含參數的恒成立問題

● (杭州市第二中學 浙江杭州 310053)

含參數的恒成立問題

●張先軍(杭州市第二中學 浙江杭州 310053)

1 考點回顧

恒成立條件下不等式參數的取值范圍問題，涉及的知識面廣，問題的綜合性比較強，解法比較靈活，滲透著換元、化歸、數形結合、函數與方程等思想方法，考查學生數學思維的深刻性與敏捷性，從而成為高考的熱點之一.筆者對此類問題的解決策略加以歸納，可加強學生知識體系的綜合，有助于培養學生的數學思維，提高學生分析問題和解決問題的能力.

2 典例剖析

2.1 利用子集關系求解

例1設函數f(x)=a2lnx-x2+ax，a>0.

(1)求f(x)的單調區間；

(2)求所有的實數a，使e-1≤f(x)≤e2對x∈[1,e]恒成立．

注：e為自然對數的底數．

(2011年浙江省數學高考文科試題)

分析第(2)小題中只需滿足y=f(x),x∈[1,e]的值域是集合[e-1,e2]的子集即可說明所有x∈[1,e]的值能使得e-1≤f(x)≤e2恒成立.

解(1)因為f(x)=a2lnx-x2+ax，其中x>0,所以

由a>0，可知f(x)的增區間為(0,a)，減區間為(a,+∞).

(2)由題意得f(1)=a-1≥e-1,即a≥e.

由第(1)小題知f(x)在[1,e]內單調遞增，要使e-1≤f(x)≤e2對x∈[1,e]恒成立，只需f(x)∈[e-1,e2],即

成立，解得a=e.

點評必要與充分這樣的邏輯關系可以轉化成為集合的包含與被包含關系.題中恒成立問題是將充分條件轉化為子集關系，再根據集合關系列出關于參數的不等式再求解即可.

分析“任給x1∈[0,1]，f(x1)∈[-4,-3]，存在x0∈[0,1]使得g(x0)=f(x1)”，實際上，這等價于f(x)值域是g(x)值域的子集，即滿足[1-2a-3a2,-2a]?[-4,-3],這就變成一個恒成立問題.f(x)的最小值不小于g(x)的最小值，f(x)的最大值不大于g(x)的最大值.

解對函數f(x)求導，得

從而當x∈[0,1]時，f(x)的值域為[-4,-3].對函數g(x)求導，得

g′(x)=3(x2-a2).

因為a≥1，當x∈(0,1)時，

g′(x)<3(1-a2)≤0.

因此當x∈(0,1)時，g(x)為減函數，從而當x∈[0,1]時,有g(x)∈[g(1),g(0)].又

g(1)=1-2a-3a2,g(0)=-2a,

即當x∈[0,1]時,g(x)的值域為[1-2a-3a2,-2a],即

點評能否正確判斷2個函數值域的關系是解決問題的關鍵，找出2個集合的包含關系，也就是找到了恒成立問題的充要條件.

2.2 利用分離變量求解

例3已知向量a=(x2，x+1)，b=(1-x，t).若函數f(x)=a·b在區間(-1，1)上是增函數，求t的取值范圍.

(2005年湖北省數學高考理科試題)

分析利用導數將“函數f(x)在區間(-1，1)上是增函數”的問題轉化為“f′(x)≥0在(-1，1)上恒成立”的問題，即轉化成為“二次函數f′(x)=-3x2+2x+t≥0在區間(-1，1)上恒成立”，利用分離系數法將t分離出來，通過討論最值來解出t的取值范圍．

解由定義得

f(x)=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t,

從而

f′(x)=-3x2+2x+t.

若f(x)在(-1，1)上是增函數，則在(-1，1)上可設f′(x)≥0恒成立,從而f′(x)≥0,即t≥3x2-2x在(-1，1)上恒成立.考慮函數g(x)=3x2-2x的最大值為g(-1),故要使t≥3x2-2x在(-1，1)上恒成立,則t≥g(-1)，即t≥5.

而當t≥5時，f′(-1,1)在(-1，1)上滿足f′(x)>0，即f(x)在(-1，1)上是增函數．故t的取值范圍是t≥5.

點評在給出的不等式中，如果能通過恒等變形分離出參數,轉化為函數求最值.即：若a≥f(x)恒成立，只需求出fmax(x)，滿足a≥fmax(x)即可(注：若f(x)的最大值不存在，只需a≥f(x)的上界);若a≤f(x)恒成立，只需求出fmin(x)，滿足a≤fmin(x)即可(注：若f(x)的最小值不存在，只需a≤f(x)的下界).

