函數中的“兩域四性”

● (龍灣中學 浙江溫州 325024)

函數中的“兩域四性”

●劉建永徐登群(龍灣中學 浙江溫州 325024)

1 考查要求

會求一些簡單的函數定義域和值域;理解函數的單調性，會討論和證明函數的單調性，理解函數的奇偶性，會判斷函數的奇偶性;了解三角函數的周期性；會運用函數圖像理解和討論函數的性質.

2 考點回顧

函數在高中數學中的地位毋庸置疑，高考對于函數的考查是多方位的，但考查的基石卻是明確的，即函數的“兩域四性”：定義域、值域；單調性、奇偶性、周期性、對稱性.近幾年高考關于“兩域四性”的考查主要表現在：

(1)與函數“兩域四性”有關的選擇題、填空題，這類題型主要考查函數“兩域四性”的基礎知識；

(2)與函數的圖像相結合，運用數形結合、函數與方程等數學思想解決有關函數“四性”的問題；

(3)與解析幾何、導數、方程、不等式等知識交匯在一起，解決有關恒成立、最值等問題.

3 典例剖析

類型1回歸基礎，求函數的定義域

(2012年江蘇省數學高考試題)

評注本題的突破口是為尋找使函數解析式有意義的限制條件．

分析f(x)的定義域是[-1,2]，意思是凡被f作用的對象都在[-1,2]中，由此可得

從而

即

評析這類問題的一般形式是：已知函數f(x)的定義域是A，求函數f(φ(x))的定義域.正確理解函數符號及其定義域的含義是求解此類問題的關鍵.這類問題實質上相當于已知φ(x)的值域A，據此求x的取值范圍.

類型2轉換角度，求函數的值域

例3已知t為常數，函數y=|x2-2x-t|在區間[0,3]上的最大值為2,則t=______.

(2008年浙江省數學高考理科試題)

分析由于x∈[0,3],從而

x2-2x=(x-1)2-1∈[-1,3].

又因為函數y=|x2-2x-t|的最大值為2，所以t=1.

評注本題主要考查二次函數和絕對值函數的值域問題，可從絕對值的幾何意義考慮.

( )

(2008年重慶市數學高考理科試題)

分析方法1回歸至二次函數

圖1

已知u≥0,v≥0且u2+v2=4,求u+v的取值范圍.

評注本題告訴我們求函數的值域方法多樣，除上述方法外，本題還可采用基本不等式和柯西不等式、導數、向量等方法求函數的值域.

類型3構造函數，利用函數單調性解題

例5設a>0，b>0.

( )

A.若2a+2a=2b+3b，則a>b

B.若2a+2a=2b+3b，則a>b

C.若2a-2a=2b-3b，則a>b

D.若2a-2a=2b-3b，則a

(2012年浙江省數學高考理科試題)

分析若2a+2a=2b+3b,則必有

2a+2a>2b+2b.

構造函數f(x)=2x+2x,則

f′(x)=2x·ln2+2>0

恒成立,故有函數f(x)=2x+2x在x>0上單調遞增,即a>b成立.用同樣的方法可排除其余選項.

例6如果cos5θ-sin5θ<7(sin3θ-cos3θ)，θ∈[0,2π)，那么θ的取值范圍是______．

(2011年全國高中數學聯合競賽一試試題)

分析題設不等式等價于

7sin3θ+sin5θ>7cos3θ+cos5θ.

因為f(x)=7x3+x5是(-∞,+∞)上的增函數，所以sinθ>cosθ,故

例7不等式log2(x2-x)<-x2+x+3的解集為______.

分析題設不等式等價于

log2(x2-x)+(x2-x)<3.

設函數f(x)=log2x+x，則f(2)=3,函數f(x)=log2x+x在(0,+∞)為增函數，即

f(x2-x)

亦即

0

解得

x∈(-1,0)∪(1,2).

