數(shù)列不等式的求解策略

●

(南京市外國語學校 江蘇南京 210008)

數(shù)列不等式的求解策略

●黃志軍

(南京市外國語學校 江蘇南京 210008)

數(shù)列和不等式證明是緊密相連、互相滲透的，將數(shù)列與不等式結(jié)合起來構(gòu)成的數(shù)列不等式,既具有數(shù)列的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)特征,又具有不等式證明的思想方法.因其涉及面廣、綜合性強、難度較大,因而在高中數(shù)學競賽及高校自主招生試題中屢見不鮮.

數(shù)列不等式是在數(shù)列的特殊情景下,巧妙地融合了不等式證明的思想方法,它所涉及的問題往往靈活應用了數(shù)列和不等式的知識,我們一定要注意它們的聯(lián)系,在知識的交叉點上思考分析,合理運用數(shù)列的性質(zhì),尤其是合理使用不等式的放縮方法.下面給出解決數(shù)列不等式問題的幾種常用策略,供參考.

1 裂項相消法放縮

證明由題設條件和結(jié)論,可設d=ai-ai-1>0,則

故

當且僅當d=0時，等號成立.

評析當運用拆(裂)項放縮時，需根據(jù)題型結(jié)構(gòu)，認真分析不等式的特征，把握放縮的幅度，構(gòu)造相應的拆(裂)項模式，并不斷調(diào)整和完善，從而準確選擇解題思路.

2 運用基本不等式性質(zhì)放縮

(1)證明:an+1>an;

從而

即

an+1>an.

所以

評析利用基本不等式的性質(zhì)進行放縮，需要在遞推關系的變形中尋找用得上的不等關系，抓住表達式的結(jié)構(gòu)特征是恰當運用基本不等式性質(zhì)進行遞推放縮的關鍵.

3 構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)放縮

可知函數(shù)f(x)是區(qū)間(0，n]上的減函數(shù)．

即

故對一切n∈N*，n≥3，均有

等價于

2n2(n-3)+4n-1>0，

評析數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性研究數(shù)列的單調(diào)性，是證明數(shù)列不等式的重要方法之一.在構(gòu)造函數(shù)時，應抓住數(shù)式中項的遞變規(guī)律，聯(lián)想相應的函數(shù)表達式，恰當構(gòu)造.

4 構(gòu)造數(shù)列，綜合運用放縮法.

(2)求正整數(shù)a,b,c，使得對任意n∈N*(n>2)，有

即

通過不完全歸納計算：當a=5，b=9時，有

n2+3n+5<4n(n-1),

亦即

3n2-7n-5>0?3n(n-3)+2(n-3)+1>0,

評析構(gòu)造數(shù)列也是證明數(shù)列不等式的重要方法之一，尤其在證a1+a2+…+an≥f(n)型不等式時，可將f(n)視為{bn}的前n項和，則只需證an≥bn，這樣目標明確，推理容易進行.

5 綜合運用數(shù)學思想放縮

(1)

由貝努利不等式，得

結(jié)合式(1)，式(2)可得

下面用數(shù)學歸納法證明：

其中n是非負整數(shù).

當n=0時,式(4)左邊為aM，右邊也為aM,故式(4)成立.

當n=k(k∈N+∪{0})時，式(4)成立，即

在式(3)中取n=M+k+1，并利用式(5)，可得

故式(4)在n=k+1時也成立，得證.

即

故存在正整數(shù)N0，滿足

在式(4)中取n=N0-M-1，得

結(jié)合式(6)，式(7)知aN0-1<0，這與aN0-1>0矛盾，從而命題得證.

評析數(shù)列不等式的證法千變?nèi)f化,要解決好此類問題需具備扎實的數(shù)學功底,在通曉其基本方法的同時,還要注意總結(jié)感悟,逐步形成自身的解題思路和能力,進而感受數(shù)學之美.