平面向量及其運用

● (杭州市高級中學 浙江杭州 310003)

平面向量及其運用

●陳利民(杭州市高級中學 浙江杭州 310003)

1 考點回顧

平面向量是高中數學最重要的工具性知識之一，它兼具幾何形式和代數形式雙重身份，成為高中數學知識的交匯點之一.近幾年的高考，平面向量的考查主要體現在2個方面：一是平面向量相關概念、線性運算及數量積運算的考查，高考中或直接考查或用以解決有關長度、垂直、夾角、判斷多邊形的形狀等，例如浙江省數學高考2010年第16題、2011年第14題、2012年第5題都是向量夾角、模、數量積運算的問題；二是考查平面向量的綜合應用.平面向量常與平面幾何、解析幾何、三角函數等內容交叉滲透，使數學問題的情境新穎別致，此類問題往往用向量語言表述題干，而問題的解決要涉及其他知識的綜合運用，例如2010年全國數學高考理科第11題(向量與圓)、上海市數學高考理科第13題(向量與雙曲線)、2011年浙江省數學高考第17題(向量與橢圓).

縱觀近幾年的高考試題，在兼顧向量相關概念與運算的同時，試題中往往滲透明顯的幾何背景，解題中若能注意到題干涉及的幾何背景，綜合運用解三角形(正、余弦定理)、解析幾何及函數的知識與方法，將會起到事半功倍的效果.

2 典例剖析

圖1 圖2

( )

(2011年全國數學高考理科試題)

評注本題考查平面向量夾角與模的概念、數量積運算等基礎知識，解題的關鍵是構造題設條件下的幾何模型.平面向量構造幾何背景的試題常常以平面幾何的基本圖形，例如三角形、四邊形、正六邊形、圓等為切入口，突出考查學生對問題的理解轉化能力和數形結合能力.此類問題的常規解法是抓住平面向量“數”與“形”這2個特征進行思考，努力透析向量條件下的幾何模型，有些時候需要建立適當的坐標系，借助坐標運算來解決問題.

例3在直角坐標系中,△ABC的2個頂點A,B坐標分別為(-1,0),(1,0),平面內2個點G,M同時滿足下列條件:

(2)MA=MB=MC;

則△ABC的另一個頂點C的軌跡方程為______.

分析本題實際上是向量背景下的解析幾何問題，解題的關鍵是要理解和轉化向量表述下的題設條件的幾何含義，正確運用求動點軌跡的方法來解決問題.

得

x0=0,

即

(1)

又因為點C不能在x軸上，所以點C的軌跡方程為

評注本題重點考查動點軌跡的求法，兼顧向量的線性運算，對學生運算能力有一定要求，體現了向量知識與解析幾何知識的有機結合.條件表述采用向量形式，背景新穎別致，要求學生理解掌握三角形重心、外心與平面向量的關系.此類問題的解決，除了必須具備向量概念、線性運算、數量積運算等基礎知識外，更側重于考查解析幾何問題求解的技能與方法，突出考查學生綜合運用數學知識解決問題的能力.

圖3

(2009年安徽省數學高考理科試題)

分析要求x+y的最大值，必先建立它的目標關系式.

解法1若從向量數量積運算考慮，可得

則

即

(x+y)2≤4,

從而

x+y≤2.

解法2引進角參數，設∠AOC=α,則

即

從而x+y= 2[cosα+cos(120°-α)]=

于是

評注本題解法較多，解法1從向量數量積運算出發，結合不等式性質解決問題；解法2引進角參數，運用向量數量積的運算性質，從而建立起x+y關于參數α的目標函數式；解法3建立直角坐標系，運用向量的坐標運算，得到x+y關于參數α的目標函數式，后2種方法都要涉及三角函數的化簡與恒等變形，對學生綜合運用知識的能力提出了較高要求.

(1)求cos(α-β)的值;

|a-b|2= 2-2(cosαcosβ+sinαsinβ)=

從而

即

從而

(2)注意到條件角與所求角之間的聯系，運用三角變換可得結論

評注本題是向量背景下的三角函數問題，考查向量的坐標運算和數量積運算，重點是三角函數兩角差余弦公式和角變換公式的運用，考查學生的推理和運算能力.事實上，平面向量與三角函數的綜合運用一直是高考命題的一個熱點問題，它的主要形式是平面向量與三角函數化簡求值結合、與三角函數圖像性質結合、與解三角形相結合等，其本質是三角變換與函數性質的綜合運用，從而構建具有一定思維能力要求的中等難度題型.

( )

(2012年廣東省數學高考理科試題)

分析本題在向量原有運算基礎上定義了一種新的運算，理解和轉化新定義是解題的關鍵.

從而

且

a°b=2cos2θ>1,

于是

1

故

兩式相乘得

得

2

所以

k1k2=3.

又由|a|≥|b|>0,得

k1=3,k2=1,

于是

3 精題集萃

( )

2.一質點受到平面上的3個力F1,F2,F3(單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態．已知F1,F2成60°角，且F1,F2的大小分別為2和4，則F3的大小為

( )

圖4

( )

( )

( )

圖5 圖6

8.已知向量a=(sinα,cosα),b=(6sinα+cosα,7sinα-2cosα),設函數f(α)=a·b.

(1)求函數f(α)的最大值；

(1)求a·b及|a+b|;

參考答案

8.解(1)因為

f(α)=a·b=

sinα(6sinα+cosα)+cosα(7sinα-2cosα)=

6sin2α-2cos2α+8sinαcosα=

4(1-cos2α)+4sin2α-2=

所以

(2)由第(1)小題可得

從而

即

故

因為

所以

a2=b2+c2-2bccosA=

得

cos2x,

cosx>0,

從而

|a+b|=2cosx.

(2)

f(x)=cos2x-4λcosx,

即

f(x)=2(cosx-λ)2-1-2λ2.

①當λ<0時，當且僅當cosx=0時，f(x)取得最小值-1，這與已知矛盾；