乾坤挪移二合一 弦長化減理相通 論定特方破難關
——2012年江蘇省數學高考第19題簡解

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(六合區程橋高中 江蘇南京 211504)

乾坤挪移二合一弦長化減理相通論定特方破難關
——2012年江蘇省數學高考第19題簡解

●王安寓

(六合區程橋高中 江蘇南京 211504)

2012年江蘇省數學高考第19題,網上評論很多,褒貶不一.面對這道計算繁雜的題目,如何化難為簡、化陌生為熟悉？如何突破命題人設置的關卡，找到問題的本質快速解題？

圖1

(1)求橢圓的方程.

(2)設A,B是橢圓上位于x軸上方的2個點，且直線AF1與直線BF2平行，AF2與BF1交于點P．

②求證：PF1+PF2是定值．

本題主要考查直線與橢圓的相關知識，考查運算能力和推理能力.本題構思新穎，設問獨特(在合理處設置不合理的問法)，考查學生活用數學知識的能力，體現重思維的命題理念.合理運用橢圓的對稱性轉化題設條件，將2條平行線轉移到一條上，必有利于解題.本文就此作一點探討.

1 乾坤挪移二合一，弦長化減理相通

由此可以看出，該題實際上是常見題目的逆向命題.我們常見的題目是:給定橢圓和過焦點的直線,求弦長CF2+BF2或CF2-BF2,即直線斜率k為定值,則弦長CF2+BF2或CF2-BF2也為定值(常規思路是聯立方程組,利用韋達定理和弦長公式).反之，CF2-BF2為定值,則直線斜率k為定值；弦長CF2+BF2為定值，則求直線的斜率k可能有正、負2個值.這恰好是常見題目的逆向.如何解決呢?還是需要常規思路.設出直線方程,聯立方程組,利用弦長公式構造關于k的方程求解即可.

當BC斜率不存在時,顯然不合題意.當BC的斜率存在時,設BC的方程為

y=k(x-1),

設B(x1,y1),C(x2,y2)，聯立并消去y，用韋達定理得

解得

2 乾坤挪移二合一，數形結合顯奇跡

圖2

過點B,C分別作橢圓右準線l:x=2的垂線,垂足分別為M,N,過點B作BS⊥CN于點S,則

欲求斜率k,只需求BC(在△BCS中,k=tan∠BCS).已知結論

即

又

即

從而

解得

因此

即

評注數與形完美結合,讓人賞心悅目.該題的幾何解釋很美,解法2用漂亮的圖解決該問題：給定斜率k,求CF2-BF2.

為敘述方便,設CF2=n,BF2=m,則

(證明略.)

3 運用結論和定義，消除差異破難關

(2)②證法1延長BF2,交橢圓于另一點C.因為AF1∥BF2,所以由橢圓的對稱性,知AF1=CF2,則

即

因為AF1∥BF2,所以

即

同理可得

因此

即PF1+PF2是定值.

4 運用特值來探路，構建方程破難關

由待證結論聯想到橢圓的定義，即證明點P在某橢圓上.為尋求該橢圓方程(目標意識)，可先從特例入手，求出橢圓的方程，再證明點P適合橢圓方程，即證得PF1+PF2是定值.

即

下面證明動點P適合上述橢圓方程.設B(x1,y1),C(x2,y2),則A(-x2,-y2),

聯立得點P的坐標滿足

設BC:x=my+1,代入橢圓方程，由韋達定理得

從而

此時

消去m，得

因此點P在橢圓上,即

評注證法2與常規的圓錐曲線題目相仿:設出直線方程,聯立方程組,利用韋達定理,代入計算,有一種熟悉感.另外，證法2采用“先猜后證”的解題方法，有的放矢，目標明確，但運算量稍大.

5 圓錐曲線三兄弟，類比拓展尋共識

經過上述研究,我們得到如下結論.

(1)若直線AF1的斜率不存在,則

BF2-AF1=0;

若直線AF1的斜率存在(為k),則

(2)若BF2-AF1=0,則直線AF1的斜率不存在;

結論3同結論2的條件,設直線AF2,BF1交于點P,則點P的軌跡方程為

即

對于雙曲線有類似結論.

(1)若直線AF1的斜率不存在,則BF2-AF1=0;

若直線AF1的斜率存在(為k),則

(2)若BF2-AF1=0,則直線AF1的斜率不存在;

結論5同結論4的條件,設直線AF2,BF1交于點P,則點P的軌跡方程為

即

對于拋物線,也有類似結論.

結論6拋物線y2=±2px(p>0)的左、右焦點分別為F1,F2,過焦點F1,F2分別作相互平行的直線AF1,BF2,與拋物線的x軸同側部分交于點A,B，則

(1)若直線AF1的斜率不存在,則BF2-AF1=0;

若直線AF1的斜率存在(為k),則

(2)若BF2-AF1=0,則直線AF1的斜率不存在;

結論7F1,F2是圓錐曲線(拋物線取2個)的左、右焦點,過F1,F2分別作相互平行的直線AF1,BF2,與曲線x軸同側部分交于點A,B,e為離心率,則

(1)若直線AF1的斜率不存在,則BF2-AF1=0;

若直線AF1的斜率存在(為k),則

(2)若BF2-AF1=0,則直線AF1的斜率不存在;