例談三角恒等變換與解三角形的復習

● (湖州市教育科學研究中心 浙江湖州 313000)

例談三角恒等變換與解三角形的復習

●王勇強(湖州市教育科學研究中心 浙江湖州 313000)

1 考點回顧

(1)縱看近4年的浙江省數(shù)學高考，對三角函數(shù)的考查，一般是以2個左右的客觀題和1個解答題的形式出現(xiàn)，以中、低難度題為主.三角恒等變換是解決三角函數(shù)的圖像與性質、解三角形這2類問題的重要工具，因此掌握同角三角函數(shù)的基本關系、誘導公式、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式，掌握二倍角公式并能加以運用，是解決三角函數(shù)問題的關鍵.解三角形是三角函數(shù)的一個典型應用，考試說明中明確提出必須掌握正弦、余弦定理，并能運用這2個定理解決實際問題.因此三角恒等變換與解三角形是三角函數(shù)部分的重要內容，也是這4年來浙江省高考必考的一個知識點.

(2)高考中三角恒等變換這部分題型靈活，主要考查運算能力、公式及其變式的靈活運用能力.在客觀題中，突出考查基本公式所涉及的簡單運算；解答題以中等難度題為主，重點考查三角函數(shù)名稱、角、關系式的變換，多數(shù)問題都會聯(lián)系三角形、向量等概念進行綜合考查.正、余弦定理揭示了三角形邊、角之間的數(shù)量關系.近些年，高考對正、余弦定理的考查一般集中在求解三角形的邊、角、形狀、面積等方面.

2 命題趨勢

(1)應用兩角和與差公式、倍角公式求值、化簡，以及與三角函數(shù)性質、解三角形綜合仍是重點，題型多樣，中、低難度，是重要的得分點.三角恒等變換還經常與三角函數(shù)圖像、性質、平面向量、數(shù)列等知識綜合考查，在知識交匯點上命題也是目前高考的一個趨勢，它體現(xiàn)了求新的命題思想.

(2)運用正、余弦定理解三角形是高考的重點內容之一.不僅要關注運用正、余弦定理解三角形問題，還需要關注正、余弦定理和平面向量、解析幾何、三角函數(shù)等知識的綜合問題，同時也不要忽視用正、余弦定理解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題.

3 典例剖析

例1在△ABC中，3個內角A,B,C,滿足A∶B∶C=1∶2∶2，求1-cosA+cosB-cosAcosB的值.

(課本練習題改編)

評注該題考查了正、余弦的二倍角公式的正用和逆用，特別是求2sin18°cos36°的值需要靈活的思維.三角函數(shù)是以“角”為自變量的函數(shù)，三角恒等變換一看“角”，一般可先從“角”的特征去分析，這是最重要的一環(huán)，常見思路是復角變單角、一般角變特殊角、目標角變已知角；三角恒等變換二看“函數(shù)名稱”，常見的有“切化弦”、“萬能公式”等；三看“結構特征”，常用思路是關系式的展開與合并、次冪的轉換、分式與整式的運算、角度的配湊等.另外，在高三復習時應讓學生熟悉一些特殊角的三角函數(shù)，除了30°,45°,60°外，也可適當了解15°,18°,36°,72°,75°等特殊角度的三角函數(shù)值的求法.

(1)求tanC的值；

(2012年浙江省數(shù)學高考理科試題)

評注該題主要考查內角和定理、兩角和的正弦公式、同角三角函數(shù)的基本關系、正弦定理、三角形面積公式等基礎知識，同時考查運算求解能力.立足通性通法是浙江省高考命題一直延續(xù)的特點，在平時復習時要注重“題不在多，理解則靈”，特別是要重視對各章節(jié)知識通性通法的復習和掌握.三角函數(shù)式變形的過程就是分析矛盾、發(fā)現(xiàn)差異，進而消除差異的過程.在這一過程中須仔細觀察式子中各項的角、函數(shù)名稱及運算式子的差異，找出特征，從中找到解題的突破口.

( )

(2012年全國數(shù)學高考大綱卷理科試題)

因為α為第二象限角，所以sinα>0,cosα<0,于是

從而

故選A.

評注函數(shù)問題首要要素是定義域，因此在解決函數(shù)問題時一定要有范圍意識.本題比較典型，解法較多.在解此題時無論是轉化為單角α的問題，還是轉化為倍角2α的問題，都會涉及到開方，如果學生沒有范圍意識，常常會出現(xiàn)開方直接取正號的錯誤.這種錯誤看似“失誤”，究其根源是對三角函數(shù)符號的意識不強、思維不嚴謹導致的，因此在三角恒等變換中一定要加強范圍先行的意識.

(1)求證：tanB=3tanA；

(2012年江蘇省數(shù)學高考試題)

例5某同學在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn)，以下5個式子的值都等于同一個常數(shù).

①sin213°+cos217°-sin13°cos17°；

②sin215°+cos215°-sin15°cos15°；

③sin218°+cos212°-sin18°cos12°；

④sin2(-18)°+cos248°-sin(-18)°cos48°；

⑤sin2(-25)°+cos255°-sin(-25)°cos55°.

(1)試從上述5個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；

(2)根據(jù)第(1)小題的計算結果，將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結論.

(2012年福建省數(shù)學高考理科試題)

解(1)略.

(2)三角恒等式為

sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=

評注該題主要考查同角三角函數(shù)的基本關系式、兩角和與差的三角函數(shù)公式、二倍角公式等基礎知識，同時考查運算求解能力、抽象概括能力、推理論證能力，還考查了特殊與一般思想、化歸與轉化思想.以上將cos(30°-α)展開，再代入運算,這種解法看上去平常、普通卻很有效，是“化腐朽為神奇”、“平平淡淡才是真”.三角函數(shù)公式眾多，而且使用方式也是靈活多樣的，因此在復習中不僅要讓學生學會套用、逆用、變形使用公式，還要讓學生掌握公式及其變形的特點，提高觀察能力，準確判斷選用，從而靈活使用公式，正確、簡便地進行運算求解.

4 精題集萃

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5.在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知8b=5c，C=2B，則cosC=

( )

7.設△ABC的內角A,B,C所對的邊為a,b,c，則下列命題正確的是______．

9.設△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且2cos(B-C)=4sinBsinC-1．

(1)求角A；

(1)求角A；

參考答案

1.A 2.D 3.C 4.B 5.A

10.解(1)由正弦定理得

即

從而

于是

即

解得

A=60°

a2=b2+c2-2bccosA,

得

b+c=4,

從而

b=c=2.