數(shù)列中蘊(yùn)含的“數(shù)列思想”的挖掘與運(yùn)用

● (元濟(jì)高級(jí)中學(xué) 浙江海鹽 314300)

數(shù)列中蘊(yùn)含的“數(shù)列思想”的挖掘與運(yùn)用

●張艷宗盧明(元濟(jì)高級(jí)中學(xué) 浙江海鹽 314300)

所謂“數(shù)列思想”,是指人們?cè)谘芯俊⒔鉀Q數(shù)列問題時(shí)的思維方式以及對(duì)數(shù)列內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識(shí)．?dāng)?shù)列問題中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)列思想，在處理數(shù)列問題時(shí)，若能靈活運(yùn)用這些思想，則會(huì)取得事半功倍的效果．筆者在高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，有許多學(xué)生對(duì)數(shù)列還沒有入門，缺乏主動(dòng)運(yùn)用數(shù)列思想來解決數(shù)列問題的意識(shí)，做題費(fèi)時(shí)費(fèi)力．筆者認(rèn)為教學(xué)中只有重視“數(shù)列思想”的挖掘與運(yùn)用，讓學(xué)生站到思想的高度去認(rèn)識(shí)數(shù)列的本質(zhì)，才有利于學(xué)生學(xué)好數(shù)列知識(shí)．

1 通項(xiàng)思想

通項(xiàng)思想是從通項(xiàng)入手研究數(shù)列特性的一種思維方式．

于是，求Sn可以轉(zhuǎn)化為裂項(xiàng)求和法來求之．

點(diǎn)評(píng)數(shù)列的通項(xiàng)是對(duì)數(shù)列中各項(xiàng)的統(tǒng)一描述，通項(xiàng)所具有的特性就是數(shù)列中每一項(xiàng)所具有的特性，這是數(shù)列的本質(zhì)特征．為此，通項(xiàng)思想是研究數(shù)列問題的一種重要思想方法．

2 性質(zhì)思想

等差數(shù)列和等比數(shù)列是2種特殊的數(shù)列，它們有許多典型的性質(zhì)．對(duì)這2種數(shù)列的項(xiàng)的研究，既可以從定義出發(fā)，也可以從性質(zhì)出發(fā)．由于性質(zhì)是對(duì)數(shù)列所蘊(yùn)含特性的一種本質(zhì)揭示，因此，從性質(zhì)出發(fā)去研究常常可以使問題更加簡化．

分析由{an}是等差數(shù)列，得

a4+a12=a6+a10=2a8，

所以

a4+a6+a8+a10+a12=5a8=120，

解得

a8=24,

3 列舉思想

數(shù)列是按照一定順序排列的一列數(shù)．在研究數(shù)列問題時(shí)，把握數(shù)列的內(nèi)在規(guī)律并用好規(guī)律，有利于問題的解決．有的數(shù)列問題其規(guī)律比較隱秘，不易發(fā)現(xiàn)，此時(shí)，擴(kuò)大列舉項(xiàng)目，有助于發(fā)現(xiàn)數(shù)列中隱含的規(guī)律．

分析數(shù)列通項(xiàng)可拆成

從而

(1)

若只憑以上算式，很難發(fā)現(xiàn)消項(xiàng)規(guī)律．為了尋找消項(xiàng)規(guī)律，不妨將裂項(xiàng)后的項(xiàng)再多列舉一些，并按以下形式進(jìn)行排列．在式(1)中，奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別是：

評(píng)注不少學(xué)生在求解本題時(shí)由于列舉的項(xiàng)數(shù)不夠多，導(dǎo)致找不到消項(xiàng)的規(guī)律，或找錯(cuò)消項(xiàng)的規(guī)律．可見，列舉有助于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，在數(shù)列學(xué)習(xí)過程中自覺養(yǎng)成“列舉”的意識(shí)非常重要．需要指出的是通過列舉揭示規(guī)律，運(yùn)用到的邏輯是不完全歸納法，因此，列舉數(shù)量的多少會(huì)影響猜想的正確性．

4 補(bǔ)白思想

“補(bǔ)白”是指在求解數(shù)列問題時(shí)，通過適當(dāng)補(bǔ)上一些項(xiàng)，使得表達(dá)式的意義更加完整，有利于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，達(dá)到問題簡化之目的．

分析條件給出的是數(shù)列的和的比值，要求的是數(shù)列項(xiàng)的比值，如何進(jìn)行和與項(xiàng)的轉(zhuǎn)換呢？

我們知道，在等差數(shù)列{an}中，a6前面有5項(xiàng)，如果在a6后面再補(bǔ)上5項(xiàng)，使a6處在正中間的位置，由等差數(shù)列的性質(zhì)知