評注解決此類問題的關鍵是從不等關系中抽象出具體的函數關系，即構造適當的函數，通過判斷函數的單調性達到比較2個數大小的目的.其本質是函數單調性的定義逆用，比如函數f(x)在區間[a,b]為增函數，若對于任意的x1,x2∈[a,b],有f(x1)>f(x2)，則x1>x2.

類型4相互遷移，函數奇偶性、周期性和對稱性的求解方略

( )

A．5 B．6 C．7 D．8

(2012年遼寧省數學高考試題)

圖2

評注某些函數在有2條對稱軸、2個對稱中心或1個對稱中心和1條對稱軸的前提下，利用它們的抽象式可以推導出函數的周期性，如本題由題設可以得出x=0,x=1是函數的2條對稱軸，之后得出了該函數的周期為2.解決此類問題的突破口是根據函數的性質得到f(x)的解析式，結合函數圖像可求解.

分析方法1令t=x-1，則

f(-t+1)-2=-f(t+1)+2,

亦即

f(-t+1)+f(t+1)=4，

故

f(lg20)=-1.

方法2直接判斷f(1-x)+f(1+x)=4，即函數f(x)的圖像關于點(1,2)中心對稱.

( )

(2008年四川省延考區數學高考試題)

評注函數的奇偶性是函數對稱性的一種特殊情況.在某些特定情況下，兩者可以相互轉化，這也是解決函數對稱性問題的一種數學思想.在高考復習中，也應該掌握常見函數對稱性的抽象特征，如：

(1)設a,b均為常數，函數y=f(x)對一切實數x都滿足f(a+x)+f(a-x)=2b?函數y=f(x)的圖像關于點(a,b)成中心對稱圖形；

(4)若f(x)是定義在R上的偶函數，其圖像關于直線x=a對稱，則f(x)是周期函數，且2a是它的一個周期；

(5)若f(x)是定義在R上的奇函數，其圖像關于直線x=a對稱，則f(x)是周期函數，且4a是它的一個周期;

(6)若函數圖像關于2條直線x=a，x=b對稱，則函數y=f(x)是周期函數，且2|a-b|是它的一個周期.

另外，利用函數圖像理解和研究函數的性質是應該重視的考查點之一，函數圖像比函數解析式更直觀，比抽象函數更具體，其包含的信息量大，對考生的數學能力要求也較高．

從近幾年的數學高考試題來看，函數的“兩域四性”往往與導數、數列、不等式、三角函數、解析幾何等知識交匯而命制成綜合問題，以體現運用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題、解決問題的能力，凸顯“函數與方程思想”這一最重要、最基本的數學思想方法.

4 精題集萃

( )

A.[0,1] B.[0,1)

C.[0,1)∪(1,4] D.(0,1)

2．函數f(x)的定義域為A，若x1，x2∈A且f(x1)=f(x2)時總有x1=x2，則稱f(x)為單函數.例如，函數f(x)=2x+1(x∈R)是單函數．下列命題錯誤的是

( )

A.函數f(x)=x2(x∈R)是單函數

B.指數函數f(x)=2x(x∈R)是單函數

C.若f(x)為單函數，x1，x2∈A且x1≠x2，則f(x1)≠f(x2)

D.在定義域上具有單調性的函數一定是單函數

3．定義在R上的函數f(x)滿足f(x+6)=f(x)．當-3≤x<-1時，f(x)=-(x+2)2；當-1≤x<3時，f(x)=x，則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 012)=

( )

A．335 B．338 C．1 678 D．2 012

4．已知y=f(x)+x2是奇函數，且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2，則g(-1)=______.

6．定義在R上的函數f(x)在(-∞，a]上是增函數，函數y=f(x+a)是偶函數.當x1a且x1+x2>2a時，則f(2a-x1)與f(x2)的大小關系為______．

參考答案

1.B 2.A 3．B

4．-1

6.f(2a-x1)>f(x2) 7.2