三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

● (學(xué)軍中學(xué) 浙江杭州 310012)

三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

●葉燕忠(學(xué)軍中學(xué) 浙江杭州 310012)

1 命題趨勢

近幾年高考對三角函數(shù)部分的考查，在內(nèi)容、題量、分值3個方面均保持穩(wěn)定，難度適中，重點考查考生的演繹推理能力、計算能力和綜合應(yīng)用知識解決問題的能力.在復(fù)習(xí)時要注意基礎(chǔ)知識的理解和落實.

2 典例剖析

題型1已知圖像求表達式

圖1

例1函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)+B的圖像如圖1所示，則S=f(0)+f(1)+f(3)+…+f(2 011)的值是______.

觀察f(n)的規(guī)律得

f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4，

從而

S= 2 008+f(2 009)+f(2 010)+f(2 012)=

2 008+f(1)+f(2)+f(3)=2 011.

評注本題考查了函數(shù)的表達式和周期性，在寫出函數(shù)表達式的情況下，f(0),f(1),f(2),…,f(2 011)的取值呈周期性.

題型2三角函數(shù)圖像的變換

例2直線y=5與曲線C:y=msinx+n(m>0),x∈[0,2π]交于點A，B，直線y=-1與曲線C交于點C，D，且|AB|=|CD|，則

( )

A.n=2,m>3 B.n=2,m=3

C.n=3,m>2 D.n,m的值均不確定

答案A.

分析本題重點考查函數(shù)的圖像、最值等三角函數(shù)的核心內(nèi)容，可從“有交點”的角度入手，求得函數(shù)最大值為m+n.圖像與y=5有交點，只需滿足

函數(shù)最小值為m-n，圖像與y=-1有交點，只需滿足-m+n<-1，即

由式(1)，式(2)得m>3.故選A.

另一方面，需要思考如何保證“|AB|=|CD|”這一條件.由對稱性，要使2條直線l1:y=a,l2:y=b被y=msinx截得的線段相等，必須保證l1與l2關(guān)于x軸對稱，即a+b=0.由y=msinx圖像向上或向下平移得到y(tǒng)=msinx+n的圖像，直線l1與l2在相同的平移下，得到直線y=a+n和y=b+n這2條直線分別對應(yīng)y=5與y=-1，因此a+b+2n=4，解得n=2.

題型3三角函數(shù)的單調(diào)性

答案0<ω≤2.

評注本題屬基本題，主要考查y=sinωx的單調(diào)性，尤其注意ω的正負(fù)對單調(diào)性的影響.

例4函數(shù)f(x)=Msin(ωx+φ)(ω>0)在區(qū)間[a,b]上是增函數(shù)，且f(a)=-M，f(b)=M,則函數(shù)g(x)=Mcos(ωx+φ)在[a,b]上

( )

A.是增函數(shù) B.是減函數(shù)

C.可取最大值MD.可取最小值-M

答案C.

分析2此題可由特殊值法求解，取M=ω=1，φ=0易得選項C正確.

題型4三角函數(shù)的最值

分析化簡表達式,得

y=-2at+2a+b,

當(dāng)a>0時，y=-2at+2a+b為減函數(shù)，即

解得

a=2,b=-5.

當(dāng)a<0時，y=-2at+2a+b為增函數(shù)，即

解得

a=-2,b=1.

題型5三角函數(shù)的周期性、對稱性

( )

D.f(x)的最大值為A

答案C.

分析形如f(x)=Asin(ωx+φ)的圖像特點為“在對稱軸處函數(shù)值取最大或最小，在對稱中心處函數(shù)值為0”.

由T=π得ω=2，即

f(x)=Asin(2x+φ)，

又

從而

故選C.

題型6三角函數(shù)與解三角形

(1)求角A；

分析(1)由m,n共線，得

化簡得

從而

3 精題集萃

圖2

( )

( )

A.sinxB.-sinxC.1 D.tanx

(1)求f(x)的最小正周期;

6.函數(shù)f(x)=ax+cosx，x∈[0,π],若f(x)≤1+sinx,求a的取值范圍.

參考答案

2.C 3．A

6.易知當(dāng)x=0時，不等式成立;當(dāng)x∈(0,π]時，分離變量得