A11=a1+…+a5+a6+a7+…+a11=11a6,

同理

B11=11b6,

故

5 還原思想

評(píng)注當(dāng)然，若將通項(xiàng)按奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)寫成分段函數(shù)的形式，可以不作“還原”處理，但這樣的通項(xiàng)不漂亮．?dāng)?shù)列題目在編題時(shí)為了考查學(xué)生思維的靈活性，常常會(huì)通過一些特殊處理來隱匿規(guī)律，而“還原法”則能讓隱匿的規(guī)律顯現(xiàn)出來．

6 子數(shù)列思想

從原數(shù)列項(xiàng)中取出一些項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，稱此新數(shù)列是原數(shù)列的子數(shù)列．所謂“子數(shù)列思想”，就是能夠自覺地意識(shí)到子數(shù)列的項(xiàng)具有“雙重身份”，它們既是原數(shù)列的項(xiàng)，又是子數(shù)列的項(xiàng)．這是解決子數(shù)列問題的關(guān)鍵．

例6已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列(d≠0)，從數(shù)列{an}中抽取部分項(xiàng)ak1，ak2，…，akn成等比數(shù)列，且k1=1，k2=5，k3=17，求數(shù)列{kn}的通項(xiàng)．

分析ak1，ak2，…，akn這個(gè)數(shù)列有雙重身份：是原數(shù)列(也稱母數(shù)列){an}中的項(xiàng)，{an}是等差數(shù)列；又是子數(shù)列{akn}中的項(xiàng)，{akn}是等比數(shù)列．

(a1+4d)2=a1(a1+16d)，

解得

a1=2d，

即

ak1=2d,ak2=6d，ak3=18d，

于是

從而子數(shù)列{akn}的通項(xiàng)是

akn=ak1qn-1=2d·3n-1．

又在母數(shù)列{an}中,

akn=a1+(kn-1)d=(kn+1)d，

從而

(kn+1)d=2d·3n-1，

解得

kn=2·3n-1-1．

評(píng)注由于子數(shù)列的每一項(xiàng)都擁有“雙重身份”，因而它們同時(shí)滿足原數(shù)列的相關(guān)條件，又滿足子數(shù)列的相關(guān)條件，如可以分別用原數(shù)列和子數(shù)列的通項(xiàng)公式來表示子數(shù)列的項(xiàng)等．解子數(shù)列問題時(shí)，學(xué)生思維受阻的原因是未能用好子數(shù)列項(xiàng)的“雙重身份”，即缺乏“子數(shù)列思想”．

7 函數(shù)思想

從映射的角度看，數(shù)列本質(zhì)上是一個(gè)定義在正整數(shù)集的子集上的函數(shù)．因此，用函數(shù)的觀點(diǎn)理解數(shù)列，用研究函數(shù)的相關(guān)方法來研究數(shù)列，是解決數(shù)列問題的有效方法．

例7在等差數(shù)列{an}中，已知a1=15，S4=S12，當(dāng)n為何值時(shí)Sn有最大值？

圖1

分析為什么這個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn有最大項(xiàng)？其首項(xiàng)a1=15>0，故它的前幾項(xiàng)為正，從某項(xiàng)起開始變號(hào).常規(guī)的做法是通過找到變號(hào)的項(xiàng)來求解,這是純數(shù)列解法．等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn是關(guān)于n的二次型函數(shù)，該函數(shù)解析式的常數(shù)項(xiàng)為0，其圖像是過原點(diǎn)的拋物線上橫坐標(biāo)為正整數(shù)的點(diǎn)(為便于分析，將這些散點(diǎn)用虛線連接，如圖1所示)．由題意可知該數(shù)列公差d<0，拋物線圖像開口向下，S4=S12說明此拋物線有對(duì)稱軸n=8，故當(dāng)n=8時(shí)，Sn最大．

評(píng)注把數(shù)列看作一種特殊的函數(shù)，利用函數(shù)思想，通過數(shù)形結(jié)合來求解，既直觀又簡潔．如果將此題進(jìn)行變式，將條件中的“S4=S12”改成“S4=S11”，其他不變．用“函數(shù)思想”求解，其優(yōu)越性會(huì)更加凸顯．

8 整體思想

整體思想就是從整體著眼，通過對(duì)問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行處理，以達(dá)到簡化求解過程之目的．

( )

A.x>yB.x=y

C.x

分析由Sn=a1+a2+…+an，

S2n=a1+…+an+an+1+…+a2n=

Sn+qnSn=Sn(1+qn)，

S3n=Sn(1+qn+q2n)，

Sn(Sn-S3n)+S2n(S2n-Sn)=

Sn(1+qn)·Snqn-Sn·Sn(q2n+qn)=0.

