立體幾何中的翻折問題

● (杭州市第十四中學 浙江杭州 310006)

立體幾何中的翻折問題

●朱豪王紅權(杭州市第十四中學 浙江杭州 310006)

隨著自主命題的深入，浙江省數學高考立體幾何試題對翻折問題似乎情有獨鐘，且常考常新．這類試題背景簡單，立意深遠，對考生的空間想象能力要求很高,能較好地改善學生對立體幾何的思維定勢．

研究翻折問題應注意折前折后各元素相對位置的變化．要理清哪些位置關系和度量關系發生了變化，哪些沒有改變．解決翻折問題的關鍵可以歸納如下：

(1)找準“基準圖”折疊；

(2)畫好“2個圖”——折疊前的平面圖和折疊后的立體圖；

(3)尋找“2個量”——哪些量(或關系)發生了變化，哪些量(或關系)沒有發生變化．

立體幾何教學中用好翻折問題，可以讓學生走出平面定勢，構建空間立體結構直觀圖，使靜態數學動態化，優化學生的思維．

1 翻折與線面位置關系判定

例1圖1表示一個正方體表面的一種展開圖，圖中的4條線段AB,CD,EF和GH在原正方體中相互異面的有______對．

分析將其中一個面作為“正面”，依次將該面的左、右、上、下5個面復原，如圖1所示．觀察即知相互異面的線段有AB與CD，EF與GH，AB與GH這樣3對．

評注畫折疊圖一般以某個平面為基礎，依次將與其相連的平面沿公共邊旋轉復原，畫圖之前要對翻折后形成的立體圖形有所認識，這是此類問題的關鍵所在．

圖1 圖2

圖3

例2如圖2，在正△ABC中，D，E，F分別為對應邊的中點，G,H,I,J分別為AF,AD,BE,DE的中點，將△ABC沿DE,EF,DF折成三棱錐以后，GH與IJ所成角的度數為

( )

A．90° B．60°

C．45° D．0°

分析將△ABC沿DE,EF,DF折成的三棱錐如圖3所示，GH和IJ為一對異面直線.由已知可得DF∥GH，IJ∥AD，∠ADF即為所求的角，即GH與IJ所成角的度數為60°．

評注本題解題的關鍵是抓住其中一些量的不變性，即IJ∥BD，GH∥DF在翻折前后不變，∠ADF在翻折前后都為60°等．

圖4 圖5

分析聯結A1B，沿BC，將△CBC1展開與△A1BC1在同一個平面內，如圖5所示，聯結A1C，則A1C的長度就是所求的最小值．

評注立體幾何問題平面化，是解決立體幾何最值問題的重要思想，也是計算某些線段長度的重要方法，平面化過程要注意變化前后的變與不變性.

圖6

例4在△ABC中，M,N分別是AB，AC上的點，且AM∶MB=AN∶NC=1∶2，把△AMN沿MN折起到△A′MN，使二面角A-MN-B為60°．

(1)求證：平面A′MN⊥平面A′BC；

(2)當△ABC是邊長為2的正三角形時，求A′B的長度．

評注沿一條直線翻折往往存在線與面、面與面的平行或垂直關系，也可求空間角、空間距離等．已知條件隱藏在翻折前的圖形當中，看出隱藏條件是解決問題的關鍵．

( )

A.存在某個位置，使得直線AC與直線BD垂直

B．存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直

C．存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直

D．對任意位置，直線AC與BD，AB與CD，AD與BC均不垂直

(2012年浙江省數學高考理科試題)

分析本題解法較多，這里選擇建立空間坐標系的方法，想說明空間向量是解決立體幾何計算問題的強有力的武器．

解把△ABD繞BD旋轉一周，并建立如圖7所示的空間坐標系，則

圖7 圖8

評注通過該解法，容易知道問題的本質是圓錐中過定點A的截面ADE，AD能否與AE垂直的問題(如圖8)．容易知道只有當∠BAC≥90°時才存在．

2 翻折與空間角、距離和體積的計算

(1)求二面角A′-FD-C的余弦值；

(2)點M，N分別在線段FD，BC上，若沿直線MN將四邊形MNCD向上翻折，使C與A′重合，求線段FM的長．

(2010年浙江省數學高考理科試題)

設n=(x，y，z)為平面A′FD的一個法向量，則

圖9

(2)設FM=x，則M(4+x，0，0)，因為翻折后，點C與點A重合，所以CM=A′M，故

例7如圖10，在長方形ABCD中，AB=2，BC=1，E為DC的中點，F為線段EC(端點除外)上一動點．現將△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC．在平面ABD內過點D作DK⊥AB，K為垂足．設AK=t，則t的取值范圍是______．

(2009年浙江省數學高考理科試題)

圖10

圖11

分析此題常用尋找2個極端位置的方法，這里采用折前折后的圖形同時呈現的方式，更容易找到問題的關鍵．

評注這里的關鍵是發現D′D⊥AF，使得將空間中線線、線面垂直轉化為平面中DK⊥AF．

例8將邊長為a的正方形ABCD沿對角線AC折起，使得BD=a，則三棱錐D-ABC的體積為

( )

分析取BD的中點為O，BD⊥平面OAC，則

從而

故選D．

在解翻折問題的過程中，要充分挖掘和利用其中的不變關系和不變量(主要是平行、垂直關系和角度的大小、線段的長度等)；注重平面和立體之間的相互轉化；適時利用空間向量，轉化問題，最終解決問題．