平面幾何中線段“和差倍分”問題的證明

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(秀州中學分校 浙江嘉興 314000)

平面幾何中線段“和差倍分”問題的證明

●倪建榮

(秀州中學分校 浙江嘉興 314000)

線段“和差倍分”問題是幾何證明的重要內容之一，這類問題的證明方法靈活多變、技巧性強，且沒有固定的解題模式，在各級各類數學競賽中出現的頻率較高．解決線段“和差倍分”問題的基本原則是轉化，即通過對原問題中相關線段的變形，實現矛盾的轉移，從而達到化未知為已知、化難為易、化繁為簡的目的.本文擬對這類問題的常用解法作一些探討．

1 合理割補,水到渠成

割補法(截長補短法)是證明線段“和差倍分”問題的一種重要方法，它通過“分割”或“添補”，在相關線段或其延長線上構造能夠表示線段“和差倍分”的新線段，從而將多線段問題轉化為2條線段問題，促使原問題的解決．

圖1圖2圖3

證法1如圖2，在BE上截取EF=AE，聯結DC，DB，DF.易知DE垂直平分線段AF,則DF=DA.又由∠DFA=∠DAF=∠DAG，得∠DFB=∠DAC.而∠DBF=∠DCA，從而△DBF≌△DCA，得BF=AC，即AB-AC=2AE.

證法2如圖3，延長CA至點G，使AG=AE，聯結DC,DB,DG.易證△ADE≌△ADG，從而可證△BDE≌△CDG,得BE=CG，即AB-AC=2AE.

評注證法1在較長線段上截取，證明剩余部分相等；證法2則相反，將較短線段延伸再證明相等．證法1與證法2正好是“割”與“補”的2種方法.

例2在銳角△ABC中，∠ACB=60°，O為△ABC外接圓的圓心，H為垂心，OH的延長線交AC于點P，其反向延長線交BC于點Q.求證：AP+BQ=PQ.

證明如圖4，延長BO交⊙O于點G，聯結CG,AG,CH,AH.可證四邊形AHCG為平行四邊形，得AG=CH.由∠ACB=60°及BG為直徑，得AG=CO,從而CH=CO.延長CH交⊙O于點E，聯結CO并延長交⊙O于點F，聯結EF，則EF∥AB，從而證得△CPH≌△CQO，因此△CPQ為等邊三角形.再證明AP=PH，同理可得HQ=QB，于是AP+BQ=PQ.

評注本例巧妙地運用了圓的性質，通過構建平行四邊形和全等三角形，將2條不共線的線段長度之和轉化為一條線段的長度．

圖4 圖5

2 構建平行,迎刃而解

利用“平行線間距離相等”、“夾在平行線間的平行線段相等”等定理，可通過添加平行線,將某些線段“送”到恰當位置，從而獲得證題思路．

例3在△ABC中,BD,CE為角平分線,P為ED上任意一點．過點P分別作AC,AB,BC的垂線,點M,N,Q為垂足．求證：PM+PN=PQ．

證明如圖5，過點P作AB的平行線交BD于點F,過點F作BC的平行線分別交PQ,AC于點K,G,聯結PG．由BD平分∠ABC,知點F到AB，BC的距離相等，從而KQ=PN．

PM+PN=PK+KQ=PQ．

評注本例通過添加平行線,將PQ“掐開”成2段,證得PM=PK，于是PM+PN=PQ，體現了傳遞的思想，證法非常簡捷．

證明如圖6，過點B作AC的平行線交ND的延長線于點E．聯結ME，則△BED≌△CND，從而BE=NC．又因為MD為EN的中垂線，所以EM=MN．由

BM2+BE2=BM2+NC2=DN2+MD2=MN2=EM2,

知△BEM為直角三角形,即∠MBE=90°，從而

∠ABC+∠ACB=∠ABC+∠EBC=90°,

于是∠BAC=90°．故

評注本例通過添加AC的平行線,將BC“以D為中點”的性質傳遞給EN，為解題找到思路．

圖6 圖7

3 運用比例,巧妙騰挪

探尋與所求證結論有關的比例式，通過對比例式變形或重新組合，從而得出線段之間的“和差倍分”關系．

證明如圖7，過點D,E分別作DM∥AB，EN∥AB，點M,N分別在EF和BC上，得平行四邊形ADMF和平行四邊形BFEN，從而

EM=EF-AD，CN=BC-EF，

DM=AF=AD，EN=BF=BC．

因為△DME∽△ENC，所以

即

從而

當點P在CE上時，

同理可知當點P在DE上時，

故

評注通過添加平行線構建三角形相似,從而產生比例線段,再結合平行線分線段成比例，巧妙騰挪,問題迎刃而解..

例6設M,N為△ABC邊BC上的2個點，且滿足BM=MN=NC．一平行于AC的直線分別交AB,AM,AN于點D，E，F，求證：EF=3DE．

證明如圖8，過點N,M分別作AC的平行線交AB于點H,G，NH交AM于點K，從而BG=GH=HA，于是

因此

HK∶KN=1∶3.

又因為DF∥HN，所以

DE∶EF=HK∶KN=1∶3，

從而

EF=3DE．

評注由于“平行于三角形一邊的直線截其他2邊所得對應線段成比例”,在一些問題中,可以通過添加平行線,實現某些線段比的良性轉化，這在平面幾何證題中經常遇到．

圖8 圖9

4 轉化面積，豁然開朗

根據有關線段與圖形面積之間的關系，把證明線段的比例關系轉化為證明面積的比例關系，然后通過面積求算，從而得證．

例7如圖9，設P是△ABC內一點，AP,BP,CP與對邊分別交于點D,E,F．求證：

評注此結論即為塞瓦定理，用面積轉化是較快的解決方法.

圖10 圖11

評注面積法是平面幾何中應用十分廣泛的一種重要方法．例7和例8利用線段比與面積比的相互轉化，簡化了證題過程．

5 構造輔圓,探囊取物

在某些數學競賽問題中,巧妙添置輔助圓常可以溝通直線和圓的內在聯系,通過圓的有關性質找到解題途徑．

例9AD是Rt△ABC斜邊BC上的高,∠B的平分線交AD于點M,交AC于點N．求證：

AB2-AN2=BM·BN．

證明如圖11，因為

∠ANB+∠ABN=∠CBN+∠BMD=90°,

又

∠ABN=∠CBN,∠AMN=∠BMD,

所以

∠AMN=∠ANB．

從而

AM=AN．

以AM長為半徑作⊙A,交AB于點F,交BA的延長線于點E，從而

AE=AF=AN．

由割線定理，得

BM·BN=BF·BE=(AB+AE)(AB-AF)=

(AB+AN)(AB-AN)=

AB2-AN2，

即AB2-AN2=BM·BN．

評注AB2-AN2=(AB+AN)(AB-AN)=BM·BN,而由題設易知AM=AN,聯想割線定理,構造輔助圓即可證得結論．

圖12

例10四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形,延長AB和DC相交于點E，延長AD和BC相交于點F,EP和FQ分別切⊙O于點P,Q．求證：EP2+FQ2=EF2．

證明如圖12，作△BCE的外接圓交EF于點G,聯結CG．因為∠FDC=∠ABC=∠CGE,所以點F,D,C,G共圓．由切割線定理,得

EF2= (EG+GF)·EF=EG·EF+GF·EF=

EC·ED+FC·FB=EP2+FQ2,

即

EP2+FQ2=EF2．

評注通過分析問題所提供的信息,恰當補出輔助圓,并合理挖掘圖形隱含的性質,從而使題設和結論的邏輯關系明朗化．