評(píng)注將a1+a2+…+an，an+1+an+1+…+a2n，a2n+1+a2n+2…+a3n分別看成一個(gè)整體，從而建立S2n,S3n與Sn的關(guān)系，簡化計(jì)算．

9 遞推思想

所謂遞推思想，就是利用給定的遞推關(guān)系逐步遞推，直到得出期望的結(jié)果的思維方法．

例9平面內(nèi)有n個(gè)圓，其中每2個(gè)圓都相交于2個(gè)點(diǎn)，且每3個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn)，則n個(gè)圓把平面分成______個(gè)區(qū)域．

分析記n個(gè)圓將平面平分f(n)個(gè)部分，n個(gè)圓中的n-1個(gè)圓將平面分成f(n-1)個(gè)部分，第n個(gè)圓被前n-1個(gè)圓分成2(n-1)條弧，每條弧把它所在的區(qū)域分成2塊，增加了2(n-1)個(gè)部分，即

f(n)-f(n-1)=2(n-1).

根據(jù)這一遞推關(guān)系得到

f(n-1)-f(n-2)=2(n-2)，

f(n-2)-f(n-3)=2(n-3)，

…

f(2)-f(1)=2.

而f(1)=2，累加得到

f(n)=n2-n+2.

評(píng)注在求解n個(gè)圓把平面分成多少個(gè)區(qū)域時(shí)，先分清n-1個(gè)圓到n個(gè)圓將平面劃分區(qū)域的變化規(guī)律，建立起f(n)與f(n-1)之間的遞推關(guān)系，從而解決問題．

10 差分思想

假設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=f(n)，則函數(shù)h(n)=f(n+1)-f(n)稱為函數(shù)f(n)的一階差分，r(n)=h(n+1)-h(n)為函數(shù)f(n)的二階差分．如等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)an是前n項(xiàng)和Sn的一階差分，公差是通項(xiàng)an的一階差分，是前n項(xiàng)和Sn的二階差分．差分是微分的離散形式，是研究數(shù)列{an}與前n項(xiàng)和Sn有關(guān)問題的重要方法．

例10設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=1，a2=6，a3=11，且滿足(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=An+B(n=1,2,3…)，其中A,B是常數(shù)．

(1)求A與B的值；

(2)證明：數(shù)列{an}為等差數(shù)列．

分析(1)令n=1，則

令n=2，則

式(2)-式(3),得

A= 2(S3-S2)-7(S2-S1)=

2a3-7a2=-20,

從而

B= -3S2-7S1-A=

-3×7-7×1+20=-8.

(2)由第(1)小題知

(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=-20n-8.

(4)

當(dāng)n≥2時(shí),

[5(n-1)-8]Sn- [5(n-1)+2]Sn-1=

-20(n-1)-8.

(5)

式(4)-式(5)，并整理得

(5n-8)(Sn+1-Sn)-(5n-3)(Sn-Sn-1)=-20,

即 (5n-8)an+1-(5n-3)an=-20(n≥2).

(6)

當(dāng)n≥3時(shí),

式(6)-式(7)，并整理得

(5n-8)(an+1-an)=(5n-8)(an-an-1),

從而

an+1-an=an-an-1(n≥3).

又a3-a2=11-6=5,a2-a1=6-1=5，于是

an+1-an=an-an-1=5(n≥2)，

即{an}是公差為5的等差數(shù)列．

總之，特定的數(shù)學(xué)內(nèi)容，如函數(shù)、三角、數(shù)列、概率等，都有其特有的研究方法和手段．雖然有的方法可以互通，但更多的是個(gè)性化的思維和研究手段．只有掌握了這種個(gè)性化的技能，才算是對(duì)這塊內(nèi)容學(xué)習(xí)的“入門”．前面提及的“數(shù)列思想”就是研究數(shù)列問題的一種個(gè)性化的技能，它是學(xué)習(xí)數(shù)列的“靈魂”．它不是完全抽象、空洞的技能，而是以數(shù)列知識(shí)為載體，是客觀存在的內(nèi)容，是對(duì)數(shù)列知識(shí)和解決問題策略的一種概括和提煉，具有應(yīng)用性和指導(dǎo)性．實(shí)踐證明，重視“數(shù)列思想”的挖掘與運(yùn)用，是幫助學(xué)生數(shù)列“入門”的重要環(huán)節(jié)．

[1] 徐章韜.差分思想在數(shù)列中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2012(2):22-23.