例析勾股圖在初中數學競賽中的運用

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(油車港鎮中學 浙江嘉興 314019)

例析勾股圖在初中數學競賽中的運用

●周太平

(油車港鎮中學 浙江嘉興 314019)

勾股定理有著悠久的歷史，古埃及人在4 500年前建造金字塔和測量尼羅河泛濫后的土地時，就廣泛地使用勾股定理.在中國，《周髀算經》有記載，相傳是在商代由商高發現，故又有稱之為商高定理.幾千年來，勾股定理的證明已達數百種，且具有廣泛性的應用性，在幾何中占有重要的地位.在當前的初中數學學習中，勾股定理是初中數學的一個核心知識點,勾股定理的一種直觀表示就是勾股圖——以直角三角形的3條邊向外作正方形所構成圖形.勾股圖中蘊含的許多結論在初中數學競賽中有著廣泛的應用，勾股圖的優美激發起了我們的求知欲，讓我們一起來探索吧！

1 3個基本結論

圖1 圖2

以Rt△ABC的3條邊分別向外作正方形ABDE,AFGC,BCHK，并且聯結EF,GH,DK，則有如下基本結論：

(1)S1+S2=S3;

(2)SⅠ=SⅡ=SⅢ=S△ABC.

其中結論(1)可由勾股定理證明，結論(2)可通過旋轉證明：

將△DBK繞點B順時針旋轉90°，則BC和BK重合，點K和點C重合.由于∠ABC+∠CBD′=180°，于是點A,B,D′共線.又AB=BD=BD′，從而

S△ABC=S△BCD′=S△DBK.

同理可得

S△CGH=S△ABC,

因此

SⅠ=SⅡ=SⅢ=S△ABC.

選取勾股圖的部分圖形，將2個有公共頂點的正方形ABCD和DEFG繞著公共頂點D旋轉任意角度(如圖2，字母略有調整)，可以得到結論：

(3)S△AGD=S△CDE.

結論(3)是結論(2)的“簡化版”.除了上述旋轉的證明方法外，還可以這樣證明：

作GM⊥AD,EN⊥CD交CD延長線于點N.因為∠GDM+∠GDN=90°，∠EDN+∠GDN=90°,所以∠EDN=∠GDM.又因為

∠END=∠GMD=90°,ED=DG,

所以

△GDM≌△EDN,

從而

GM=EN.

又因為

AD=CD，

所以

S△AGD=S△CDE.

2 3個結論的應用

2.1 結論(1)的應用舉例

圖3

例1若干個正方形和等腰直角三角形拼接成如圖3所示的圖形.若最大的正方形的邊長為7，則正方形A,B,C,D的面積和是

( )

A.14 B.42

C.49 D.64

(第18屆希望杯初二數學競賽二試試題)

分析由基本結論(1)可知正方形A,B,C,D的面積和等于2個較小的正方形的面積之和，而2個較小的正方形面積之和又等于最大的正方形的面積.故選C.

2.2 結論(2)的應用舉例

例2以△ABC的邊各為正方形的一邊分別向外做正方形，若△ABC的面積是20，則圖1中3塊陰影部分的面積之和為______.

(第23屆希望杯九年級數學競賽培訓題)

分析直接利用上述結論(2)可得面積之和為60.

例3如圖4，分別以Rt△XYZ的直角邊和斜邊為邊向形外作正方形XFAY,BCZY,XZDE.若直角邊XZ=1，XY=2，則六邊形ABCDEF的面積為______.

(2004年上海市初中數學競賽試題)

解由上述結論(2)可得

又

SAYXF=22=4，S△XZDE=12=1，

由上述結論(1)可得

SBCZY=12+22=5,

因此

SABCDEF=14.

圖4 圖5

2.3 結論(3)的應用舉例

例4如圖5，點A在線段BG上，四邊形ABCD和DEFG都是正方形，面積分別為7 cm2和11 cm2，求△CDE的面積.

(1999年武漢市初中數學競賽試題)

例5如圖6，正方形ABCD和正方形AEFG的面積分別是9 cm2，13 cm2，點E在線段CD上，則△ABG的面積為______cm2.

(第24屆希望杯七年級數學競賽一試試題)

分析本題可通過作GM⊥AB,交AB延長線于點M,通過證明△AMG≌△ADE得出△ABG的面積，或者直接利用已知結論(3)得到S△ABG=S△ADE，從而簡化了解題過程，優化了解題思路.

圖6 圖7

例6如圖7，在Rt△ABC的2條直角邊AC,BC上分別作正方形ACDE和CBFG，聯結DG，聯結AF交BC于點W，聯結GW.若AC=28，BC=14，則△AGW的面積為______.

(第24屆希望杯七年級數學競賽培訓題)

分析聯結CF,則

S△AGW=S△ACF=S△ABC=S△DCG,

又

S△ABC=S△DCG=196,

從而

S△AGW=196.

3 3個結論的拓展

3.1 拓展延伸1

弱化勾股圖的條件，將Rt△ABC改為一般的三角形，還是將3條邊分別向外作正方形ABDE,AFGC,BCHK.若聯結EF,GH,DK，則結論(2)SⅠ=SⅡ=SⅢ依然成立.

例7如圖8，△ABC的邊AB=2，AC=3，Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ分別表示以AB,AC,BC為邊的正方形，則圖中3個陰影部分的面積之和的最大值為______.

(2009年希望杯初一數學競賽培訓題)

分析由結論(2)可知，S△AEF=S△GCH=S△BDK=S△ABC.因為S△ABC的最大值是3,所以陰影部分面積的最大值為9.

3.2 拓展延伸2

如果將勾股圖的三角形母圖改變，是否還有類似的結論呢？通過改編并研究我們可以發現，將三角形改為正方形、矩形、平行四邊形或正五邊形等圖形，結論(2)仍然成立.

例8已知平行四邊形ABCD，以其各邊向外作正方形，SABCD=5,則S1+S2+S3+S4=______.

圖9 圖10

分析如圖9和圖10，當勾股圖的母圖從三角形改為平行四邊形時，可以通過添加輔助線，用全等的方法證明得到SABCD=2S1，又S1=S2=S3=S4，從而S1+S2+S3+S4=10.

通過各級各類數學競賽試題的研究，我們不但可以直接利用一些基本圖形求解，而且可以從一些復雜的圖形中看出該圖形的本質.這就要求我們平時能主動將一些基本圖形歸納整理并加以適當拓展，比如在勾股圖中，可以將母圖改為其他多邊形，也可以將向外作的圖形改為正三角形、半圓等圖形，這些都值得我們去探索.在本文中，筆者將勾股圖的性質從面積的角度做了簡單的整理，并參考一些常見的競賽題加以運用，更希望讀者能用類似的方法去探索，不斷提高自己的研究能力.