|}≤2.

又|c|≤1，得|a|+|b|+|c|≤3，取a=2,b=0,c=-1可取等號，故|a|+|b|+|c|的最大值為3．

5 放縮迭代

對于有些含絕對值的數(shù)列型不等式問題，有時可利用題設(shè)條件如三角函數(shù)的有界性進(jìn)行放縮，再借助放縮后的遞推不等式進(jìn)行迭代求得結(jié)果．

因此

6 歸納證明

數(shù)學(xué)歸納法是解決與自然數(shù)有關(guān)問題的重要方法，對于含絕對值的不等式問題也不例外．

例6求證：|sinnx|≤n|sinx|(n∈N*).

證明用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：

(1)當(dāng)n=1時，不等式顯然成立;

(2)假設(shè)當(dāng)n=k時不等式成立，即|sinkx|≤k|sinx|，則當(dāng)n=k+1時，有

即當(dāng)n=k+1時，不等式也成立.由(1)，(2)可知|sinnx|≤n|sinx|(n∈N*)成立．

7 分類討論

分類討論是去絕對值的一種有效方法，即使是對于多絕對值的問題，適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行分類討論也能簡化計算，化解難點(diǎn)．

例7設(shè)x,y∈R，M=max{|x+y|,|x-y|,|1-x|,|1-y|},試求M的最小值．

解(1)當(dāng)xy≥0時，|x-y|≤|x|+|y|=|x+y|，因此

(2)當(dāng)xy<0時，max{|1-x|,|1-y|}>1，因此

8 復(fù)數(shù)客串

復(fù)數(shù)的模與實數(shù)中的絕對值是一對“孿生兄弟”，根據(jù)題目條件化“實”為“虛”，有時也能使原問題的解決柳暗花明．

證明設(shè)z1=ax+byi，z2=bx+ayi,則

|z1|+|z2|≥|z1+z2|=|x(a+b)+y(a+b)i|=|a+b||x+yi|=|a+b|.

9 構(gòu)造向量

與復(fù)數(shù)的模類似，向量的模與絕對值也有非常密切的聯(lián)系，因此，不妨通過構(gòu)造向量，充分運(yùn)用這種聯(lián)系來解題．