“動(dòng)態(tài)”立體幾何題的求解策略

● (青田縣教師進(jìn)修學(xué)校 浙江青田 323900)

“動(dòng)態(tài)”立體幾何題的求解策略

●蔣海甌(青田縣教師進(jìn)修學(xué)校 浙江青田 323900)

1 考點(diǎn)回顧

“常規(guī)”的立體幾何題是在確定的幾何體內(nèi)，判斷或證明固定(靜態(tài))的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，計(jì)算或論證固定的直線與直線、直線與平面、平面與平面之間所成角的大小或計(jì)算它們之間的距離，求解有關(guān)確定幾何體的表(側(cè)、截)面積與體積等，俗稱為“靜態(tài)”立體幾何題.所謂“動(dòng)態(tài)”立體幾何題是指立體幾何題中除了固定不變的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系之外，還滲透了一些動(dòng)態(tài)的元素(點(diǎn)、線、面、體)以及由這些動(dòng)態(tài)元素變化而產(chǎn)生的位置關(guān)系，從而使“靜態(tài)”的立體幾何題煥發(fā)出新的風(fēng)姿，綻放出新的活力，使立體幾何問(wèn)題的考查展現(xiàn)出新的魅力，呈現(xiàn)出新的生機(jī).

“動(dòng)態(tài)”立體幾何題中由于注入了某些“動(dòng)態(tài)性”與“可變性”的點(diǎn)、線、面、體，常常集“知識(shí)的交匯性與綜合性、方法的靈活性與多向性、思維的變通性與深刻性”于一體，使立體幾何考題更富思辨性、開(kāi)放性和挑戰(zhàn)性，這與“以能力立意”的高考命題指導(dǎo)思想和“將知識(shí)、能力與素質(zhì)的考查融為一體，全面檢測(cè)考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的高考數(shù)學(xué)命題原則相吻合.“動(dòng)態(tài)”立體幾何題已成為檢測(cè)與考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力乃至是考驗(yàn)與測(cè)試學(xué)生心理素質(zhì)的極佳素材，近幾年備受高考數(shù)學(xué)命題者的青睞.“動(dòng)態(tài)”立體幾何題已逐漸成為當(dāng)今高考數(shù)學(xué)試卷中的一大熱點(diǎn)和一大亮色，必須引起我們高度的警覺(jué)和相當(dāng)?shù)闹匾?

“動(dòng)態(tài)”立體幾何題中的“不確定性”與“動(dòng)感性”元素，往往成為考生思考與求解問(wèn)題的思維障礙，使考題的破解更具策略性、挑戰(zhàn)性與創(chuàng)新性，因其又有“適當(dāng)?shù)碾y度”與“較好的區(qū)分度”而倍受好評(píng).但此類考題的求解并沒(méi)有一般的模式與固定的套路可以沿用，需要我們認(rèn)真地總結(jié)、仔細(xì)地梳理其基本的求解策略.

2 典例剖析

2．1 求解策略1：動(dòng)態(tài)觀察，動(dòng)中取靜，以靜制動(dòng)

一般來(lái)說(shuō)，盡管“動(dòng)態(tài)”立體幾何題中活躍著動(dòng)態(tài)的點(diǎn)、線、面、體，但在其動(dòng)態(tài)性的層面內(nèi)、動(dòng)感化的情境里與變化著的過(guò)程中，往往隱藏、蘊(yùn)含或潛伏著某些不變(靜態(tài))的元素與形體.只要細(xì)心觀察，匠心獨(dú)運(yùn)，獨(dú)具慧眼，善于從動(dòng)態(tài)的圖形中捕捉到不變的靜態(tài)的因素，便能尋找到求解問(wèn)題的著力點(diǎn)、切入點(diǎn)與突破口，從而實(shí)現(xiàn)“動(dòng)中取靜，以靜制動(dòng)”之效應(yīng).

