彰顯解題功能 提升解題境界

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(蔣王中學 江蘇揚州 225126)

彰顯解題功能提升解題境界

●嚴高明曹松青

(蔣王中學 江蘇揚州 225126)

我們知道，數學解題主要有這樣幾種功能：教育功能、優化功能、拓展功能等,因此解題教學的目標絕不能僅僅定位于就題論題，簡單地幫助學生獲得答案，應當從達成并完善上述幾種功能的角度去著意挖掘問題的剩余價值，提升解題境界.下面以一道小題為例來談談筆者的一些做法，供參考.

圖1

題目如圖1,點P(3,4)為圓x2+y2=25上的一點，點E,F為y軸上的2個點，△PEF是以P為頂點的等腰三角形，直線PE,PF交圓于點D,C，直線CD交y軸于點A,則直線CD的斜率為______.

1 彰顯教育功能

本題最自然的思路是：設出直線PD的方程，與圓的方程聯立，求出點D的坐標.同理求出點C的坐標，利用兩點間直線斜率公式，求出直線CD的斜率.思路自然、運算繁瑣，以至于不少學生一遇見這類問題，就產生恐懼心理，敢想而不敢為.從學生的長遠利益著想，回避顯然只是權宜之計，只會滋長學生的畏難情緒，影響其解題心理機制.這種負面影響甚至殃及到學生的將來，使得其在將來的學習和工作中表現出拈輕怕重、怕苦畏難的態度和作風.從這個角度去考慮，筆者認為還是要堅持讓學生沿著這個最自然的思路將計算進行到底.這樣就充分彰顯了問題的教育功能，從而培養了學生知難而進的探索精神，讓學生成為解題勇者.

2 彰顯優化功能

上述通解雖然具有強大的教育功能，但是阻擋不了學生對簡潔美的追求.事實上，數學時刻以它的簡潔美召喚著探索者.在解題教學過程中，我們必須努力去探索、去尋求優美解，彰顯解題的優化功能，讓學生在優化中成為解題智者.

圖2

優化1注意到本題是填空題，答案顯然與點C,D位置無關，故可將其中一點特殊化(放到坐標軸上去).解法如下：

如圖2，取C(-5,0)，則

代入圓x2+y2=25,得

5x2-22x+21=0.

于是

從而

圖3

優化2考慮到特殊值法有投機取巧之嫌，顯然不具有強大的說服力，我們更欣賞的是憑借數學自身的力量去解決問題.事實上，在解決解析幾何問題時，若能挖掘問題的幾何意義，借力于平面幾何中的結論，則將大大減少計算量.若從平面幾何的角度審視該問題，則不難發現如下解法：

∠ANP=∠MPC+∠ACP=∠DPM+∠ACP=∠MCP=π-∠MHP,

所以

即

優化3在上述優化2的基礎上，繼續挖掘幾何意義，還會得到如下更簡潔的解法：

通過逐級優化，問題豁然開朗，且學生解決問題的視角也被大大拓寬，解題境界也得以大大提升.

3 彰顯拓展功能

雖然問題已得到較完美的解決，但考慮到此問題的發展功能，還可引領學生將問題進一步拓展：

如果將上述問題一般化，拓展為如下問題：

由于字母的增加，計算量就會陡增，這時會給教學帶來新的課題，即如何降低計算量?當然可采用上述優化3的方法加以證明，但考慮到若問題背景不是圓，則難以從幾何的角度來解決.從發展功能的角度來看，采用代數解法雖然繁瑣一些，但更具有長遠意義.因此，筆者還是引導學生從宏觀上把握問題的整體性，得到如下代數證法：

證明設CD：y=kx+t，即

圓x2+y2=r2可化為

[(x-a)+a]2+[(y-b)+b]2=r2,

即 (x-a)2+(y-b)2+2a(x-a)+2b(y-b)=0.

(2)

由式(1)和式(2)，得

即

兩邊同除以(x-a)2,得

從而

因為kPC+kPD=0，所以

圖4

在拓展1的基礎上，順勢將本題圓的背景設置為橢圓背景，得到如下拓展：

顯然學生只需對拓展1的解法作一簡單模仿，便可解決拓展2.但許多學生還是不樂意去實施，因為計算量太大了，在他們的內心深處有一個“夢想”：問題背景是圓，該有多好呀！考慮到橢圓是由圓壓縮而成，因此筆者引導學生實施一個小小的壓縮變換，將橢圓變為圓，“圓”了他們的夢.具體證法如下：

當然，本題中還可以圓的背景拓展為雙曲線、拋物線等，這里不再贅述.

以上探究過程，就“恍如由傲來峰西面攀登泰山的景象：初看傲來峰峭壁千仞，以為上與天通；及至翻到傲來峰頂，才見扇子崖更在傲來峰上；及至翻到扇子崖，又見南天門更在扇子崖上：愈翻愈險，愈險愈奇”.解題教學不就如同登泰山嗎？只要我們堅持去彰顯解題功能，久而久之，學生的解題境界就必定會得到提升，也必定會成為解題的勇者、智者、思者……

[1] 嚴高明，曹松青.警惕！學生的計算自信在喪失[J].中學數學教學，2013(4)：11-13.