2013年數學高考模擬卷(二)

2013年數學高考模擬卷(二)

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的4個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.已知U為全集，A,B,I都是U的子集，且A?I,B?I，則CI(A∩B)=

( )

A.{x∈U|x?A且x?B} B.{x∈U|x?A或x?B}

C.{x∈I|x?A且x?B} D.{x∈I|x?A或x?B}

圖1

2.執行如圖1所示的程序框圖，輸出的T的值為

( )

A.12 B.20 C.30 D.42

3.等比數列{an}中，a1>0，則“a1

( )

A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

4.已知點A(cos10°,sin10°),B(sin40°,cos40°)，則直線AB的傾斜角等于

( )

A.135° B.120° C.105° D.95°

5.已知m是平面α的一條斜線，點A?α，l為過點A的一條動直線，那么下列情形可能出現的是

( )

A.l⊥m,l∥αB.l∥m,l⊥αC.l⊥m,l⊥αD.l∥m,l∥α

6.(理)對任意復數x+yi(x,y∈R)，i為虛數單位，定義f(x+yi)=(x+y)+(x-y)i，則對于復數z=a+bi(a,b∈R)，下列結論不正確的是

( )

(文)設i為虛數單位，則下列運算結果不是純虛數的是

( )

7.已知△OAB的3個頂點坐標分別是O(0,0),A(1,1),B(2,0),直線ax+by=1與線段OA,AB都有公共點，則對于2a-b下列敘述正確的是

( )

圖2

A.有最大值而無最小值 B.有最小值而無最大值

C.既有最大值也有最小值 D.既無最大值也無最小值

8.(理)如圖2，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，M為BC邊的中點，點P在底面A′B′C′D′和側面CDD′C′上運動并且使∠MAC′=∠PAC′，那么點P的軌跡是

( )

A.2段圓弧 B.2段橢圓弧 C.2段雙曲線弧 D.2段拋物線弧

(文)如圖2，在邊長為2的正方體ABCD-A′B′C′D′中，M為BC邊的中點，點P在底面A′B′C′D′和側面CDD′C′上運動并且使AM=AP，那么點P的軌跡長度等于

( )

9.(理)在△ABC中，內角A,B,C所對邊長為a,b,c(其中c為常數)，滿足a2+b2=2c2，那么當△ABC面積最大時角C的值為

( )

(文)在△ABC中，內角A,B,C所對邊長為a,b,c，滿足a2+b2=2c2，如果c=2，那么△ABC的面積等于

( )

A.tanAB.tanBC.tanCD.以上都不對

10.已知f(x)是定義在[a,b]上的函數，其圖像是一條連續的曲線，且滿足下列條件：f(x)的值域為G，且G?[a,b]；對任意x,y∈[a,b]，且x≠y,都有|f(x)-f(y)|<|x-y|.那么，關于x的方程f(x)=x在區間[a,b]上根的情況是

( )

A.可能沒有實數根 B.有且僅有1個實數根

C.恰有2個實數根 D.可能有無數多個實數根

圖3

二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分．

(文)某工廠對一批元件進行了抽樣檢測，根據抽樣檢測后的元件長度(單位：mm)數據繪制了頻率分布直方圖(如圖3)．若規定長度在[97，103)內的元件是合格品，則根據頻率分布直方圖估計這批產品的合格品率是______．

12.如圖4,△ABC與△ACD都是等腰直角三角形,且AD=DC=2,AC=BC,平面DAC⊥平面ABC,如果以ABC平面為水平面,正視圖的觀察方向與AB垂直,則三棱錐D-ABC左視圖的面積為______.

圖4

13.(理)編號為1～8的8個小球按編號從小到大順序排成一排，涂上紅、白2種顏色，5個涂紅色，3個涂白色，求恰好有3個連續的小球涂紅色，則涂法共有______種.

(文)編號為1～4的4個小球按編號從小到大順序排成一排，其中2個涂紅色，另2個涂白色，求涂紅色的2個小球不相鄰的概率等于______.

14.(理)首項a1=1的等差數列{an}，其前n項和為Sn，對于一切k∈N*，總有Sk2=(Sk)2成立，則an=______.

(文)函數y=cos2x+2cosx的最小值等于______.

圖5

17.(理)實數a>b>c且a+b+c=1，a2+b2+c2=1，則c的取值范圍為______.

(文)實數a>b>c且a+b=1-c，a·b=c(c-1)，則c的取值范圍為______.

三、解答題：本大題共5小題，共72分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

(1)若BC邊長等于1，求θ的值(只需寫出(0,2π)內的θ值)；

(2)若θ恰好等于內角A，求此時內角A的大小.

19.(14分)(理)某種鮮花進價每束2.5元，售價每束5元，若賣不出，則以每束1.6元的價格處理掉.某節日需求量X(單位：束)的分布列如表1所示.

表1 X的分布列

(1)若進鮮花400束，求利潤Y的均值.

(2)試問：進多少束花可使利潤Y的均值最大？

(文)設數列{an}的前n項和為Sn，已知Sn=2an-3n(n∈N*)，

(1)求數列{an}的通項公式an.

(2)問數列{an}中是否存在某3項，它們可以構成一個等差數列？若存在，請求出一組適合條件的項；若不存在，請說明理由.

