玩好題：數學教師的幸福與追求

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(杭州第十一中學 浙江杭州 310014)

玩好題：數學教師的幸福與追求

●蔡小雄

(杭州第十一中學 浙江杭州 310014)

“問題是數學的心臟”，引領學生探索數學問題是數學教師的基本職責．而“題”是中學階段“數學問題”的主要形式，因此，“玩好題”是數學教師的責任、追求，也是數學教師的幸福之一．那么，什么是“玩好題”呢？筆者認為，“玩好題”包含3個層面的意思：一是把題玩好，二是玩好的題，三是讓題好玩．“玩好題”能使數學教師在業務上如虎添翼，課堂上更加得心應手，“玩好題”也能使教師情感豐富，精神專注．羅素曾用以下華麗的語言描繪數學推理的超然性和客觀性所帶來的魅力：“遠遠離開人的情感，甚至遠遠離開自然的可憐的事實，世世代代逐漸創造了一個秩序井然的宇宙．純正的思想在這個宇宙就好像是住在自己的家園．在這個家園里，至少我們的一種更高尚的沖動，能夠逃避現實世界的凄清的流浪．”

1 把題玩好：數學教師的責任

數學教學離不開“題”，能把“題”玩好的數學教師才是一位優秀的教師．然而，“題”中有乾坤，“題”中有日月，從日常的觀察與了解中，我們不難發現并不是每個數學教師都能“把題玩好”．也正因為有些時候我們教師沒有“把題玩好”，致使數學這一門充滿魅力的學科被誤解，被視作是一門枯燥、乏味、無休止計算的學科．也正因為我們有些教師沒有“把題玩好”，使得有些學生進入高中后，面對千變萬化的數學題，只能望“題”興嘆．那么，怎樣“把題玩好”呢？筆者認為，關鍵在“善選題、好做題、能編題與會品題”這4個環節．

1.1 眾里尋它千百度——善選題

我國南宋時期杰出的數學家楊輝曾說：“夫學算者，題從法取，法將題驗，凡欲明一法，必設一題．”在我們日常教學中也是一樣，選擇一道合適的“題”能夠幫助學生明晰概念、掌握方法．選題一般以教學大綱、教材要求及符合學生實際情況為原則，要有利于學生鞏固基礎知識,培養分析和解決問題的能力，有利于教師捕捉課堂教學的生發點，并以此為教學突破口，讓學生充分參與，體驗感受，動態生成．我們都有這樣的體會，有時抓住一道典型習題,讓學生尋求多種解題途徑,促使學生的思維向多方位、多層次發散,比解答多道題更為有效，正所謂“一題可破萬題山”．

當然，“善選題”非一日之功．教師選題時要有“大海撈針”的決心與毅力，所選的題要能“針鋒相對”甚至“一針見血”．也就是說所選的題不僅要具備直指教學重難點的“針”，最好還要讓學生能感受到題中豐富的內涵，從而舉一反三，提高分析問題和解決問題的能力．

1.2 不畏浮云遮望眼——好做題

該題表述簡潔清晰，靈活地考查了平面向量基本定理、坐標表示、數量積、幾何意義等知識，滲透了多種數學思想方法．可以引導學生從多個視角來解決：

視角1從坐標入手，借助配方法求最值．

當x≠0時，

視角2從方程的角度，運用判別式法．

當x≠0時，

由

解得t∈[0,2]．

視角3從點到直線的距離這一角度入手．

視角4也可直接求解．

在日常教學中，只要有心，這樣的案例比比皆是，它們都是我們課堂教學的重要素材．用好這些素材，定會給課堂添風采，為教師添魅力！

1.3 接天蓮葉無窮碧——能編題

編題是數學知識在較高層次上的運用，一般來說，會做題的不一定會編題.編題也是教師的基本素質之一．眾所周知，每年的高考總是牽動著千家萬戶的心，高考試題“源于教材,又略高于教材”，因此，從教學的角度就要求我們不能孤立地、靜止地去講課本上的例題,甚至運用“題海戰術”引進大量的課外題讓學生盲目、機械地解題，而要學會對課本上的例題、習題做適當的改編．習題的改編有許多途徑,如變換圖形位置，改變條件和結論，增加新條件或改變解題要求，重新組合或分解，推廣或拓展，也可以縱橫聯系，將孤立問題串起來等．編題也有很多種方法，如推廣引申法、逆向思維法、極端原理法、知識重組法等．從教以來，筆者也為各級各類競賽、統考、會考等編過許多試題，其中被多次引用的，如：

1.4 萬紫千紅總是春——會品題

會品題，就是會欣賞題．好題就像千里馬，沒有伯樂，再好的千里馬也會被埋沒．教師與學生的一個主要區別是：學生也許只要會做題就行，而教師除了會做題外還要會“品”題，“品”出題中真諦，“品”出題中精彩．

2 玩好的題：數學教師的幸福

在實際教學中，我們會遇到這樣的題：有的題目不是考查學生的認知障礙，而是考查學生的“合理”錯誤；有的題不是讓學生把握數學的本質、方法、思想和理性精神，而是教學生如何去防陷阱、防小人、防“邊界”；有的題不是教學生大膽地去創新、探究，而是引導學生去“循規蹈矩”，找題型、找原型、找關系、找技巧．這樣的題做多了，人會變笨，會更討厭數學．那么，什么是“好的題”？評價標準很多，說法也很多．簡言之，對培養學生分析問題與解決問題的能力有幫助的題就是“好的題”．如果再補充點，筆者認為好題應有簡捷抽象、啟迪思維與值得玩味的特征．

2.1 映日荷花別樣紅——好的題的特征

(1)好的題簡捷抽象.

