概率與統計問題的高考走勢

● (衢州市第二中學 浙江衢州 324000)

概率與統計問題的高考走勢

●楊樟松(衢州市第二中學 浙江衢州 324000)

縱觀全國和各省、市近幾年的數學高考題，筆者發現新課程標準實施以后，高考加強了對數學應用問題的考查.概率與統計不僅是現代公民應具備的最基本的數學知識，而且與實際的聯系非常密切，對學生解決非確定性數學問題的能力進行有針對性的考查，同時又是大學概率論與統計學的基礎，起到了承上啟下的作用.新課程強調數學的基礎性、現實性，重視素質教育與高考的兼容性，概率統計的教學內容恰好是一個很好的載體，已成為高考的熱點之一.

1 考點回顧

概率是研究隨機現象規律的學科，統計是研究如何合理收集、整理、分析數據的學科.統計的主要內容有：抽樣方法、用樣本估計總體、正態分布；概率的主要內容有：古典概型的概率、互斥事件有一個發生的概率、對立事件的概率、獨立事件同時發生的概率、獨立重復試驗的概率，以及取有限個值的離散型隨機變量的分布列、均值、方差、兩點分布、二項分布、超幾何分布等.

高考對這部分內容的考查往往注重聯系實際、貼近生活.文科重點考查古典概型的概率及樣本的數字特征、頻率分布直方圖；理科則重點考查以相應的概率知識為基礎的有關離散型隨機變量分布列、均值、方差的知識.

2 命題走勢

文科要求相對較低，以小題的形式出現的可能性較大.概率部分主要考查以古典概型為主的概率，統計則主要考查抽樣方法、由頻率分布直方圖計算頻率及樣本的數字特征.理科除了2011年以小題的形式出現以外，其余年份都是以解答題并設計多個小題的形式出現，重點考查離散型隨機變量的分布列、均值、期望、方差等.通常以考生熟悉的生活背景為載體，以排列組合和概率知識為工具，考查對概率事件的識別與概率的計算.

3 典例剖析

例1袋中共有6個除了顏色外完全相同的球，其中1個紅球、2個白球和3個黑球.從袋中取2個球，這2個球的顏色為一黑一白的概率等于

( )

(2012年安徽省數學高考文科試題)

分析由于每個球被取到的可能性相等，且基本事件的總數是有限的，可知該題屬于古典概型，因此可以采用列舉法求解.

評注解決古典概型問題的關鍵是要明確：①基本事件是什么？②試驗是否等可能？③基本事件總數是什么？④事件中包含多少個基本事件？

(1)甲獲勝的概率；

(2)投籃結束時甲的投球次數ξ的分布列與期望.

(2012年重慶市數學高考理科試題)

分析因為甲、乙2人投籃是相互獨立的，所以應利用相互獨立事件同時發生概率的方法解決.

解設Ak，Bk分別表示甲、乙在第k次投籃投中，則

(1)記“甲獲勝”為事件C，由互斥事件有一個發生的概率與相互獨立事件同時發生的概率計算公式知

(2)ξ的所有可能取值為1,2,3.由獨立性知

綜上所知，ξ的分布列如表1所示.

表1 ξ的分布列

從而

評注本題主要考查互斥事件概率的求解、離散型隨機變量的分布列與期望，關鍵是確定變量的取值，理解變量取值的含義.同時，要注意在解決概率問題時要規范解答，有必要的文字敘述，不能只有數字和符號.

例3假設甲、乙2種品牌的同類產品在某地區市場上銷售量相等，為了解它們的壽命，現從這2種品牌的產品中分別隨機抽取100個進行測試，結果統計如圖1和圖2所示.

圖1 圖2

(1)估計甲品牌產品壽命小于200小時的概率；

(2)這2種品牌產品中，某個產品已經使用了200個小時，試估計該產品是甲品牌的概率.

(2012年陜西省數學高考文科試題)

分析問題(1)先從頻數分布圖中得到甲產品壽命小于300小時的個數，與總數相比求出概率.問題(2)先求出已使用了200小時的產品總數，再找到甲品牌的個數，二者相比即可得到結論.

評注本題主要考查讀頻率分布直方圖的能力和利用統計圖獲取信息的能力，用樣本的頻率分布估計總體分布的思想，關鍵在于能讀否懂頻率分布直方圖.

例4袋中有大小均勻的3個紅球和6個白球，現從中有放回地摸球，每次摸一個，有3次摸到紅球即停止.

(1)求恰好摸5次停止的概率；

(2)記5次之內(含5次)摸到紅球的次數為ξ，求ξ的分布列與期望.

分析由于本題是“有放回”地摸球，因此可以用獨立重復試驗求概率的方法求解.

