釋疑糾錯歸本溯源巧奪天工
——高中數學試卷講評課的3個切入點

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(孝豐高級中學 浙江安吉 313301)

釋疑糾錯歸本溯源巧奪天工
——高中數學試卷講評課的3個切入點

●楊愛云

(孝豐高級中學 浙江安吉 313301)

高中數學試卷講評課在課堂教學中有著舉足輕重的地位.面對一份試卷，要立足一節課,如何才能提高試卷講評的可操作性和時效性，是數學教師普遍關系的一個問題．而今，在試卷講評時往往側重于教師的“講”與“評”，而忽視學生的“感”與“悟”，其效果難以讓人滿意．筆者的教學實踐表明，學生是考試真正的參與者與體驗者，試卷講評應從注重“教師的積極發揮”轉移到關注“學生的有效參與”上來．試卷講評課應以學生為主體，教師要想方設法把試卷中存在的問題巧妙地擺出來，讓學生通過獨立的思考或通過同伴間的相互討論、交流與合作而獲得真正的解決，因為學生之間的知識結構相近，他們的感知、感悟乃至感嘆都感同身受，容易引起思維上的共鳴．這樣做，學生印象會更深刻，記憶會更久遠，收效也會更全面，遠勝于教師的千叮萬矚．下面談談筆者的拙見，以饗讀者．

1 釋疑糾錯,落實知識點

解題中的“對”往往出奇的相似，而解題中的“錯”卻各有各的理由.若考試中出現一定數量“同樣的錯”則不容小覷，因為其背后可能潛伏著學生“思維上某種錯誤的默契”．但是對于考試中出現的錯，尤其是一些小題的“錯誤答案”，很難引起教師的關注，教師一般只是用各種方法講述“正確答案”的由來．由于不明錯誤癥結的源頭，僅憑教師的“講”與“評”，往往收不到好的效果，學生還會重犯．筆者認為，應采用恰當的方法讓學生的錯誤暴露得更充分些，進而讓學生在思維碰撞與互動交流中自然釋疑糾錯、糾偏歸正，這可能是一個不錯的做法．

案例1已知直線l：kx-y-3k=0，圓M：x2+y2-8x-2y+9=0，則直線與圓的位置關系為

( )

A．相交 B．相切 C．相離 D．由k值確定

這是筆者所在學校期末模擬考卷中的一道選擇題，筆者所任教的96名學生中有30人選擇答案D．這引起了筆者的警覺．如何揭示與剖析隱藏在錯誤背后的真正原因呢？解鈴還需系鈴人，還是要去學生中去探個究竟！以下是課堂再現．

教師：這是考試中的選擇題，因為有很多同學都選擇了D，那么是否答案就是D了呢？理由是什么呢？

(當教師講完這句話之后，教室內馬上引發一些聲音，有些學生希望是批錯的，這可以理解，因為學生也希望“加分”．)

(筆者環視了教室，發現有部分學生與學生1有一樣的想法).

學生2：因為直線是不確定的，會隨著k的變化而變化，那么直線的具體位置就無法確定，所以與圓的位置關系就無法確定，我也選了D．

學生3帶給我們的不僅是驚喜，還有解題技能與破題的智慧，更給我們帶來無盡的回味……，正在咀嚼之際，教室里又傳來了聲音——

學生4：老師，我覺得學生3的解法可能會出現一個問題，他是取了2個特殊的k值，但是僅僅2個k值就能說明所有的嗎？對此我表示懷疑，我是這樣想的：由kx-y-3k=0得k(x-3)-y=0，利用直線系的意義，可知這條直線恒過定點(3,0)，后面的思想與學生3一樣，故選A．

……

課堂就在學生思維與智慧的相互碰撞中散發出更加理性、更為機智的思想光芒．看來一樣的答案不一樣的思考確實讓我們對試卷講評的價值重新審視！

2 歸本溯源,追尋起始點

案例2已知A,B是拋物線y2=2px(p>0)上的2個點，且OA⊥OB(O為坐標原點)，則直線AB恒過定點

( )

在一次解析幾何單元測試中有這樣一道選擇題，根據學生的測試結果統計，有80%以上的學生選擇了A.詢問后答案讓人啼笑皆非：因為焦點！拋物線中過焦點的弦有很多定值、最值的結論，如何利用這個特殊的位置進行解題，有時可以給解題帶來意想不到的效果，但有時使用不當也會讓人誤入歧途，得不償失.

探索過程設A(x1,y1)，B(x2,y2),則

由OA⊥OB,得

x1x2+y1y2=0.