20.(14分)(理)如圖6，△ABC的3條邊長分別為AC=6,AB=8,BC=10,O′為其內心；取O′A,O′B,O′C的中點A′,B′,C′，并按虛線剪拼成一個直三棱柱ABC-A′B′C′(如圖7)，上、下底面的內心分別為O′與O.

(1)求直三棱柱ABC-A′B′C′的體積；

(2)在直三棱柱ABC-A′B′C′中，設線段OO′與平面AB′C交于點P，求二面角B-AP-C的余弦值.

圖6 圖7 圖8

(文)如圖8，直三棱柱ABC-A′B′C′中，AA′=1，AB=4,AC=3,BC=5.

(1)求證：AC⊥AB′并說明圖中點A,B,C,C′,B′在同一個球面上；

(2)設平面AB′C和平面ABC′的交線為AN，求直線AN和側面ABB′A′所成角的正弦值.

(1)求軌跡C的方程；

(文)設函數f(x)=x2-x和g(x)=lnx，

(1)求y=f(x)-g(x)(x>0)的最小值.

(2)探究是否存在一次函數h(x)=kx+b使得f(x)≥h(x)且h(x)≥g(x)對一切恒x>0成立.若存在，求出一次函數的表達式;若不存在，說明理由.

(1)求y=f(x)-g(x)(x>0)的最小值；

(2)探究是否存在一次函數h(x)=kx+b使得f(x)≥h(x)且h(x)≥g(x)對一切x>0恒成立.若存在，求出一次函數的表達式，若不存在，說明理由；

(1)求拋物線C的方程.

(3)是否存在垂直于x軸的直線l，使得l被以AT為直徑的圓截得的弦長為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，請說明理由.

參考答案

1.D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.(理)B(文)B

7.D 8.(理)C(文)C 9.(理)C(文)C 10.B

若BC邊長等于1，則

(2)因為

所以

即

從而

19.解(理)(1)銷售量S(單位：束)的分布列如表2所示.

表2 S的分布列

從而E(S)=325,而Y=3.4Z-360，因此

E(Y)=3.4×325-360=745.

(2)設進n(n≤500)束花，當400

表3 S的分布列

可得E(S)=0.15n+285，從而E(Y)=-0.39n+901.

同理可對其他區間討論后得

易知，當n=400時，E(Y)取最大值745.

(文)(1)易知a1=3,當n≥2時，

Sn=2an-3n且Sn-1=2an-1-3(n-1)，

兩式相減得

an=2an-1+3,

于是

an+3=2(an-1+3)，

從而

an+3=2n-1(a1+3)=3×2n,

即

an=3×2n-3.

(2)設m,k,n∈N*且m

am+an=2ak,

從而

2m+2n=2·2k，

于是

1+2n-m=2k+1-m.

而1+2n-m是奇數，2k+1-m是偶數，假設不成立，因此不存在某3項可以構成一個等差數列.

圖9

20.解(理)(1)易知△ABC為直角三角形，且其內切圓半徑等于2，于是直三棱柱ABC-A′B′C′的高等于1，體積

可得

n=(0,1,-4).

(文)(1)因為BC2=AB2+AC2，所以AC⊥AB，而AC⊥AA′，從而AC⊥面ABB′A′，故AC⊥AB′；同理可得AB⊥AC′.聯結B′C和BC′交于點N，則

因此點A,B,C,C′,B′在以N為球心的球面上.

即

(2)①若l不與y軸重合，設直線l的方程為y=kx+1，代入橢圓C的方程得

(4k2+9)x2+8kx-32=0.

設P(x3,kx3+1),Q(x4,kx4+1),則

設點T(0,t)，則

(1+k2)x3x4+k(1-t)(x3+x4)+(1-t)2=

(文)(1)當x>0時，

當x∈(0,1)時,y′<0，y=f(x)-g(x)遞減；當x∈(1,+∞)時,y′>0，y=f(x)-g(x)遞增.因此,當x=1時,y=f(x)-g(x)取最小值0.

(2)由第(1)小題易知，f(1)=g(1)=0，所以h(1)=0.

猜測一次函數的圖像恰為y=f(x)和y=g(x)在點(1,0)處的公切線，即

h(x)=x-1.

而

f(x)-h(x)=(x-1)2≥0；

G(x)=g(x)-h(x)≤0(證略).

因此f(x)≥h(x)且h(x)≥g(x)對一切x>0恒成立.

22.解(理)(1)當x>0時，

圖10

(2)由第(1)小題易知

得

恒成立，于是

Δ=(k-1)2≤0，

得

k=1,h(x)=x.

綜上所述，存在h(x)=x符合題目要求，它恰好是y=f(x),y=g(x)圖像的公切線.

an=g(an-1)

即{an}為遞減數列.因此

(2)設直線AB:x=ny+2,與拋物線方程聯立消去x得

y2-4ny-8=0，

因此

y1+y2=4n，y1y2=-8.

設拋物線C上點M(x0,y0)，A(x1,y1)，B(x2,y2),則

(ny1+2-x0)(ny2+2-x0)+(y1-y0)(y2-y0)=

(n2+1)y1y2+(2n-x0n-y0)(y1+y2)+4-

而圓心到直線l的距離

因此l被圓截得的弦長

當m=1時,弦長L=2為定值，此時直線l的方程為x=1.

(供稿人：李金興)