隨機變量ξ的分布列如表2所示.

表2 ξ的分布列

從而數學期望為

評注在解決摸球、摸獎等古典概型問題時，要特別注意分清“有放回”與“無放回”、“有序”與“無序”等條件的影響.

例5甲、乙2位同學參加數學競賽培訓.現分別從他們在培訓期間參加的若干次預賽成績中隨機抽取8次，繪制成莖葉圖如下：

甲乙9875842180035539025

(1)指出學生乙成績的中位數，并說明它在乙組數據中的含義；

(2)現要從中選派一人參加數學競賽，從平均成績和方差的角度來考慮，你認為派哪位學生參加更合適？請說明理由；

(3)若將頻率視為概率，對學生甲在今后的3次數學競賽進行預測，記這3次成績中高于80分的次數為ξ，求ξ的分布列與期望.

分析由于學生甲在今后的3次數學競賽中分數是否高于80分的事件每次相互獨立，因此成績中高于80分的次數為ξ服從二項分布，故可以采用二項分布求概率的方法求解.

解(1)學生乙成績的中位數為84，它是這組數據中最中間位置的一個數或最中間位置2個數的平均數，中位數可能在所給的數據中，也可能不在所給數據中.

(2)派甲參加比較合適，理由如下：

其中，Structurei，t表示旅游產業結構升級，Convergi，t表示文化與旅游產業融合；Mediatori，t表示中介變量，包括文化與旅游消費需求(Demandi，t)、技術創新(Techi，t)、文化與旅游業協同集聚(Clusteri，t)；Controlsi，t表示控制變量，包括市場化水平(Marketi，t)、人力資本(Labori，t)、政府支出(Governi，t)、貿易開放(Openi，t)；α、β、γ、φ為系數向量，εi，t為隨機誤差項。

所以甲成績比較穩定，派甲參加比較合適.

(3)記“甲在一次數學競賽中成績高于80分”為事件A，則

依題意，得

從而

因此ξ的分布列如表3所示.

表3 ξ的分布列

從而

或

評注本題主要考查了讀莖葉圖的能力、二項分布的概念.判斷一個隨機變量是否服從二項分布，關鍵是：(1)獨立性，即在一次實驗中，事情發生與不發生二者必居其一；(2)重復性，即實驗獨立重復地進行了n次.

4 精題集萃

1.一個壇子里有編號為1，2，…，12的12個大小相同的球，其中1到6號球是紅球，其余的是黑球.若從中任取2個球，則取到的都是紅球且至少有1個球的號碼是偶數的概率是

( )

2.投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事件A，“骰子向上的點數是3”為事件B，則事件A，B中至少有一件發生的概率是

( )

3.投擲2顆骰子，得到其向上的點數分別為m和n,則復數(m+ni)(n-mi)為實數的概率為

( )

4.由正整數組成的一組數據x1,x2,x3,x4，其平均數和中位數都是2，且標準差等于1，則這組數據為________.

(2012年廣東省數學高考文科試題)

5.在4張卡片上分別寫有數字2,3,4,5，將它們混合，然后再任意排成一行，則得到的4位數能被2或5整除的概率是______.

7.乒乓球比賽規則規定：一局比賽，雙方比分在10平前，一方連續發球2次后，對方再連續發球2次，依次輪換.每次發球，勝方得1分，負方得0分.設在甲、乙的比賽中，每次發球，發球方得1分的概率為0.6，各次發球的勝負結果相互獨立.在甲、乙的一局比賽中，甲先發球.

(1)求開始第4次發球時，甲、乙的比分為1∶2的概率；

(2)ξ表示開始第4次發球時乙的得分，求ξ的期望.

(2012年全國數學高考大綱卷理科試題)

(1)求n的值.

(2)現從甲、乙2個盒子各隨機抽取1個小球，抽得紅球的得分為其標號數；抽得黑球，若標號數為奇數，則得分為1，若標號數為偶數，則得分為0.設被抽取的2個小球得分之和為ξ，求ξ的數學期望.

參考答案

7.解記Ai表示事件：第1次和第2次這2次發球，甲共得i分，i=0,1,2；

A表示事件：第3次發球，甲得1分；

B表示事件：開始第4次發球時，甲、乙的比分為1∶2.

0.16×0.4+0.48×(1-0.4)=

0.352.

(2)P(A2)=0.62=0.36,ξ的可能取值為0,1,2,3，則

P(ξ=0)=P(A2·A)=P(A2)P(A)=0.36×0.4=0.144,

P(ξ=2)=P(B)=0.352,

P(ξ=1)=1-P(ξ=0)-P(ξ=2)-P(ξ=3)=0.408,

故

Eξ=1.400.

故