例1如圖1，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)E,F在棱A1B1上，動(dòng)點(diǎn)P,Q分別在棱AD,CD上.若EF=1,A1E=x,DQ=y,DP=z(x≥0,y≥0,z≥0)，則四面體PEFQ的體積

( )

圖1

A.與x,y,z都有關(guān)

B.與x有關(guān)，與y,z無(wú)關(guān)

C.與y有關(guān)，與x,z無(wú)關(guān)

D與z有關(guān)，與x,y無(wú)關(guān)

(2010年北京市數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析這里點(diǎn)E,F,P,Q都在運(yùn)動(dòng)，四面體PEFQ隨時(shí)在改變，求解的關(guān)鍵是從這變化之中尋找出不變的因素.若以P為頂點(diǎn)，△EFQ為底面，考察四面體PEFQ的體積，△EFQ的邊長(zhǎng)EF=1為定值，其高即平行線A1B1,CD之間的距離也為定值，可見(jiàn)△EFQ的面積永遠(yuǎn)“不變”.由于平面EFQ與A1B1CD是同一個(gè)平面，故頂點(diǎn)P到底面△EFQ的距離就是點(diǎn)P到底面A1B1CD的距離，也就是點(diǎn)P到線段A1D的距離，顯然該距離隨點(diǎn)P位置的變動(dòng)而變化，故四面體P-EFQ的體積僅與點(diǎn)P的位置有關(guān)，因此選D.

評(píng)注(1)四面體(三棱錐)體積的求解非常靈活，4個(gè)面中的每一個(gè)面都可以作為底面，研究四面體(三棱錐)的體積問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是要如何選取一個(gè)合適的底面或頂點(diǎn)，以便于計(jì)算與論證;(2)秘訣1：面對(duì)“動(dòng)態(tài)”幾何體的體積問(wèn)題——要著力尋找“不變”的底面或高.

(2006年江西省數(shù)學(xué)高考理科試題)

圖2 圖3

評(píng)注秘訣2：求“動(dòng)態(tài)”幾何體內(nèi)的折線長(zhǎng)(或圍繞在幾何體表面上的線段長(zhǎng))最小的問(wèn)題——方法是“化空間為平面，以直代曲”(先把空間圖形展開(kāi)在平面圖形，最后轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題).

例3如圖4，AB是平面α的斜線段，A為斜足，若點(diǎn)P在平面a內(nèi)運(yùn)動(dòng)，使得△ABP的面積為定值，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是

( )

A.圓 B.橢圓

C.1條直線 D.2條平行直線

(2008年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

圖4 圖5

分析這里動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)有2個(gè)約束條件：(1)在平面α內(nèi)運(yùn)動(dòng)；(2)△ABP的面積為定值．不妨先對(duì)條件(2)作定性分析：因?yàn)椤鰽BP的面積為定值，而其底邊AB的長(zhǎng)度一定，所以點(diǎn)P到定直線AB的距離為定值，故點(diǎn)P的軌跡是以直線AB為旋轉(zhuǎn)軸的圓柱面.再考慮條件(1)，點(diǎn)P的軌跡就是圓柱面與平面α的交線．注意到線段AB為平面α的斜線段，因此平面α與圓柱面斜交．根據(jù)圓錐曲線的定義，滿足條件的點(diǎn)P的軌跡是橢圓(如圖5)，正確答案選B．

評(píng)注(1)這里從整個(gè)動(dòng)態(tài)過(guò)程中尋找到“動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離為定長(zhǎng)”，動(dòng)中求靜，進(jìn)而以靜制動(dòng)，這是求解這一動(dòng)態(tài)問(wèn)題的關(guān)鍵.(2)秘訣3：應(yīng)對(duì)“動(dòng)態(tài)”立體幾何題的軌跡問(wèn)題——思路是回歸有關(guān)軌跡的定義，著力找尋定點(diǎn)、定直線與定長(zhǎng)的線段等.(3)考查“動(dòng)態(tài)”立體幾何題的軌跡問(wèn)題，體現(xiàn)在立體幾何與解析幾何的知識(shí)交匯處設(shè)計(jì)試題的理念，要熟練地掌握解析幾何中有關(guān)軌跡的定義(如：線段的中垂線，角的平分線，圓、球、圓錐曲線的定義等)和常見(jiàn)的幾何體的定義及其形成過(guò)程.

