初中學業考數學試卷命制的著眼點
——以2013年紹興市初中學業考數學卷為例

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(紹興市教育教學研究院 浙江紹興 312000)

初中學業考數學試卷命制的著眼點
——以2013年紹興市初中學業考數學卷為例

●周偉揚

(紹興市教育教學研究院 浙江紹興 312000)

初中學業考試作為初中畢業水平考試和高中招生選撥考試的兩考合一，它兼有2種功能：常模參照考試和標準參照考試的合二為一．那么，在學業考試數學試卷的命制中，要注重哪些原則，突出哪些重點，考核哪些要點，這些都會成為一線教師所關注的，也為命題人員所重視．本文以2013年紹興市初中學業考試數學試卷的命制為例，說明命制學業考試數學試卷所必須的著眼點和落腳點．

1 突出學科基礎：有效考查學業水平的必要前提

作為學業考試的數學試卷，考查學業水平是一大功能，故在命題中，必須做到突出學科基礎，考查本學科最基本的知識、技能和思想方法，體現了義務教育學科學業水平的基礎性和普及性．

例1(1)計算3a·2b的結果是

( )

A．3abB．6aC．6abD．5ab

(2)分解因式：x2-y2=______．

這2道題涉及到整式運算、因式分解等知識，是初中數學中數與式的最基本運算，題目設置起點低，考查的是基礎知識和基本技能．這2道題分別以選擇題、填空題的形式出現，對考查單一知識、技能，能最大地發揮其題型的功能，即解答只要結果，不要過程．

圖1

例2在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于點D，點E為AB的中點，EC與AD交于點G，點F在BC上．如圖1，AC∶AB=1∶2，EF⊥CB，求證：EF=CD．

此題是試卷第23題第(1)小題．在解答題中，設置考查基本知識與技能的題目，是近幾年來學業考試試題命制的一種手段，大題中設置幾個小題，第(1)小題往往設計成最基礎的問題，這使考生不放棄每一個題目，也為解答后面幾個小題作鋪墊．本題也是一道考查幾何圖形的基礎題，要證EF=CD，可想到只要證明△EFB≌△CDA.而證明三角形全等，是教材中邏輯證明入門的載體，故這樣的設計是以幾何問題為載體考查邏輯推理能力的常用方法．

例3某校體育組為了了解學生喜歡的體育項目，從全校同學中隨機抽取了若干名進行調查，每位同學從乒乓球、籃球、羽毛球、排球、跳繩中選擇一項最喜歡的項目，并將調查的結果繪制成如圖2所示的統計圖．

圖2

根據以上統計圖，解答下列問題：

(1)這次被調查的共有多少名同學？并補全條形統計圖．

(2)若全校有1 200名同學，估計全校最喜歡籃球和排球的共有多少名同學？

本題內容屬于統計內容中最基礎的知識，取材于學生非常熟悉的校園內的體育活動，給學生以一定的親切感．試題主要考查學生對數據的整理分析能力、數據統計的運用，并用數據進行“說話”，滲透了統計的基本思想和方法.這正如著名數學教育專家史寧中所說:數據分析是統計的核心．而脫離實際問題的單純數的研究是數與代數的內容，不是統計的內容．教學的核心也是試題命制的核心，考試必須在核心點上設置問題，考真正的數學．

結論以學科的基礎為根本，符合考試的性質，反映了學習與教學的重點，這是高質量學業考試試卷命制工作的訴求．

2 演繹知識本源：有效闡述學科之泉的必用題材

數學是因生產、生活的需要而產生的，數學之源是實踐，人人都要用到數學，處處都有數學．因此，學習數學就必須知道數學的本源，知道數學的“根”．只有聯系實際，數學才是有用的，數學才是“活”的．因此，在試題的問題設置中，必須有數學的應用，必須有實際的情境，這樣才能反映出數學的本來面目．

圖3

例4紹興是著名的橋鄉．如圖3，圓拱橋的橋頂到水面的距離CD為8 m，橋拱半徑OC為5 m，則水面寬AB為

( )

