靈活多變的數列綜合題

2013-10-26 05:00:11武嶺中學浙江奉化315502

中學教研(數學) 2013年2期

● (武嶺中學浙江奉化 315502)

靈活多變的數列綜合題

●楊亢爾(武嶺中學浙江奉化 315502)

1 考點回顧

數列作為高中數學學科知識的主干內容，歷來是高考重點考查的內容之一.高考關于數列的命題大致可分為2種類型：(1)考查數列本身的有關知識，如等差數列與等比數列的概念、性質、通項公式和數列的求和公式、遞推關系等；(2)考查數列與其他知識結合的問題，如數列與函數、方程、不等式、幾何等的結合及數列的實際應用等.縱觀近3年的浙江省數學高考數列題，無論是文科還是理科，盡管題型和分值屢有變化,但從數列基礎知識入手，注重對數列知識的理解和應用，注重對數學思想、方法和能力靈活多變的考查沒有變，這也充分體現了數學高考“以能力立意”的指導思想.

值得一提的是，與其他省市數學高考數列試題相比，浙江省的數列試題無論是難度還是綜合性都顯得更為平和、適中而易于把握，這應該與浙江省數學自主命題不特別強調在知識網絡交匯處設計試題的考試要求有關.相信在深化普通高中課程改革的新形勢下，浙江省教育考試院還將繼續深化高考命題改革，切實控制試題難度，重視教材和基礎知識、基本方法、基本技能，“常規試題作考題，平淡之中見功底”，為高中數學教學發揮更好的導向作用.

2 典例剖析

例1 已知等差數列{an}和等比數列{bn}滿足a1=b1=1,a2=b3=4，這2個數列的公共項按原順序組成數列{cn}．

(1)求數列{an}，{bn}的通項公式；

(2)判斷數列{cn}是等差數列還是等比數列？試證明你的結論.

分析容易求得數列{an}，{bn}的通項公式分別為an=3n-2，bn=2n-1.這2個數列的公共項的前3項依次為1，4，16，猜想{cn}是公比為4的等比數列，可用如下方法加以驗證：

若cn是數列{an}，{bn}的一個公共項，不妨設cn=am=bk(n,m,k∈N*)，于是cn=3m-2=2k-1，下面考察它們的后續項中公共項的情況：

因為

bk+1= 2k=2·2k-1=6m-4=3(2m-1)-1，

所以

bk+1?{an}.

又

bk+2=2k+1=4·2k-1=12m-8=3(4m-2)-2，

從而

bk+2∈{an}，

故這一項就是數列{cn}的第n+1項，即

cn+1=bk+2=2k+1，

且

這就證明了{cn}是公比為4的等比數列，其通項公式為cn=4n-1.

也可以這樣來考慮：根據{cn}的前3項1，4，16，…，猜想cn=4n-1.由于4n-1=2(2n-1)-1，故cn=4n-1必是數列{bn}中的項，因此只需證明它也是{an}中的項即可.由于

這就證明了cn=4n-1也是{an}中的項，從而可知{cn}是公比為4的等比數列.

評注本題主要考查等差和等比數列的定義、通項公式等基礎知識，入手容易，設問新穎，無論是整數性質的變形，二項展開式的應用，還是合情推理的證明，都圍繞數列通項公式展開，較好地體現了以知識為載體、以方法為依托、以能力為考查目的的命題指向.

例2 已知數列{an}的前n項和為Sn，且a2an=S2+Sn對一切正整數n都成立．

(1)求a1，a2的值；

(2012年四川省數學高考試題)

分析在a2an=S2+Sn中分別令n=1,2，即可求得a1，a2的值，再利用數列的前n項和Sn與數列的通項an的關系

不難將an與Sn的遞推關系轉化為an與an-1的關系式

因此

評注本題主要考查等差數列、等比數列、對數等基礎知識，以及函數與方程、分類與整合、化歸與轉化等數學思想，同時考查思維、運算、分析問題和解決問題的能力.本題涉及等差數列前n項之和的最值問題，既可以通過分析項的正負來確定，也可以先求和再利用二次函數的性質加以解決，要快速、準確、無誤地完成解答，既要求通性通法與巧妙方法雙管齊下，更需要有扎實的數學功底.