又

將y1y2=-x1x2代入，得

因為x1x2≠0，所以

x1x2=4p2，

同理可得

y1y2=-4p2.

又因為y22-y21= (y2-y1)(y2+y1)=

2p(x2-x1),x1≠x2,

所以

將y1y2=-4p2代入，可得

從而直線AB恒過了定點為(2p,0).

特別地，已知拋物線y2=4x與直線y=x-4交于點A,B，求證：OA⊥OB．

探索1過(4，0)的直線與拋物線y2=4x交于點A,B，求證：OA⊥OB.

探索2已知拋物線y2=4px與直線y=x-4p交于點A,B，求證：OA⊥OB.

探索3過點(4p,0)的直線與拋物線y2=4px交于點A,B，求證：OA⊥OB.

探索4若A,B是拋物線y2=2px(p>0)上的2個點，且OA⊥OB(O為坐標原點)，則直線AB恒過定點(2p,0).

考題再現已知過點(4，0)的直線交拋物線y2=2mx(m>0)于點A,B，若∠AOB為銳角，求m的取值范圍(答案：m>2,過程略).

同理可得：若∠AOB為鈍角時，m的取值范圍為0

教學隨想從一道選擇題我們可以感覺到,解析幾何中有很多貌似實異的結論，如果不仔細去探究理解，極易犯“想當然”的錯誤．現在，許多學生對解析幾何問題是“思路想得到，結果做不出”.究其原因，大多是被過程中的運算卡住了殼，這是平時不重視運算所導致的．因此，講評解析幾何問題中“只講思路分析、輕視運算過程”的現象要加以改變，要多展示中間的解題過程．與此同時，對教材中看似簡單實則能體現本源的題目要加以研究，只有深入研究教材，才能真正領會其中的真諦，輕視教材的本源性與重要性都是舍本逐末的做法！

3 巧奪天工,激發興趣點

思路、方法、技巧是數學試卷講評課教學的3個關鍵詞．數學的技巧是師生夢寐以求的東西,但“傳授”技巧不能“從天而降”，要讓學生在熟練掌握方法的基礎上自然形成．有位教育專家說:不必為技巧而技巧，用不著的技巧就當收起來，無技巧就是最好的技巧.

由于很少有學生能做出正確答案m=sinθ，筆者認為教師應輔助解決(投影儀展示).

解法1設△ABC的外接圓半徑為R，將已知式兩邊平方得

4m2R2,

利用正弦定理得

又因為 sin2B+sin2C-sin2A=

sin2B+sin2C-sin2(B+C)=

2sinBsinC(sinBsinC-cosBcosC),

所以m2= cos2B+cos2C+2cosBcosC(sinBsinC-

cosBcosC)=

cos2B(1-cos2C)+cos2C(1-cos2B)+

2cosBcosCsinBsinC=

cos2Bsin2C+cos2Csin2B+

2cosBcosCsinBsinC=

(sinBcosC+cosBsinC)2=

sin2(B+C)=sin2A,

注意到m>0,sinA>0，故m=sinθ．

教學隨想筆者認為以上解法雖看似復雜，但有很大的技巧性;雖極為巧妙，但很不自然，需要學生有一定的恒心和毅力，

利用熟知的三角形恒等式sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC及正弦二倍角公式得

從而

故

m=sinA=sinθ．

解法揭示了本題的命題背景,本題的一般情形是三角形的如下2個性質：

(1)設O是△A1A2A3內任意一點，則

(2)設O是△A1A2A3外一點且在∠A2A1A3內，則

數學試卷的講評課，既不能成為解題失敗者“懺悔”的場所，也不應單單是解題成功者“表演”的舞臺．要使各個層面的學生有所獲，讓數學后進生感到“暗中有光”，中等生感覺“對中有優”，尖子生感嘆“山外有山”！教學實踐表明，由學生經歷過“感”、“悟”的試卷講評課才是真正解決問題的試卷講評方式，只有這樣，才能讓學生的困難得到暴露，知識得到落實，智慧在一定程度上才能有所啟迪！

[1] 殷玉波．試卷講評的“宏觀調控”策略．中學數學教學教學參考[J]，2012(5)：39-40．

[2] 陸賢彬,朱占奎．聯系 拓展 創新——高考模擬試卷講評的一種嘗試[J]．中學數學教學參考，2012(5)：42-43．

[3] 高莉芳．一堂數列習題課的案例分析[J]．中學數學月刊，2010(5)：16-18．