A．4 m B．5 m

C．6 m D．8 m

該題以紹興的橋為情境進行設計，給出了圖片，以增強親切感，運用的數學知識也較基礎，是圓中最基本的運算．從身邊的人、物為出發點設計試題，是近幾年來學業考試試題的一大特點.以真實的情景為載體，至少有2個好處:一是身邊的“橋”的出現，說明了我們的身邊處處有數學，數學就是為了解決身邊的事和物而產生的；二是身邊的“橋”人人見到過，是公平的背景，這樣提高了試題的信度，這是命題技術上常用的方法．

圖4

例5圖4是我國古代計時器“漏壺”的示意圖，在壺內盛一定量的水，水從壺底的小孔漏出，壺壁內畫有刻度，人們根據壺中水面的位置計時．用x表示時間，y表示壺底到水面的高度，則y與x的函數關系的圖像是

( )

A. B. C. D.

函數與其他初中數學知識相比更具抽象性，它也是進一步學習的基礎．該題以我國古代計時器“漏壺”為背景，需要學生將文字信息和圖像信息進行互相轉換，突出了數形結合思想．學生解決此題無需求函數解析式，只需了解變化過程中2個變量的變化趨勢，就能判斷函數的大致圖像，如此設置不僅可以實現對函數意義和函數基本性質的考查，而且在一定程度上也可以考查學生思維的靈活性和應用函數模型解決問題的意識和能力．該題不僅僅考查了函數圖像，更是一種愛國主義教育的滲透，所含之意，是對我國古代人們的聰明才智的宣傳和發揚．

結論以學科的本源為題材，重情景，重實踐，充分顯示出數學的基礎性和應用性，這是高質量學業考試試卷命制努力的方向．

3 發揮導向功能：有效引導學習教學的必備手段

試卷的命制，不僅僅是評價和選拔，更重要的是為今后的教學埋下重要的一筆，即發揮試題的導向功能，是命制者所要考慮的．這里以2種設計來說明：一是命制閱讀理解題，即“新定義”問題；二是課本題目改編成試題．

例6若一個矩形的一邊是另一邊的2倍，則稱這個矩形為方形．如圖5，在矩形ABCD中，BC=2AB，則稱ABCD為方形．

圖5 圖6

(1)設a，b是方形的一組鄰邊長，寫出a，b的值(一組即可)．

(2)在△ABC中，將AB，AC分別5等分，聯結2條邊對應的等分點，以這些聯結線為一邊作矩形，使這些矩形的邊B1C1，B2C2，B3C3，B4C4的對邊分別在B2C2，B3C3，B4C4，BC上(如圖6所示)．

①若BC=25，BC邊上的高為20，判斷以B4C4為一邊的矩形是不是方形？為什么？

②若以B3C3為一邊的矩形為方形，求BC與BC邊上高的長度之比．

本題屬于閱讀理解題中的新定義題．此題由學生熟悉的“正方形”、“矩形”類比出“方形”這一新概念，也就是說，這個“方形”實際上是“界于”正方形和矩形之間．通過“定義”、“舉例”、“辨析”、“應用”4個層次逐步深入，這對于學生的知識遷移能力，對概念信息的閱讀能力，自主探索、解決問題的能力都是一種挑戰．這4個層次的設計，來源于日常的教學，數學概念的學習也是遵循這樣的規律進行的．以教定考，以學定考，這正是我們命制試題的理念．近幾年，學業考試試題較多地出現了這種類型的問題，這種題型功能有2個：(1)是考查即時學習能力，而這種學習能力是人們在今后的工作中所需要的；(2)是這種問題不會出現在任何教輔資料中，這使得題海戰術失靈．

另外，將課本題目改編成試題，在近幾年的學業考試試卷命制中逐漸出現，這在保證了試題情境的公平性，對引導師生重視教材、用好教材，以本為本，不依賴教輔資料，對減輕學生過重課業負擔有一定的現實意義．

例7我國古代數學名著《孫子算經》中有這樣一題：今有雞兔同籠，上有35頭，下有94足，問雞兔各幾何？此題的答案是：雞有23只，兔有12只．現在小敏將此題改編為：今有雞兔同籠，上有33頭，下有88足，問雞兔各幾何？則此時的答案是：雞有______只，兔有______只．

例8如圖7所示的鋼架中，焊上等長的13根鋼條來加固鋼架．若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，則∠A的度數是______．

