淺談高考中的構造函數法

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(臺州中學 浙江臨海 317000)

淺談高考中的構造函數法

●翟美鎖

(臺州中學 浙江臨海 317000)

函數是中學數學的重要內容，函數思想滲透到高中數學的每一個知識板塊，是歷年高考的必考內容.引導學生學會應用構造函數解決一些數學問題，不僅為解題提供了一個有效的方法，而且能加深學生對函數的認識.筆者結合近幾年的數學高考題以及模擬題，探討構造函數的方法和技巧.

1 細心審題，留意鋪墊——等價轉化法

(1)求f(x)的單調區間；

(2008年安徽省數學高考理科試題)

即

m>-eln2.

2 選定主元，巧妙構造——主元法

在許多數學問題中，都含有常量、參量、變量等多個量.通常情況下,有一些元素處于突出和主導地位,可視之為主元.為了解決問題,也可人為突出某個量的地位作用，先將其當作主元,從而進一步把握解決該問題的主元.

(1)求b,c的值及f(x)的單調遞減區間；

(2)設p>0,q>0,g(x)=f(x)+x2,求證：

(2013年浙江省六校聯考數學試題)

又因為G(p)=0,所以G(x)≤0,即

點評一方面，遇到含多元問題時，主元策略往往帶給我們啟發，化多元問題為一元問題，體現了化歸轉化思想；同時,主元策略還表現于主元選擇的變通性，選擇不同的主元，對于結構不對稱的式子能形成不同的解題途徑.

3 結構整齊，多變量問題——減元法

(1)討論函數的單調性;

(2009年遼寧省數學高考理科試題)

分析由于第(2)小題中的不等式結構對稱整齊，可作如下變形：

設x1>x2,f(x1)-f(x2)>x2-x1,即f(x1)+x1>f(x2)+x2,若構造函數g(x)=f(x)+x,即等價于證明函數y=g(x)的單調性.

解(1)略.

(2)考察函數

g(x)=f(x)+x=

由于10，即g(x)在(0,+∞)上單調遞增，故當00，即

f(x1)-f(x2)+x1-x2>0，

于是

當0

點評本題利用不等式的對稱性，把含2個變量的問題轉化為函數(1個變量)的單調性，后面的證明較容易.

4 聯想遷移——放縮法

例4設a>0,b>0,e為自然對數的底數，

( )

A.若ea+2a=eb+3b,則a>b

B.若ea+2a=eb+3b,則a

C.若ea-2a=eb-3b,則a>b

D.若ea-2a=eb-3b,則a

(2012年浙江省數學高考理科試題)

分析ea+2a=eb+3b,等式結構不對稱，因此無法與函數的構造聯系起來，但是該等式可以利用適當的放縮來實現對稱從而達到構造的目的.

考察選項A,B，因為ea+2a=eb+3b>eb+2b,所以

ea+2a>eb+2b.

記f(x)=ex+2x,由于f(x)在R上單調遞增，因此a>b,正確答案為A.

點評局部對稱的條件可以通過適當的改進(比如放縮法)轉化為條件對稱.

構造函數法通過研究函數的單調性，體現了數學中函數、化歸的思想，其中也滲透著猜想、探究等重要的數學思想.通過研究近幾年的高考題發現，構造函數的題目幾乎都在壓軸題上，可見難度很大，因此要熟練地掌握函數的性質，靈活地應用數學知識，才能合理地構造出函數.

[1] 寧桂華.構造函數法解決導數問題的研究[J].數學學習與研究，2012(21):10-11.

[2] 武增明.構造函數證明函數背景下的不等式的策略[J].中學數學，2012(15):7-8.