幾何競賽題求解的常見策略

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(東陽中學 浙江東陽 322100)

幾何競賽題求解的常見策略

●陳碩罡吳國建

(東陽中學 浙江東陽 322100)

1 用函數(shù)(變量)的觀點來解決問題

函數(shù)是描述客觀世界中變量間依賴關(guān)系的重要數(shù)學模型.抓住問題中引起變化的主變量，并用一個具體的量(斜率或點的坐標等)來表示它，同時把問題中的的因變量用主變量表示出來，從而變成一個函數(shù)問題，這就是解決問題的函數(shù)觀點.在解析幾何問題中，經(jīng)常會碰到由于某個量(很多時候是線或點)的變化，而引起圖形中其他量(面積或長度等)變化的情況，因此函數(shù)觀點成為解決解析幾何問題的一種重要方法.

例1已知拋物線y2=6x上的2個動點A(x1,y1)和B(x2,y2),其中x1≠x2且x1+x2=4.線段AB的垂直平分線與x軸交于點C,求△ABC面積的最大值.

(2010年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題)

分析通過對題目的分析可以發(fā)現(xiàn),線段AB中點的橫坐標已經(jīng)是定值，只有縱坐標在變化，可以把AB中點的縱坐標作為主變量，這樣只要把△ABC的面積表示成關(guān)于AB中點縱坐標的函數(shù)即可，這時問題就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.

解設(shè)線段AB中點M的坐標為(2,y0)，則直線AB的斜率為

線段AB的中垂線方程為

易知線段AB的中垂線與x軸的交點為定點C(5,0),直線AB的方程為

聯(lián)立拋物線方程,消去x可得

由題意知，y1，y2是方程(1)的2個實根，且y1≠y2，從而

即

又點C(5，0)到直線AB的距離為

(2009年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題)

(3+4k2)x2+8kmx+4m2-48=0.

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則

Δ1=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-48)>0.

(2)

(3-k2)x2-2kmx-m2-12=0.

設(shè)C(x3,y3)，D(x4,y4)，則

Δ2=(-2km)2+4(3-k2)(m2+12)>0.

(3)

(x4-x2)+(x3-x1)=0，

此時

(y4-y2)+(y3-y1)=0.

由x1+x2=x3+x4,得

從而

解得

k=0或m=0．

當k=0時，由式(2)和式(3)得

因為m是整數(shù)，所以m的值為-3，-2，-1，0，1，2，3．當m=0時，由式(2)和式(3)得

因為k是整數(shù)，所以k=-1，0，1．

于是滿足條件的直線共有9條．

評注當題目中的主變量需要用2個變量來表示時，可先把這個因變量表示為一個二元函數(shù)，如果題設(shè)中有其他條件能找到這2個變量間的關(guān)系，那么只需用一個量來表示另一個量，這時就可轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，這也體現(xiàn)了解析幾何中“設(shè)而不求”的思想；如果題設(shè)條件不能直接給出2個變量者之間的關(guān)系，那么可直接對二元函數(shù)進行處理.

2 用平面幾何的知識來解決問題

解析幾何是用坐標法把幾何問題代數(shù)化，用代數(shù)的方法解決幾何問題，但說到底解析幾何還是幾何.在解決某些解析幾何問題時，若其平面幾何背景非常明顯，則可以借助平面幾何知識快速、準確地解決問題.

(2012年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題)

解由拋物線的定義及梯形的中位線定理得

在△AFB中,由余弦定理得

(|AF|+|BF)2-3|AF|·|BF|≥

評注一些解析幾何客觀題，往往需要借助圓錐曲線的定義和平面幾何的一些性質(zhì)進行解題.

圖1

(2005年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題)

分析通過粗略計算可知點D為AB的中點，而題設(shè)中有很多線段比例關(guān)系，因此可考慮用三角形的面積之比來解決問題.

S△CAB=2S△CAD=2S△CBD,

得

消去x0得

因此所求的軌跡方程為

評注從函數(shù)的觀點進行分析，易發(fā)現(xiàn)點C的橫坐標x0為主變量，點P的橫坐標和縱坐標均可表示成關(guān)于x0的函數(shù)，再消去參數(shù)x0就得到點P的軌跡方程.思路雖然簡單，但由于本題所含字母較多，進行代數(shù)運算時運算量大且容易出錯.如果能夠分析其平面幾何背景，運用平面幾何的知識，就能比較快速、準確地解決問題.

3 用極坐標知識來解決解析幾何問題

解析幾何中的坐標法是指建立直角坐標系，用點在2個坐標軸上的射影來確定.而極坐標是用角度和距離(長度)這2個量來確定一個點的位置，其幾何意義很明顯.如果在題目中涉及到的量能用角度和距離非常方便地表示出來，那么建立一個極坐標系進行運算，會比我們在直角坐標系下運算快速有效得多.

圖2

(2008年江蘇省高中數(shù)學競賽試題)

解(1)如圖2，以原點為極點、x軸正半軸為極軸建立極坐標系.設(shè)|OA|=a，|OB|=b,∠AOx=θ，則

A(acosθ，asinθ)，

點A,B在橢圓上，得

即

同理可得

|OP|·|AB|=|OA|·|OB|，

圖3

例6在平面直角坐標系xOy中，菱形ABCD的邊長為4，且|OB|=|OD|=6．

(1)求證：|OA|·|OC|為定值；

(2)當點A在半圓(x-2)2+y2=4(2≤x≤4)上運動時，求點C的軌跡．

(2012年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題)

分析如圖3，根據(jù)菱形和等腰三角形的性質(zhì)可知點O,A,C共線，結(jié)合菱形的對角線垂直可知邊長關(guān)系，第(1)小題用平面幾何方法可快速求解.由點O,A,C共線知3個點的角度是一樣的，只

有長度不一樣，加上第(1)小題的結(jié)論可知，|AO|與|OC|的長度之積為定值20，第(1)小題可以用極坐標(ρ,θ)求解.

解(1)因為|OB|=|OD|,|AB|=|AD|=|BC|=|CD|,所以點O,A,C共線.如圖3,聯(lián)結(jié)BD,則BD垂直平分線段AC,設(shè)垂足為K,于是

|OA|· |OC|=(|OK|-|AK|)·(|OK|+|AK|)=

|OK|2-|AK|2=

(|OB|2-|BK|2)-(|AB|2-|BK|2)=

|OB|2-|AB|2=62-42=20(定值).

而點A所在的半圓的極坐標方程為

可得ρ1=4cosθ，代入式(4)可得

再轉(zhuǎn)化為直角坐標

x=ρ2cosθ=5,y=ρ2sinθ=5tanθ∈[-5,5],

故點C的軌跡為線段x=5(-5≤y≤5).

高中數(shù)學競賽中解析幾何題的解題策略多種多樣，比如用直線的參數(shù)方程來求解有關(guān)定點到動點距離的問題比較方便，用曲線的參數(shù)方程在化兩元為一元的問題上有很多的優(yōu)勢等.只有掌握一些常用的技巧和方法，在做題的時候根據(jù)題設(shè)、結(jié)論的背景和特征，選擇合適的方法，才能快速、準確地解決解析幾何問題.