例3 函數f(x)=x2-2x-3，定義數列{xn}如下：x1=2,xn+1是過點P(4,5),Qn(xn,f(xn))的直線PQn與x軸交點的橫坐標.

(1)求xn+1關于xn的遞推關系式；

(2)證明：2≤xn

(2012年全國卷數學高考試題改編)

分析由于點P(4,5)在函數f(x)的圖像上，故過所給出的點P(4,5),Qn(xn,f(xn))的直線PQn的斜率一定存在，通過直線與坐標軸的交點可得到數列的遞推公式.直線PQn的直線方程為

在第(2)小題中，一方面,2≤xn<3可用數學歸納法加以證明：

當n=1時，x1=2，滿足2≤x1<3，假設n=k時，2≤xk<3成立，則當n=k+1時，

由2≤xk<3,得

4≤xk+2<5,

即

從而

亦即2≤xk+1<3也成立.

綜上可知,2≤xn<3對任意正整數恒成立.

另一方面，xn

又2≤xn<3,得

1≤xn-1<2,

即

0<-(xn-1)2+4≤3，

故

xn+1-xn>0,

從而

綜上可知,2≤xn

評注本題以函數為背景，考查了直線方程、函數解析式、數列的遞推公式以及不等式證明中的取差比較法和數學歸納法等，綜合性較強，特別是對代數式的變形和運算有較高的要求.做這類試題需根據已知條件，一步一步地轉化為代數式，再化簡得到要找的關系式.

本例中xn+1關于xn的分式線性遞推關系是一種常見的遞推數列，有興趣的讀者不妨嘗試用多種方法求出數列{xn}的通項公式.

例4 設數列{an}的前n項和為Sn，滿足2Sn=an+1-2n+1+1(n∈N*)，且a1,a2+5,a3成等差數列.

(1)求a1的值；

(2)求數列{an}的通項公式；

(2012年廣東省數學高考試題)

分析本題以數列的通項與前n項和的關系式給出，此類問題的一般解法是將其轉化成僅含有通項或僅含有前n項和的關系式，再化歸成等差或等比數列來處理.

(1)由2Sn=an+1-2n+1+1可得

2Sn+1=an+2-2n+2+1,

兩式相減得

an+2=3an+1+2n+1,

于是

a3=3a2+4.

又

2a1=a2-3,a1+a3=2(a2+5),

可得

a1=1,a2=5．

(2)顯然an+1=3an+2n對任意n∈N*均成立，要求數列{an}的通項公式，有如下多種方法：

方法1(參數法)不妨設

an+1+λ·2n+1=3(an+λ·2n),

則

an+1=3an+λ·2n,

得

λ=1，

故{an+2n}是首項為3，公比為3的等比數列，因此

an+2n=3n,

即

an=3n-2n．

方法2(化歸為一階線性遞推數列)由

an+1=3an+2n,

兩邊同除以2n+1得

從而

于是

an=3n-2n．

方法3(累加法)由

an+1=3an+2n,

兩邊同除以3n+1得

累加可得

從而

an=3n-2n.

3n>2×2n,

從而

an>2n,

即

于是

也可利用2·3n-1=2·(2+1)n-1>2n,得

3n-2n>3n-1(n≥2)，

評注本題主要考查了數列的通項公式、求和、遞推數列、不等式的證明等知識，思想方法涉及函數與方程、歸納與轉化、特殊與一般、分類討論等，屬于較難題，旨在考查學生分析、歸納、探究和推理論證問題的能力.其中第(2)小題求形如an+1=k·an+an遞推數列通項時用到的3種方法，對于求簡單遞推數列通項公式具有非常現實的借鑒意義，值得細細品味.