為學生學會學習 學會探究而教
——以人教A版“指數函數及其性質”教學為例

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(臺州市教育局教研室 浙江臺州 318000)

為學生學會學習學會探究而教
——以人教A版“指數函數及其性質”教學為例

●李昌官

(臺州市教育局教研室 浙江臺州 318000)

1 為何要為學會學習、學會探究而教

盡管大家都認可“授人以漁而不是授人以魚”、“教是為了不教”等教學理念，但這些理念遠沒有落到實處．丘成桐先生曾尖銳地指出“數學尖子生只是做習題的機器”.盡管高一學生已經學過一次函數、反比例函數、二次函數等，卻沒有掌握研究這些函數所用的思路與方法，不會自主探究或合作探究指數函數的概念和性質．因此數學課要培養學生的學習力、探究力和創造力還有很長的路要走．

2 如何為學會學習、學會探究而教

2.1 把學會學習、學會探究作為教學核心目標

課堂教學因其追求不同、所用的方式方法不同而有品質、品位的高低之分．如“指數函數及其性質”教學，按其品質高低可分為4個層次:第1層次是知識教學，重在學生接受和理解指數函數的概念及其性質；第2層次是方法教學，重在學生理解指數函數概念及其性質的探究過程與探究方法；第3層次是能力教學，以指數函數及其性質的探究為載體，讓學生掌握研究函數的一般套路、思路與方法，進而增強學生的觀察、分析、抽象、概括、轉化等能力；第4層次是品性教學，學生能在理解知識、掌握方法、發展能力的基礎上欣賞數學的力量與價值，能用數學的眼光觀察世界，養成探究的意識與習慣，弘揚合理的、有條理的思考和解決問題的理性精神．由于在眾多的、不同層次的教學目標中，學會學習、學會探究不僅發揮承上啟下的作用，而且還直接影響和決定著知識教學、品性教學的效果，因此它是數學教育的核心目標．

2.2 明晰知識結構及其探究的思路與方法

布魯納認為：“無論教什么課，務必要使學生理解這些科目的基本結構，這是使用知識、運用知識處理課外問題和事件或者處理日后訓練中遇到的問題的最起碼要求．”[3]因此要讓學生學會學習、學會探究，首先要明確探究的問題、明確數學知識發展的內在結構與邏輯．比如，無論是初中的一次函數、反比例函數、二次函數，還是高中的指數函數、對數函數、冪函數，其內容結構都是“具體實例—相應函數概念—探討函數性質—明確函數性質—應用性質”，要研究的問題都是函數的值域、單調性、奇偶性及其圖像的基本特征等．

德國教育家第斯多惠曾指出：“一個壞的教師是奉送真理，一個好的教師則教人發現真理．”而要教人發現真理，就必須教給發現真理的方法．以“指數函數及其性質”教學為例，教師首先自己要明晰然后讓學生明晰：指數函數概念形成過程所用的方法主要有觀察、分析、抽象、概括等；探究指數函數性質所用的方法主要有以形論數、以退求進、從特殊到一般、分類討論等；運用指數函數性質解決問題所用的方法主要有建立函數模型、化歸等．

2.3 明晰學生探究的起點與能力

只有明晰學生探究的起點與能力，教師才能使探究問題及其難度處于學生的“最近發展區”內，進而做到有效探究．如“指數函數及其性質”教學時，既要看到學生已經學過函數概念和一些具體的函數，已經有研究函數及其性質的相關經驗，又要看到前面這些函數的概念及其性質在很大程度上是教師“告知”的而不是學生自主探究得到的，學生沒有掌握研究函數性質的基本思路與方法，缺乏獨立自主探究指數函數概念及其性質的能力．

2.4 明晰為學會學習、學會探究而教的策略與方法

遵循“變教為導、變學為研”的原則，以數學知識合乎邏輯的發展和數學思維的自然展開為主線，以教師指導下的自主化程度較高的探究為學生學習的主要方式．遵循數學研究的基本套路——背景、問題、方法、結論、應用，即明晰研究背景,提出研究問題,明確研究方法,探究數學結論,鞏固應用結論．緊緊抓住和利用思維的“關節點”和“關鍵點”，如“指數函數及其性質”教學中，概念引入要突出數學化的過程與方法，性質探究要明確研究問題和研究方法，性質運用要突出函數建模和轉化；整節內容的學習要強化類比思想，突出與前面學過的具體函數在研究問題、研究方法等方面的相似性．

2.5 把握好探究的“度”，實現教學效益最大化

3 為學會學習、學會探究而教之案例——“指數函數及其性質”教學

3.1 教師創設情境，學生建構概念

問題1下列2個問題是函數問題嗎？如果是，它們是我們以前學過的函數嗎？你能舉出生活中類似的函數嗎？

(1)《莊子·天下篇》：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭．”請寫出天數x與木棰長度y之間的關系式．