2.3 利用函數思想求解

例4已知不等式4x2-4ax+a2+2a-1≥0在區間[0,1]上恒成立，求實數a的取值范圍.

分析此題分離變量比較困難，利用函數思想構造相應的函數后，就將不等式恒成立問題轉化為函數值域的問題.

解根據題意構造函數

要使原不等式恒成立，fmin(x)≥0即可.

得

得

得

a>2；

點評這類問題可以構造一個含參數的函數，根據函數性質確定參數的取值范圍，主要適用于能構造出較方便求最值的函數問題.

例5求使關于x的不等式ax≥x≥logax(a>1)在區間(0,+∞)上恒成立的實數a的取值范圍.

分析不等式ax≥x恒成立即使得ax-x≥0在(0,+∞)上恒成立，也就是函數f(x)=ax-x的圖像在x軸及其上方，只需求fmin(x)≥0，即可求出a的范圍.

解構造函數f(x)=ax-x，求導得

f′(x)=axlna-1.

同理，構造函數g(x)=logax-x，求導得

點評本題不等式的恒成立問題用函數思想構造函數，轉化成函數求最值的問題.形如f(x)≥g(x)的問題，轉化為h(x)=f(x)-g(x)很常見，主要看所構造的函數h(x)的最值是否容易求出.

2.4 利用變更主元求解

例6若對一切|p|≤2，不等式(log2x)2+plog2x+1>2log2x+p恒成立，求實數x的取值范圍.

分析對于一切|p|≤2不等式恒成立，移項至右邊為0時，不等式左邊看作關于p的一次函數.

解原不等式可變形為

p(log2x-1)+(log2x)2-2log2x+1>0.

構造關于p的一次函數

f(p)=p(log2x-1)+(log2x)2-2log2x+1，

只需f(p)>0,p∈[-2,2]上恒成立即可,因此

解得

點評此類問題主要培養學生的變量意識問題．受定勢思維的影響，習慣于用x來表示變量，用a,m或p等表示參數.本題中雖然指出是關于x的不等式，事實上，x和p是平等的，沒有主次之分，應該是一個雙變量的不等式恒成立問題．可以將p視為主元，x為參數，問題大大簡化．

2.5 利用數形結合求解

圖1

(x+2)2+y2=4(y≥0),

g(x)的圖像是平行的直線系

4x-3y+3-3a=0.

2.6 利用猜想證明求解

例8對一切實數α，不等式k(4-sinα)4+cos2α-3+k>0恒成立，求實數k的取值范圍.

cos2α≥0，4-sinα≥3,

且

k(4-sinα)4+cos2α-3+k>k·34-3+k>

點評用前面的方法解決問題比較困難時，可以考慮由特殊到一般的思想，先考慮變量的一些特殊值，找出滿足題意的參數的一部分取值，再猜想參數范圍，可將問題轉化為已知參數范圍的情況下，證明所給的問題恒成立，來驗證猜想的正確性.

3 精題集萃

4.設函數f(x)=x4+ax3+2x2+b(x∈R)，其中a,b∈R，若對于任意的a∈[-2,2]，不等式f(x)≤1在[-1,1]上恒成立，求b的取值范圍．

(1)當a,b滿足什么條件時,f(x)取得極值?

(2)已知a>0,且f(x)在區間(0,1]上單調遞增,試用a表示出b的取值范圍.

(2009年山東省數學高考文科試題)

圖2

參考答案

解得

綜上可得

3.解設集合

A={x||x-a|

則問題可轉化為A?B，即

亦即

4.解f′(x) =4x3+3ax2+4x=x(4x2+3ax+4).

由條件a∈[-2,2]可知

Δ=9a2-64<0，

從而4x2+3ax+4>0恒成立．當x<0時，f′(x)<0；當x>0時，f′(x)>0．因此函數f(x)在[-1,1]上的最大值是f(1)與f(-1)兩者中的較大者．為使對任意a∈[-2,2]，不等式f(x)≤1在[-1,1]上恒成立，當且僅當f(x)max≤1，即

亦即

在a∈[-2,2]上恒成立,從而

解得b≤-4，因此滿足條件的b的取值范圍是(-∞,-4]．

5.解原不等式可化為

要使原不等式恒成立,只需

圖3

此時a≤6.故滿足條件的a的取值范圍為(-∞,6].

6.(1)當a，b滿足b2>a時，f(x)能取得極值.

從而

即