2．2 求解策略2：動(dòng)態(tài)感知，動(dòng)感觀望，以動(dòng)制動(dòng)

對(duì)于“動(dòng)態(tài)”立體幾何題，不妨將題目中的動(dòng)態(tài)變化情景如實(shí)地展現(xiàn)出來(lái)，充分感知?jiǎng)討B(tài)的變化過(guò)程，仔細(xì)觀望動(dòng)態(tài)的變化規(guī)律，及時(shí)捕捉動(dòng)態(tài)的變化軌跡，從而掌握與描繪出其動(dòng)態(tài)變化的一般趨勢(shì)乃至具體形態(tài)，使問(wèn)題變得有跡可循、清晰可辨，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)“動(dòng)中感知，以動(dòng)制動(dòng)”之效果.

圖6

例4設(shè)直線l?平面α，過(guò)平面α外一點(diǎn)A與l,α都成30°角的直線有且只有

( )

A.1條 B.2條

C.3條 D.4條

(2008年四川省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析本題中所求直線有2個(gè)限制條件：(1)先考慮直線與平面α成30°角的情形．根據(jù)圓錐母線與底面所成的線面角的不變性，可知過(guò)點(diǎn)A與平面α所成角為30°的動(dòng)態(tài)直線束形成一個(gè)以A為頂點(diǎn)的圓錐(如圖6)，設(shè)該圓錐與平面α的交線為圓O；(2)再考慮直線與直線l成30°角的情形．作直線l的平行線l′交圓O于點(diǎn)B,C，聯(lián)結(jié)AB,AC，則AB,AC與l′,α都成30°角，即AB,AC與l,α也都成30°角．根據(jù)線面角是直線與平面內(nèi)所有直線所成角的最小角，滿足題設(shè)中2個(gè)條件的直線，有且只有AB,AC這2條，故選B．

評(píng)注(1)在這里按照動(dòng)態(tài)的直觀感知，如實(shí)地作出了滿足第一個(gè)條件的直線束的具體“動(dòng)態(tài)軌跡”，使問(wèn)題變得直觀清晰、有跡可循，進(jìn)而再動(dòng)感觀望，最終實(shí)現(xiàn)“以動(dòng)制動(dòng)”的效應(yīng).(2)一般地，設(shè)過(guò)平面α外一定點(diǎn)的直線l與平面α所成的角為θ1(0°<θ2<90°)，與平面α內(nèi)的直線l′所成的角為θ2，則有如下結(jié)論：①若0°<θ2<θ1，則這樣的直線l不存在；②若θ2=θ1或θ2=90°，則這樣的直線l有且只有2條；③若θ1<θ2<90°，則這樣的直線l有且只有4條．

例5如圖7，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為線段AD，BC上的點(diǎn)，∠ABE=20°，∠CDF=30°．將△ABE繞直線BE、△CDF繞直線CD各自獨(dú)立旋轉(zhuǎn)一周，則在所有旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直線AB與直線DF所成角的最大值為_(kāi)_____．

(2011年浙江省數(shù)學(xué)高考調(diào)研測(cè)試?yán)砜圃囶})

