一道解析幾何題的教學實踐

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(浙江師范大學數理與信息工程學院教育碩士 浙江金華 321004)

一道解析幾何題的教學實踐

●金東平

(浙江師范大學數理與信息工程學院教育碩士 浙江金華 321004)

解析幾何綜合問題中涉及字母符號較多，計算繁瑣，是學生正確解答此類試題的攔路虎.“如何清除攔路虎，如何提升學生的解題能力，如何培養學生分析問題的能力”是一線教師要思考的問題.

1 一道解析幾何題的考情

圖1

(1)求橢圓C1的方程;

(2)求△ABD面積取最大值時直線l1的方程.

筆者任教的2個班級總人數為105,從學生的解答情況來看：第(1)小題答對的有86人；第(2)小題有42人空白，55人沒有答全，只有18人給出了正確答案.大多數學生覺得例1很常規、很平淡、很容易入手，但做完整卻非常困難.從答題情況看，學生主要有2個困惑.

困惑1如何整體把握圖形之間內在的幾何關系

解題片段1將直線l:y=kx-1代入x2+y2=4，得

(k2+1)x2-2kx-3=0,

從而

分析該學生呈現的答案是正確的，解題思路傾向于用代數運算，計算量大，容易出現計算上的錯誤.例1涉及字母符號較多，運算過程復雜，該解法的欠缺是：沒有整體把握圖形內在的幾何關系，沒有挖掘出幾何的特征.

困惑2如何求面積的最值

解題片段2易求得

從而

接下來，很多學生不知道如何求S△ABD的最大值.

2 困惑的探究

解答解析幾何問題最大的困難是計算，其主觀原因是：(1)不會從幾何圖形、所給的方程中挖掘幾何特征，導致計算量大；(2)對算理不清楚.為了更好地引導學生走出困惑，筆者設計了如下的問題和變式.

問題1S△ABD如何表示？

問題2如何設點A,B,D,P的坐標和直線l1,l2的方程？

問題3如何求|AB|的長？

思路1|AB|為一般曲線弦長.將直線l1:y=kx-1代入x2+y2=4，得

(k2+1)x2-2kx-3=0，

從而

思路2|AB|為圓C2的弦長.由

注思路1是常規的解題方法，大多數學生會想到;另一方面學生容易思維定勢，很難想到思路2.由此，學生感觸：根據圖形特點，從不同的角度看弦長|AB|，需要平時多留意研究對象在不同圖形中的不同角色.

問題4如何求|DP|的長？

思路1|DP|為橢圓C1的弦長.由

思路2|DP|是△ABD的高，即點D到直線l1的距離.從方程的角度求出點D的坐標，再利用點D到直線l1的距離公式求出距離，這里的計算量非常大.

注學生深深地感觸到解析幾何一定要關注圖形之間的內在幾何關系，并恰當地轉化為代數關系.若對這方面的關注比較少，則容易出現計算量大等問題.

問題5如何求S△ABD的最大值？

在分析講評以上問題時，有學生站起來問：“老師，你是怎么想到換元，利用基本不等式來解決，我怎么想不到呢？”該學生的提問需要教師充分暴露整個思維過程.為此，筆者引導學生對該題的解法追根尋源，設計了如下變式.

3 拓展延伸

講授完該題，學生對如何清除這個攔路虎有了初步的認識.筆者從該題的圖形特點進行了改編，進一步提升學生的解題能力和培養學生分析問題的能力.

圖2

(1+4k2)x2+8kbx+4b2-4=0，

于是

由PA⊥PB知kPA·kPB=-1,從而

即

4b2-1+(b-1)2=0，

該題還可以進一步拓展如下：

(1)kPA·kPB=m，直線AB是否經過定點，此時△PAB的面積是多少？

(2)在雙曲線和拋物線中有沒有這樣的結論？

4 思考

在平時的課堂教學中，教師可從題目的圖形特點和解答過程得到的結論引導學生去探究一些未知的結論，這有助于提高學生提出問題、分析問題、解決問題的能力.

在解析幾何教學中，教師應引導學生知難而上，多關注圖形的幾何特點，處理好幾何問題代數化；多關注代數式的特點，處理好代數結果幾何化；多關注圖形的內在聯系，尋找更多的聯結點，進而解決問題.

[1] 李金興.講清數學道理 揭示數學本質[J].中學教研(數學)，2013(1)：7-8.

[2] 夏繁軍.解析幾何綜合問題[J].中學數學教學參考,2012(1/2)：103-104.

[3] 褚人統.讓高考試題在問題探究中盡放光芒[J].數學通訊,2011(2):50-52.