(2)電腦病毒具有快速自我復制能力．假設某種電腦病毒復制時由1個變成2個，2個變成4個……復制x次后，此病毒個數y與x的關系式是什么？

問題2你能在仔細觀察上述函數模型的基礎上，抽象、概括出此類函數更一般的模型嗎？

問題3 函數式y=ax中的a,x的取值有沒有什么限制？你能規范地構建出一種新的函數模型嗎？這種新的函數叫什么名字比較貼切？

設計說明(1)引導學生進行反思論證，讓學生在感受數學思維、數學創造的嚴謹性中學會探究、學會創造；(2)對a取負數、0和1可能會出現的問題進行討論，讓學生明確“規定a>0且a≠1”的合理性與必要性；(3)根據此類函數的特點尤其是自變量位置的特點命名函數．

3.2 教師指導策略，學生探究性質

問題4 研究函數性質主要從哪些方面研究？通常有哪些方法研究？你能類比以前學過的函數，研究指數函數的性質嗎？

設計說明(1)“背景—問題—方法—結論—應用”是研究問題的基本“套路”.這里的“背景”是指數函數性質這個“元問題”；“問題”是指應研究函數性質的哪些方面，如函數的值域、單調性、奇偶性等；方法是指從特殊到一般、分類討論、由形到數、函數思想等；結論是指探究后得到的指數函數性質．教學中要讓學生掌握研究函數的一般思路與方法．(2)考慮到學生的實際探究能力，同時為了強化類比思想、突出不同類型函數之間的共同特征，引導學生從以前如何研究函數中尋找啟發．(3)在具體探究前，先明確探究的策略與方法，如為了研究函數的性質，可先畫出函數的圖像，因為圖形能給人以直觀形象；要研究函數的一般性質，為了降低問題的難度，可先研究特殊情況，如底數取2，3；為了使結論更可靠、全面，可考慮對底數分大于1和大于0且小于1這2種情況討論．

問題5請在同一直角坐標系中畫出下列函數的圖像，并由此歸納、總結出指數函數的一般性質．

設計說明(1)在目標和思維策略的指導下，讓學生先獨立探究，然后再小組討論，全班展示、交流、完善;(2)為了使歸納具有更堅實的基礎，特安排學生畫上述2組函數的圖像;(3)不限定指數函數性質的范圍，給學生更多的思維空間和探究空間;(4)在觀察圖像得出函數性質的基礎上，引導學生從函數表達式角度說明這些性質必然成立．

3.3 教師搭建平臺，學生自主實踐

問題6比較下列各題中2個值的大小：

(1)1.72.5，1.73； (2)0.8-0.1，0.8-0.2；

(3)1.70.3，0.93.1．

設計說明(1)學生通過討論，明確直接計算是行不通的，需要另找出路．(2)觀察要比較的2個數，發現它們的底數相同，指數不同，由此聯想到可把它們看作相應指數函數的2個值．(3)對1.70.3與0.93.1進行比較，由于底數與指數均不同，故啟發學生尋找第3個數作為“中介”．考慮到這2個數都是指數式，且一個底數大于1，另一個底數是小于1的正數，聯想到指數函數值有一個“分界點”1，故比較它們與1的大小．(4)這里教師的“職責”是啟發、暗示，學生的“職責”是想到、想通．(5)通過回顧反思,明確：解決問題方法的實質是構造相應的函數模型，再利用函數單調性解決問題．

3.4 教師設置標桿，學生自我檢測

問題7已知指數函數f(x)=ax(a>0且a≠1)的圖像經過點(3,π),求f(0)，f(1)，f(-3)的值．

問題8比較下列各題中2個值的大小：

(1)0.830.5，0.830.8；

(2)3.8-1.5，3.8-1.2；

(4)1.5-1.3，0.5-3.1．

問題9截止到1999年底，我國人口約13億．如果今后能將人口年平均增長率控制在1%，那么經過20年后，我國人口數最多為多少(精確到億)？

設計說明(1)根據課程、教學、評價一致性原則，設置問題7～9．(2)這3個問題原則上由學生自主解決；確有困難的學生或班級整體基礎較差，教師可給予適當的指導．(3)訓練的重點應放在思維策略的掌握和運用上．(4)解決問題9后補充介紹指數型函數y=kax(k∈R且k≠0;a>0且a≠1)．

3.5 教師提問小結，學生回顧梳理

問題10本節課你學到了哪些知識？這些知識又是通過什么途徑與方法得到的？

設計說明畫龍點睛，強化學生對獲取知識的思路與方法的理解．

總之，數學教學應深入研究為學生學會學習、學會探究而教的策略與方法，“應當深入揭示隱藏在具體知識內容背后的數學思維方法，并以數學思維方法的分析帶動、促進具體數學知識內容的教學，從而使后者真正成為‘可以理解的’、‘可以學到手的’和‘能夠加以推廣應用的’”[2]，有效提升學生的學習力和創造力．

[1] 布魯納．布魯納教育文化觀[M]．宋文里，黃小鵬,譯．北京：首都師范大學出版社，2011：28．

[2] 鄭毓信．數學教育領域中的三個新“教條”[J]．數學教育學報，2011，20(1)：5-9．