圖7 圖8

分析本題考查“動(dòng)態(tài)”的2條異面直線所成的角.由于2條直線不固定，又按不同的直線旋轉(zhuǎn)，在它們同時(shí)變動(dòng)的情況下，2條直線的位置關(guān)系及所成的角不易確定.由于“平移”不改變直線之間的夾角，因此不妨將DC平移到BG，△CDF繞直線CD旋轉(zhuǎn)一周得到的圓錐面也整體移到圖8中“圓錐面1”的位置；再對(duì)此“圓錐面1”進(jìn)行反射對(duì)稱變換(即中心對(duì)稱變換，這樣的對(duì)稱變換也不改變相應(yīng)母線之間所成的角)得到新的“圓錐面2”，設(shè)△ABE繞直線BE旋轉(zhuǎn)一周得到“圓錐面3”.根據(jù)圓錐中所有母線中位于軸截面的2條母線的夾角最大，只有位于“圓錐面2”與“圓錐面3”公共軸截面處的AB與DF所成角才取到最值，由圖8易知直線AB與直線DF所成角的最大值為30°+20°+20°=70°.

評(píng)注(1)這里通過(guò)“平移變換”與“中心對(duì)稱變換”這一系列動(dòng)態(tài)變換過(guò)程，使“動(dòng)態(tài)”的2條直線AB與DF所成角即刻清晰可見(jiàn)，其“動(dòng)態(tài)感知，以動(dòng)制動(dòng)”的策略展現(xiàn)出獨(dú)有的功力；(2)由上述分析與動(dòng)態(tài)的作圖過(guò)程還可以清楚地知道，本題中直線AB與DF所成角的最小值為10°．

2．3 求解策略3：動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)換，化動(dòng)為靜，靜觀其變

有些“動(dòng)態(tài)”立體幾何題直接推演比較困難，可通過(guò)巧妙的變換與轉(zhuǎn)換，把“動(dòng)態(tài)的立體幾何問(wèn)題”轉(zhuǎn)化為“靜態(tài)的立體幾何問(wèn)題”來(lái)思考，即“化動(dòng)為靜，靜觀其變”，從而啟迪我們的求解思路，產(chǎn)生創(chuàng)新的求解視角與神奇的解題方向.有些“動(dòng)態(tài)”立體幾何題用“定性分析”的方法比較困難，可考慮引入適當(dāng)?shù)膮?shù)，通過(guò)構(gòu)建方程、函數(shù)或不等式等進(jìn)行定量計(jì)算，或通過(guò)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并引入空間向量的運(yùn)算，從而智慧地把“動(dòng)態(tài)的立體幾何問(wèn)題”的判定與證明化歸轉(zhuǎn)化為我們熟悉的“靜態(tài)的代數(shù)問(wèn)題”的定量計(jì)算，達(dá)到“以算代證，巧奪天工”之效用.

圖9

例6如圖9，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是棱DD1的中點(diǎn)，O為底面ABCD的中心，P為棱A1B1上的任意一點(diǎn)，則直線OP與直線AM所成的角為

( )

D.不確定(與點(diǎn)P的位置有關(guān))

分析方法1由圖9知，不論動(dòng)態(tài)直線OP在什么位置，它在平面A1ADD1內(nèi)的射影總是“定直線A1E”(靜態(tài)直線，其中E為棱AD的中點(diǎn)).由平面幾何知識(shí)易知定直線AM⊥A1E，則由三垂線定理得恒有AM⊥OP，故選C．

方法2因點(diǎn)M是定點(diǎn)，則直線AM是定直線，而點(diǎn)P為棱A1B1上的任意一點(diǎn).隨著點(diǎn)P的變化，直線OP形成一個(gè)“軌跡面A1OB1”(是一個(gè)確定的平面)，即平面A1B1FE內(nèi)的一部分.要確定直線OP與直線AM所成的角，可以先考慮定直線AM與動(dòng)直線OP所在的“靜態(tài)平面A1B1FE”之間的關(guān)系.由平面幾何知識(shí)，易知AM⊥A1E，而平面A1B1FE⊥平面A1ADD1，則恒有AM⊥平面A1B1FE，故AM⊥OP，選C．