數學之美在于其簡捷和嚴謹．數學問題的簡捷性在很大的程度上是源自數學的抽象性．數學概念正是從眾多事物的共同屬性中抽象出來的，而在對日益擴展的數學知識總體進行簡化、廓清和統一化時，抽象更是必不可少的．浙江省每年的高考試題在這方面堪稱表率．限于篇幅，在此不做贅述．

(2)好的題啟迪思維.

數學是思維的體操，創設情境、啟迪思維是數學教學的核心．好題往往可以從多個角度入手，設問形式靈活，解題方法多種，富含數學思想，有利于啟迪思維．筆者認為，是否有利于啟迪思維是評判一道數學題好壞最重要的指標．

(3)好的題值得玩味.

一個好的問題值得探究，值得玩味．可以從一題多解中玩味，可以從一題多變中玩味，也可以從一題多用中玩味．以下是筆者最近“玩”的一道題，寫出來以饗讀者．

圖2

探究1(定點)以PQ為直徑的圓過定點F．

解法1設M(x1,y1)，直線AM:

直線MB:

以PQ為直徑的圓的方程為

同理

也可得結論．

推廣1將點A改為橢圓上任一動點，結論仍成立．

推廣2將問題中的橢圓推廣為圓錐曲線，結論仍成立．

證明略，以下同．

探究3(點共線)設MF交橢圓于點N，則點A,N,Q共線．

探究4(平分角)(1)PF平分∠MFB；

(2)設PQ與右準線交于點A1，則FA1平分∠MA1N．

探究5(平行性)設MN的中點為G，則MA1∥GN1．

圓錐曲線中蘊含著復雜多變的關系，對其進行分析與研究，往往收獲良多，其樂無窮！

2.2 柳絮飛來片片紅——玩好的題的收獲

(1)玩好的題能加深對概念內涵的理解.

好的數學題往往能緊扣數學概念的本質，學生通過對該問題的解決能夠加深對概念的理解．有時，我們也可將原問題進行變式，通過變式，多角度、全方位挖掘概念內涵，達到培養學生的創新意識、改善學生思維品質的目的．

(2)玩好的題能增添課堂教學的魅力.

數學是思維的助推器，數學是思維的點金石．數學課堂教學以教師創造性地教與學生探究性地學為雙主體，以有效的數學問題為其中的橋梁與紐帶．課堂上，教師通過對一道好題的玩味，創設一個良好的課堂氛圍，充分調動學生的好奇心與探究欲，把學生帶入發現、探究的旅途．波利亞說：“一個認真備課的教師能夠拿出一個有意義的但又不太復雜的題目，去幫助學生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領域.”

(3)玩好的題能提升教師的數學素養.

數學素養是數學學科固有的特征，數學素養是通過數學教育、數學活動才能賦予的一種心理品質，是在人的先天生理基礎上通過后天嚴格的數學學習活動獲得的、融于身心的一種比較穩定的狀態．玩好的題對提高教師的數學素養，尤其是提高教師解決問題的能力大有裨益．一般來說，每年的高考試題是“好的題”，對其進行及時有效的研究是教師的必修課．

數學在古希臘輝煌時期是貴族的游戲，貴族們用數學來展示自己的智慧．在現代教學中，數學應成為教師好玩的“游戲”，教師在這個特殊的游戲里，培養創新思維，提高數學意識，享受幸福、享受快樂！

3 讓題好玩：數學教師的追求

題好玩不好玩完全取決于人的心態．一個熱愛數學、熱愛教育的教師，他會覺得數學的一切都是充滿樂趣的，都是好玩的．正如當代數學家、數學教育家克萊因所說：“音樂能激發或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學使人獲得智慧，科學可改善物質生活，而數學能給予以上的一切．”

簡證如下：

于是，所證式等價于

由Cauchy不等式，得

高斯說：“給我最大快樂的，不是已懂的知識，而是不斷學習；不是已有的東西，而是不斷獲取；不是已達到的高度，而是不斷攀登．”在數學教學這座風景秀麗的山峰上，讓我們共同努力，朝著一個目標攀登，攀登，再攀登！

[1] 張乃達.數學思維教育學[M].南京：江蘇教育出版社，1990.

[2] 皮連生.學與教的心理學[M].上海：華東師范大學出版社，2009.

[3] 羅增儒.數學解題學引論[M].西安：陜西師范大學出版社，2006.

[4] 蔡小雄.習題教學應注意跨越簡單的線性思維模式[J].教學月刊，2007(7):45-47.

[5] 蔡小雄.習題教學中思維定勢負效應的校正[J].現代中小學教育，2008(3):51-52.

[6] 蔡小雄.啟迪思維是數學習題教學的首要[J].中學數學：高中版，2013(8):8-10.

蔡小雄，男，1971年出生，中國數學奧林匹克高級教練，浙江省特級教師，浙派“名師名校長”培養對象，浙江省教育學會中學數學分會常務理事，浙江省教材審查委員會委員，《中學教研(數學)》特聘編委,杭州市優秀教師，曾擔任杭州第二中學副校長，現任杭州第十一中學校長．

2000年獲全國首屆高中數學優質課評比一等獎．曾擔任杭州第二中學數學競賽主教練、浙江省數學會競賽教練、全國數學決賽浙江省領隊．據不完全統計，近年來，他任教過的學生中，被清華、北大、香港大學錄取的有100多位，獲得全國數學聯賽一等獎24人，其中7人進省隊并獲中國數學奧林匹克競賽獎牌．擔任班主任的2006屆學生中有50%保送或考取北大、清華，其中盧毅為省高考理科狀元．先后應邀在全國各地作學術報告50多場，近年來在全國27家省級以上刊物發表近百篇論文，著有《更高更妙的高中數學思想與方法》、《代數變形》等．