直線與圓錐曲線綜合問題的求解策略

● (海寧市高級中學 浙江海寧 314400)

直線與圓錐曲線綜合問題的求解策略

●顧貫石(海寧市高級中學 浙江海寧 314400)

解析幾何是通過代數方法來研究幾何問題的一門學科，它將幾何與代數進行完美地結合，有很強的綜合性．其中直線與圓錐曲線綜合問題是歷年高考的重點之一，常以中難題為主，主要涉及：位置關系的判定問題、求值問題(長度、面積等)、求參數的最值與范圍問題、定點與定值問題、存在性問題等等．突出考查數形結合、函數與方程、分類討論、等價轉化等數學思想方法，對分析問題和解決問題的能力、運算能力等有較高的要求．

1 典例剖析

直線與圓錐曲線綜合問題的求解策略主要有2種：線參數法與點參數法．

1．1 線參數法

所謂“線參數法”，是將條件或結論用坐標(直線與圓錐曲線的交點坐標)表示為x1±x2，x1x2(或y1±y2，y1y2)，通過直線方程與圓錐曲線方程聯立，用韋達定理或求交點坐標等來求解的方法．其中將條件或結論用坐標表示是線參數法的關鍵．

圖1

(1)當直線l過右焦點F2時，求直線l的方程.

(2)設直線l與橢圓C交于點A，B，且△AF1F2，△BF1F2的重心分別為點G，H．若原點O在以線段GH為直徑的圓內，求實數m的取值范圍．

(2010年浙江省數學高考理科試題)

分析(1)不難求得直線l的方程為

(2)設A(x1,y1)，B(x2,y2)，則

x1x2+y1y2<0．

聯立直線l與橢圓C的方程得到

通過韋達定理結合Δ>0，解得m的取值范圍為1

圖2

(1)求橢圓C的方程.

(2)直線l過橢圓C內一點M(m,0)，與橢圓C交于點P,Q，點N在直線x=-2上.如果點F恰為△PNQ的垂心，求m的取值范圍．

λy=x-m．

本題有3個變量m，λ，y0，可以通過“垂心”的條件獲得三者關系，從而得到f(m,λ)=0或g(m,y0)=0，再通過求函數值域或解不等式求得m的取值范圍．

解由PQ⊥NF,得

即y0=λ.

(1)

由NQ⊥PF得

(2)

式(1),式(2)化簡得

(λ2+1)y1y2+λ(m+1)(y1+y2)+(m+1)(m+2)=0.

(3)

(λ2+2)y2+2λmy+m2-2=0.

代入式(3)化簡得，

mλ2=-(3m2+6m+2)(顯然m≠0)．

由λ2≠0得

評注本題容易發現：m的變化與l的斜率、點N的縱坐標有關．由“垂心”的條件可轉化為f(m,λ)=0來求解，但列出關于坐標的等式(3)是本題的難點．本題主要考查橢圓的幾何性質、直線與橢圓、三角形垂心等基礎知識，考查解析幾何基本思想方法和綜合解題能力．

1．2 點參數法

所謂“點參數法”，是根據條件列出相關點坐標的等式，通過對得到的等式進行有目的的變形而求解的方法．但由于列出的等式有時參數較多，如果代數變式基礎薄弱、變形目標不明確，有時較難求解問題．

圖3

(1)求該橢圓的標準方程.

(2011年重慶市數學高考理科試題)

(2)若存在，不難知道點P在以F1，F2為焦點的橢圓上，因此目標是求點P的軌跡方程，即尋找x，y的等式．但本題很難通過聯立方程組，用線參數法的方法求解．

尋找x，y的等式可轉化為尋找關于x1,y1,x2,y2的等式．考慮到點M，N在橢圓上，則

(5)

因為

所以

x1x2+2y1y2=0．

(6)

從而x2+2y2= (x1+2x2)2+2(y1+2y2)2=

20+4(x1x2+2y1y2)=20,

即點P在橢圓x2+2y2=20上，從而求解．

評注本題考查橢圓的定義與方程、橢圓的性質等知識，同時綜合向量知識應用“點參數法”考查求曲線方程等問題，也考查學生的探究能力．如果按存在性問題常規解題思路設F1，F2坐標求解，很難獲得結論．本題選用“點參數法”比“線參數法”更簡單，問題是：能否得出式(4),(5),(6)中的5個等式及對于等式的合理變形，這也是“點參數法”的最核心之處．

圖4

(1)求直線AA1與直線A2B交點M的軌跡方程.

(2012年遼寧省數學高考理科試題)

分析(1)設A(x1,y2)，B(x1,-y1)，又A1(-a,0)，A2(a,0)，由直線A1A，A2B的方程及點A或點B在橢圓上，共3個等式消去x1，y1可得M的軌跡方程為

(2)如果設A=(x2,y2)，由矩形ABCD與矩形A′B′C′D′的面積相等可得

由點A，A′均在橢圓上得

根據上述3個式子可變形得

圖5

(1)當直線PA平分線段MN，求k的值；

(2)當k=2時，求點P到直線AB的距離d；

(3)對任意k>0，求證：PA⊥PB．

(2011年江蘇省數學高考試題)

A(-μ,-μk)，C(μ,0)，

得

從而

因此

PA⊥PB．

證法2線參數法.設A(x1,y1)，B(x2,y2)，則

P(-x1,-y1)，C(-x1,0).

從而

因為點A在橢圓上，代入得

即

PA⊥PB．

證法3點參數法.設P(x1,y1)，B(x2,y2)，則

A(-x1,-y1),C(x1,0)．

由點A,C,B共線得

即

由于點A,B在橢圓上，得

代入上式得

kPAkPB=-1，

因此

PA⊥PB．

2 精題集萃

(1)求橢圓方程.

(2)如圖6，過點(0,-2)的直線l交橢圓于點A，B、交x軸于點P，點A關于x軸的對稱點為C，直線BC交x軸于點Q．探究：|OP|·|OQ|是否為常數？

圖6 圖7

2．如圖7，已知拋物線C1：x2=y，圓C2：x2+(y-4)2=1的圓心為點M．

(1)求點M到拋物線C1的準線的距離.

(2)已知點P是拋物線C1上一點(異于原點)，過點P作圓C2的2條切線，交拋物線C1于點A，B.若過點M，P的直線l垂直于AB，求直線l的方程．

(2011年浙江省數學高考理科試題)

(1)求橢圓C的方程；

(2)求△ABP的面積取最大時直線l的方程．

(2012年浙江省數學高考理科試題)

圖8 圖9

(1)求橢圓E的方程.

(2)是否存在定點M,N，使得|PM|+|PN|為定值？若存在，求出M,N點坐標；若不存在，說明理由．

參考答案

令y=0，則

于是

kAB=x1+x2,kPA=x0+x1,kPB=x0+x2.

由PM⊥AB,PA，PB與圓相切分別得

代入式(7)得

(2)解設直線l1,l2斜率分別為m1,m2，設A(x1,y1)，B(x2,y2)，則

同理可得

由k1+k2=k3+k4，得

m1m2+2=0.

設P(x,y)，則

即