評(píng)注(1)方法1通過(guò)動(dòng)直線的射影，將空間上的“動(dòng)直線”與“定直線”的位置關(guān)系，化歸為同一平面內(nèi)的2條“靜態(tài)直線”的位置關(guān)系來(lái)分析處理.方法2巧妙地化“空間上的動(dòng)直線與定直線之間的關(guān)系”為“一條靜態(tài)直線與一個(gè)靜態(tài)平面之間的關(guān)系”，其“化動(dòng)為靜，靜中破解”的手法與功力頗富新意，更具實(shí)用，很值得借鑒與運(yùn)用.(2)事實(shí)上，立體幾何中有相當(dāng)部分的定理(如：三垂線定理及其逆定理等)本身就包含有動(dòng)態(tài)的情境或動(dòng)態(tài)的特征，為“化動(dòng)為靜”提供了前提與基礎(chǔ).

圖10

例7如圖10，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=2,BC=1,E為DC的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段EC(端點(diǎn)除外)上一動(dòng)點(diǎn).現(xiàn)將△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC，在平面ABD內(nèi)過(guò)點(diǎn)D作DK⊥AB，K為垂足.設(shè)AK=t，則t的取值范圍是______.

(2009年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析方法1如圖11，聯(lián)結(jié)FK，過(guò)點(diǎn)F作FN⊥AB于點(diǎn)N.不妨設(shè)DF=x(1

AD2-AK2=DK2=DF2-KF2=

DF2-(KN2+FN2)，

即

1-t2=x2-(x-t)2-1，

得

圖11 圖12

方法2建立如圖12所示的空間直角坐標(biāo)系(以A為原點(diǎn)，AB所在的直線為y軸，過(guò)點(diǎn)A平行BC的直線為x軸).折疊過(guò)程中的不變量為

AD=1,AB=2,BC=1.

設(shè)DF=m(1

由已知條件恒有AD⊥DF，則

t(m-t)-(1-t2)=0，

評(píng)注(1)對(duì)這個(gè)“動(dòng)態(tài)”幾何題，方法1通過(guò)引入“參數(shù)”，把復(fù)雜的“動(dòng)態(tài)立體幾何問(wèn)題”化歸為“靜態(tài)的方程或函數(shù)問(wèn)題”，順利獲解.方法2通過(guò)建立適用的直角坐標(biāo)系，把動(dòng)點(diǎn)用坐標(biāo)來(lái)表示，加以向量的介入，使復(fù)雜的“動(dòng)態(tài)立體幾何問(wèn)題”化歸為“靜態(tài)的代數(shù)問(wèn)題”來(lái)處理，求解過(guò)程顯得自然而流暢.(2)本題也可以通過(guò)折紙實(shí)驗(yàn)、動(dòng)手演示、直觀感知、操作確認(rèn)——這種“以動(dòng)制動(dòng)”的方法求解.還可以著眼線段EC的端點(diǎn)E,C進(jìn)行邊際思考，從而用“以靜制動(dòng)”的方法來(lái)迅速求解.

例8如圖13，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，點(diǎn)D,E分別在棱PB,PC上，且DE∥BC.

(1)略；(2)略；

(3)是否存在點(diǎn)E使得二面角A-DE-P為直二面角？并說(shuō)明理由.

(2009年北京市數(shù)學(xué)高考理科試題)

圖13 圖14

分析用向量法．如圖14，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.設(shè)PA=a，由已知可得

評(píng)注(1)該題高考中經(jīng)常涉及的“動(dòng)態(tài)”幾何題中的“探究性定位問(wèn)題”，此類題型可以運(yùn)用傳統(tǒng)的幾何法來(lái)解決.通過(guò)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，并引入向量的運(yùn)算，將“動(dòng)態(tài)”的定位問(wèn)題化歸為“靜態(tài)”的代數(shù)計(jì)算，使問(wèn)題更容易操控，可以說(shuō)”坐標(biāo)化”與“向量法”是解決動(dòng)態(tài)探究性定位問(wèn)題的通用之法與便捷之策.(2)用向量法不僅說(shuō)明了“動(dòng)點(diǎn)”的存在，并找到了具體的位置，顯現(xiàn)向量法在求解“動(dòng)態(tài)”立體幾何題時(shí)的非凡功能.