圖7

該題改編自《數學》八年級上冊第51頁作業題的第15題.本題將課本中的問題——加固鋼架，進行了變式，即不但將鋼條的數量進行了改編，而且還將鋼條的放置位置進行了改編．解答該題，即是對幾何圖形的分析推理的考查，也是對學生合情推理能力的考查．

以上例6中的第(2)小題，也是改編自《數學》九年級上冊第112頁作業題的第6題，還可在《數學》八年級下冊第16頁的例7找到其“影子”．教材中，這個問題的背景出現了2次，這說明了這個問題背景的重要性和典型性，也說明了這個問題對學生學習程度考查的可行性．

結論以學科的資源為素材，發揮試卷的導向功能，正確引導高效的學習與教學，這是高質量學業考試試卷命制研究的定位．

4 展示思維水平：有效測試學習層次的必然方法

作為初中學業考試試卷，為發揮選拔功能，也會設計一些考查一定層次的能力和思維的試題，讓考生從不同角度、用不同的方法來思考問題(以考核思維的靈活性)，讓考生言必有據，養成每一步推理或運算都要有理由、有根據的習慣(以考核思維的嚴密性)，讓考生將各種數學知識廣泛聯系起來進行思考(以考核思維的廣度和深度)，讓考生能深入問題本質(以考核橫向綜合能力和縱向突破能力)．

例9在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，P，Q是對角線BD上不重合的2個點，點P關于直線AD，AB的對稱點分別是點E，F，點Q關于直線BC，CD的對稱點分別是點G，H．若由點E，F，G，H構成的四邊形恰好為菱形，則PQ的長為______．

本題的設計著眼于對“演繹推理分析”的考查．推理能力是數學學科的一個特征，是數學學科教學、學習的核心——思維能力的重要手段．該題以學生比較熟悉的矩形為背景呈現，考查學生對軸對稱本質的理解和應用．題目條件簡潔，只要4個點進行一次軸對稱，對稱后得到的4個點位置非常特殊，看似不太可能，其實這4個點一定能構成四邊形，題目給出了一個很強的條件：菱形，在這一條件下，只要運用對稱的不變量，即角度不變、線段長度不變這一軸對稱的性質，就可解決．在解決問題中，運用了較多的特殊四邊形、三角形的性質，分析其角、邊蘊含的數量關系和位置關系，就能得到PQ的長．學生在解決這一問題過程中，在一定程度上可以表現出自己經歷動手操作、觀察、思考、歸納、推理等數學活動過程，較好地實現了對過程性目標的考查．根據本題所考查的結果，在一定程度上可推斷學生數學思維的水平．

圖8

例10教室里的飲水機接通電源就進入自動程序：開機加熱時每分鐘上升10℃，加熱到100℃，停止加熱，水溫開始下降，此時水溫(℃)與開機后用時(min)成反比例關系，直至水溫降至30℃，飲水機關機．飲水機關機后即刻自動開機，重復上述自動程序．若在水溫為30℃時，接通電源后，水溫y(℃)和時間x(min)的關系如圖8所示．為了在上午第一節下課時(8:45)能喝到不超過50℃的水，則接通電源的時間可以是當天上午的

( )

A．7:20 B．7:30 C．7:45 D．7:50

2種解題思路的分析，反映了不同的分析思維層次，導致不同的解法，有簡有繁．故該題在一定程度上是對不同思維分析推斷方法的考查．

以上試題的設計，形成了整份試卷對數學知識、能力考查的有機組合，即在考查基本知識、基本技能的同時，注重對能力的考查，達到了在考查數學學科本質上的“和諧統一”，使整卷充滿著數學“味”，這也是命題者在考查數學學科核心上，追求高效度和高信度的一種嘗試．

結論以學科的本質為核心，學思維、教思維、考思維，真正實現學科的教育功能，這是高質量學業考試試卷命制永恒的目標．

本文對于學業考試試卷命制時，重點要考慮的4個方面進行了分析.當然，試卷也要在代數、幾何的核心知識點上設計試題，要在作圖、操作、合情推理等方面設計試題，要考慮試題內容與題型的匹配，要考慮試卷難度與考生程度的相關性，還要考慮知識、能力、思想方法的覆蓋面，等等.因此，命制一份學業考試試卷，是一個綜合的過程，一個值得我們探索的過程．