高三數學復習如何做到“正本清源”

● (嘉興市第一中學 浙江嘉興 314050)

高三數學復習如何做到“正本清源”

●陳云彪(嘉興市第一中學 浙江嘉興 314050)

每年進行高三復習時，總有些學生的解題能力沒有達到教師所想要的理想的程度．每次測驗下來，學生的有些錯誤出乎意料，認真分析原因，主要在于學生對數學概念的理解不到位.因為對概念理解不夠透徹，所以在基本方法的使用上不夠靈活、熟練，一旦碰到新的題目，就會沒有思路．因此,教師在教學中要加強數學思想和數學概念的教學．

下面筆者結合自己在平時教學中的一些體會，來談談解決此類問題的具體方法．

1 控制教學中的難度，強化數學基本概念的教學

平時的教學難度太大往往會弱化教師對概念教學的深化，究其原因是多方面的，但主要是教師在復習認識上的問題.教師普遍的觀點是：會當凌絕頂，一覽眾山小;喜歡難，不強調基礎．筆者認為這樣做有許多弊端：其一，會使許多學生在高一、高二時學得不理想，在高三時得不到很好地加強；其二，教師任意地拔高難度，從而使一部分學生逐漸失去學習數學的信心；其三，養成了學生“好高騖遠、不踏實做題”的習慣．這樣，我們的復習就無法達到預期的效果．

譬如在復習“直線和圓的位置關系”時，筆者安排的第1個例題如下：

例1求過原點且傾斜角為60°的直線被圓x2+y2-4y=0所截得的弦長．

這個例題非常簡單，涉及到直線和圓位置關系的基本處理方法，主題非常明確.

方法1(解析幾何法)

解析幾何處理問題的核心方法是2個方程聯立.

得到交點坐標，再利用兩點之間的距離公式求解．

評注方法1體現了解析幾何處理問題的基本方法:用代數運算來處理幾何問題．它是整個解析幾何教學的核心，在平時的教學中要強化．很多教師認為這對于解決與圓有關的問題未必是好的方法，因此在平時教學中未給予重視．這樣的處理是不足取的，久而久之，會弱化學生對解析幾何本質的認識．

方法2(利用圓的性質)

在初中階段，學生已學過許多圓的性質，這些性質往往有助于簡化問題的解決.

x2+(y-2)2=4,

因此直線被圓截得的弦長為

評注方法2和方法1相比，簡化了計算.學生認識到處理解析幾何問題的特點：用代數法來處理幾何，使許多的幾何問題得到了很好的解決.但在解決問題時，若能適當地運用一些幾何性質，往往會使問題得到簡化．

例1的設計非常巧妙，在平時解決解析幾何題目時重視圖形作用的學生，得到如下更為簡捷的方法：

圖1

一個簡單的題目，通過3種基本方法的對比，使學生對解析幾何中有關圓問題的解題策略有了較深刻的理解，相信他們在以后的解題過程中會找到合適的方法．

2 重視對經典題目的剖析，切忌過分追求“新”、“奇”

高三復習的資料更新十分及時，但有些資料由于編者時間上的倉促，往往選題上沒有斟酌，因此無論題目還是解題過程，沒有很好地體現一個“例”字．教師在強調題目“新”的同時，往往忽視了一些經典題目在教學中所起的作用．筆者認為經典題目之所以經典，首先在于題目本身包含了重要的解題思想，再者對學生而言，它未必就是陳題.教師還是要強調其在教學中的價值,要在教學上花功夫，推陳出新，使經典題目展示新的含義．下面來看一個直線和圓問題中的經典題目：

例2已知圓x2+y2+x-6y+m=0與直線x+2y-3=0相交于點P,Q，O為原點，且OP⊥OQ，求實數m的值.

對于這個問題，通常的解法是：

方法1聯立方程

得

5y2-20y+12+m=0,

因此

(1)

由OP⊥OQ,得

x1x2+y1y2=0，

從而

9-6(y1+y2)+5y1y2=0,

將式(1)代入，得

解得

m=3.

除了常規方法，經過思考，例2還可以用以下2種方法解決.

方法2(利用平面幾何)

當OP⊥OQ時,點P,Q,O共圓(不妨設此圓的圓心為M),且圓M的直徑就是PQ.設圓x2+y2+x-6y+m=0的圓心為N，圓心N和PQ中點的連線與已知直線x+2y-3=0垂直，其方程為

圖2

即

2x-y+2=0.

聯立

而在圓M中，因為PQ是直徑，所以

解得

m=3.

評注比較方法1與方法2，發現在有關直線和圓位置關系的題目中，常規的解題方法還是具備普遍意義的．因此在平時的教學中要強調數學的同性同法，真正的“清本正源”，對方法發生、發展過程要清楚地分析，這樣有助于學生對知識的理解，學生的解題能力也會有很大的提高．

方法3(利用圓系方程)

當OP⊥OQ時,點P,Q,O共圓(不妨設此圓的圓心為M),且此圓的直徑就是PQ，即PQ的中點即為圓心M.設圓x2+y2+x-6y+m=0的圓心為N，圓心N和PQ中點的連線與已知直線x+2y-3=0垂直，其方程為

即

2x-y+2=0.

聯立

得點M的坐標為(-1,2).由此可設圓M為

(x+1)2+(y-2)2=r2.

因為此圓過原點，所以

(x+1)2+(y-2)2=r2，

(x+1)2+(y-2)2=5.

而圓M和圓N的公共弦為

(x+1)2+(y-2)2-5-(x2+y2+x-6y+m)=0,

即

x+2y-m=0.

此方程就是

x+2y-3=0,

故

m=3.

3 防止脫離課本，天馬行空

高三復習時所選用的資料是非常完備的，幾乎是教師怎么想，資料就怎么做，但正因為這樣，也養成了教師對復習資料的依賴性.筆者認為資料和課堂教學一樣，要想真正成為自己的東西，還是需要好好地整合．在復習過程中，不要脫離課本，天馬行空式地復習，這樣做不僅效率低，而且學生對數學概念的理解依舊不會出現好轉.因此，想要把教師和學生從題海戰術中解脫出來，關鍵在于重視教材的應用．下面來看這樣一個問題：

例3一個口袋內有帶有標號的大小相同的7個白球和3個黑球，現從中摸出2個球，求一黑一白的概率．

學生給出了2種不同的解法：

評注在這個問題中，學生有3個困惑之處：

(1)球是不是有區別？

(2)摸出的球是否要排序？

(3)為什么2種方法得到的結論一樣？

其實例3可以利用《數學(必修3)》第127頁的例題——給球貼標簽的方法來處理．本來球是不是有區別，我們不去管它，現在對球進行貼標簽來加以區別，然后再利用古典概型的基本概念加以解決.如果球貼了標簽，那么球與球之間就有所區別了，方法2就較容易理解了．

解決問題之后把標簽擦掉，請思考：在摸出球之后，附加一個“把球上的標簽擦掉”的動作，會改變事件的概率嗎？這顯然是不合情理的．

這里筆者只是舉例說明，在教材中許多地方都有這樣的數學思想，在平時的復習中要好好利用.數學復習的重點不僅僅指熟悉其知識點,更重要的是掌握其提供的方法.