3 精題集萃

圖15

1．如圖15，動(dòng)點(diǎn)P在正方體ABCD-A1B1C1D1的對(duì)角線BD1上．過(guò)點(diǎn)P作垂直于平面BB1D1D的直線，與正方體表面相交于M,N．設(shè)BP=x，MN=y，則函數(shù)y=f(x)的圖像大致是

( )

A. B. C. D.

(2008年北京市數(shù)學(xué)高考理科試題)

2．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點(diǎn)，則在空間中與3條直線A1D1，EF，CD都相交的直線

( )

A．不存在 B．有且只有2條

C．有且只有3條 D．有無(wú)數(shù)條

(2008年遼寧省數(shù)學(xué)高考理科試題)

( )

A.存在某個(gè)位置，使得直線AC與直線BD垂直

B.存在某個(gè)位置，使得直線AB與直線CD垂直

C.存在某個(gè)位置，使得直線AD與直線BC垂直

D.對(duì)任意位置，3對(duì)直線AC與BD、AB與CD、AD與BC均不垂直

(2012年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

4．如圖16，模塊①～⑤均由4個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體構(gòu)成，模塊⑥由15個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體構(gòu)成.現(xiàn)從模塊①～⑤中選出3個(gè)放到模塊⑥上，使得模塊⑥成為一個(gè)棱長(zhǎng)為3的大正方體.則下列選擇方案中，能夠完成任務(wù)的為

( )

圖16

A.模塊①，②，⑤ B.模塊①，③，⑤

C.模塊②，④，⑥ D.模塊③，④，⑤

(2008年重慶市數(shù)學(xué)高考文科試題)

5．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，定點(diǎn)M在棱AB上(但不在端點(diǎn)A,B上)，點(diǎn)P是平面ABCD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P到直線A1D1的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離的平方差為a2，則點(diǎn)P的軌跡所在曲線為_(kāi)_____.

圖17

6．如圖17，正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1，棱AB∥平面α，則正四面體上的所有點(diǎn)在平面α內(nèi)的射影構(gòu)成的圖形面積的取值范圍是______.

(2006年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

7．已知點(diǎn)O在二面角α-AB-β的棱上，點(diǎn)P在α內(nèi)，且∠POB=45°．若對(duì)于β內(nèi)異于點(diǎn)O的任意一點(diǎn)Q，都有∠POQ≥45°，則二面角α-AB-β的大小是______.

(2007年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

(1)求證：對(duì)任意的λ∈(0,2]，都有AC⊥BE．

(2)設(shè)二面角C-AE-D的大小為θ，直線BE與平面ABCD所成的角為φ.若tanθtanφ=1，求λ的值．

(2009年湖北省數(shù)學(xué)高考文、理科試題)

圖18 圖19

9．如圖19，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長(zhǎng)都是4，E是BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)F在側(cè)棱CC1上，且不與點(diǎn)C重合．

(1)當(dāng)CF=1時(shí)，求證：EF⊥A1C;

(2)設(shè)二面角C-AF-E的大小為θ，求tanθ的最小值．

(2011年湖北省數(shù)學(xué)高考理科試題)

圖20

10．如圖20，在三棱錐P-ABC中，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上.已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2．

(1)證明：AP⊥BC.

(2)在線段AP上是否存在點(diǎn)M，使得二面角A-MC-B為直二面角？若存在，求出AM的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2011年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

參考答案

1．B 2．D 3．B 4．A

10．(1)略；(2)存在點(diǎn)M符合題意，AM=3．