問題驅動下的一節復習課
——基本不等式的章節復習課實錄及反思

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(龍泉市中等職業學校 浙江龍泉 323700)

問題驅動下的一節復習課
——基本不等式的章節復習課實錄及反思

●鄒必珍

(龍泉市中等職業學校 浙江龍泉 323700)

章節復習課的常見套路是：知識梳理——例題講評——方法提煉——習題訓練，其優點是：教師可以掌控課堂，容量大，節奏快；其缺點是：對學生限制過多，學習被動，有效性不高.為探討如何提高章節復習課的有效性，浙江省龍泉市在數學名師的組織與指導下，采取校際合作、課例研討的形式，圍繞“問題驅動下的章節復習課”這個主題進行了聽課、評課、改進等一系列的研討活動，其中不乏精彩的案例，現擇其一例，贅述如下，以求教大家.

1 課堂實錄

1．1 問題啟動，梳理知識，提煉方法

師：請同學們思考：已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求xy的最小值.

生1(演板)：由2x+8y-xy=0可得

師：你是如何想到的？

師：回答得很好，抓住了運用基本不等式解題的結構特征：和積形式上的轉化.但上式中的最小值能取到嗎,此時x,y的值是多少？

生2：當x=16,y=4時取到最小值.

師：在運用基本不等式求最值時一定要考慮等號是否成立.

1.2 學生編題，激活思維，拓展能力

師：下面給大家幾分鐘的時間，在不改變題目條件的情形下，編出新題，并嘗試去解決這些問題.

(學生思考與編題.)

師：下面請大家說說自己編出的題及編題的思路.

生3：我編出的題目是“求x+y的最小值”，我想xy有最小值，x+y可能就在積最小時取到最小值20.

生4：我編出的題目是求“xy的最大值”，既然在限制條件下有最小值，我猜想可能也會有最大值.

生5：我編出的題目是“求x+y的最大值”，我是把積式改為和式，最小值改為最大值.

生6：我編出的題目是“求x+4y的最小值”，因為和式提出2之后就是x+4y，而積式通過配湊系數可以湊成(x+4y)2的形式，我可以上來寫嗎？

師：當然可以啊！

生6(演板)：由已知可得

從而

x+4y≥32，

因此當x=16,y=4時，x+4y取得最小值32.

師：想法真好，能夠抓住系數特征，對積的系數進行配湊，并運用基本不等式改編出新題，化積式為和式，寫得也很完整.

(筆者敏銳地意識到xy,x+y的最大值不存在，如何處理不存在問題可能比單純處理最值存在的問題更有價值.)

師：大家用類比、聯想、配湊的方法，編出了很多新題，真的很有想法，不錯！這些問題都可以求解嗎？怎么求解呢？若不能求解，請說明理由.大家不妨動手試試.

生7(演板)：由條件可得

從而

x+y-10≥8，

即

x+y≥18，

因此當x=12,y=6時，x+y的最小值為18.

師：能說說你是怎么想到的嗎？

生7：要求x+y的最小值，條件中的積式可以化成x+y的形式，但和式不能化成x+y形式，我想不能直接用基本不等式了，先把整個條件寫成2個分別只含有x,y的一次式的乘積，嘗試后發現可以寫成……

師：哦，想法真不錯！大家看看有什么需要補充的嗎？

生8：開方的時候為什么只取x+y-10≥8而舍去了x+y-10≤-8.由x+y-10≤-8可得x+y≤2，豈不是x+y的最大值為2?

生9：這不可能，最大值怎么可能比最小值小呢？

師：那問題出在哪兒？

生10(演板)：我這樣解，可以避免這個問題出現：由2x+8y-xy=0可得

……

師：你是怎么想到這樣求解的呢？

師：要是把問題改為:求x+3y的最小值呢？

師：方法1的關鍵是利用常數1，方法2的關鍵是配湊系數.雖然問題解決了，但是前面的開方為什么不能取負值的問題還沒有解決，大家有什么想法嗎？

1.3 釋疑解惑，揭示本質，貫通聯系

生13：題目條件可以變為2x=y(x-8)，因為x>0,y>0,所以x>8，故x+y≤2不可能成立.

師：這只是解釋了x+y≤2不成立，在解題過程中我們應該怎么敘述，哪位同學可以補充完整？

(學生敘述解題過程.)

師：小小等式左右移，移法不同乾坤大.2x=y(x-8)還能變嗎？

師：如果說前面幾位同學對條件的轉化是“量變”，你剛才這一小步就促成了“質變”，把等式問題轉化成了函數問題，這是什么函數呢？

(學生主動要求上來畫圖.)

師：圖像出來了，大家有什么啟發?

全體學生：xy,x+y不可能有最大值.

師：同學們，出一道題不容易，類比、聯想得到的一些結論不可靠.解決一個問題也不容易，但是要說明一個問題不可解則需要更大的智慧和勇氣.

1.4 歸納方法，體悟思想，強基固本

師：請思考下列問題，從知識、方法、易錯點等層面梳理本節課的學習.

(1)基本不等式的核心知識是什么？基本方法是什么？

(2)運用基本不等式解題的易錯點在哪里？

學生回答，教師邊補充、邊板書，完成從知識到方法、從單一的知識點到知識網絡的構建.

2 課后思考

章節復習課是常見的課型之一，是新課結束之后對章節核心知識的梳理、基本方法的提煉與落實、前后知識的融會貫通.本節課試圖通過一個問題及其深化達成這個目的.

2.1 在追問中梳理核心知識,提煉方法

2．2 在釋疑解惑中貫通知識間的聯系,提升能力

學生具有較強的類比、聯想能力，在編題環節，學生通過類比、聯想編出了“求xy的最大值”和“求x+y的最大值”這2個沒有確定解的問題，教師沒有直接告訴學生這2個問題沒有解，而是敏銳地捕捉時機圍繞“開方之后為什么只取正值？”展開討論，在學生給出正確解法后還繼續追問“合理解釋”，催生出了最后的質變“把等式轉化成函數”，在函數觀點下再審視問題，學生心中的疑問豁然開朗，既解釋了為什么不能求解，又實現了函數與(不)等式(方程)之間的轉換，讓學生在潛移默化中體驗這種轉化，提升能力.

2.3 在解題過程中引導學生用數學語言表達

“不僅要學會用數學方式思考，還要學會用數學方式表達”，科學、精煉的表達是解題的基本要求.學生1盡管求出了結果，但忽視了等號成立的條件，一句“最小值能取到嗎？”讓學生感受到了能否取到等號的重要性；學生8在開方時取正去負，雖然其他學生為其補充了理由，教師依然要求學生口述解題過程，對解題過程完整性的要求可見一斑.對問題“求xy的最大值”和“求x+y的最大值”的探究，其本質就是給學生示范怎么去表達數學問題，如何正確表達過程，不能求解如何說明理由.

[1] 施仁智，江建國.讓學生在自然的思考過程中催生新想法[J].中學教研(數學)，2012(3)：21-23.

[2] 柳小平，郭楚明.角色轉換 深化理解 感悟本質 有效建構——高三第一輪復習“求點的軌跡方程”教學簡錄及反思 [J].中學數學，2011(7)：59-61.