高中數學知識拓展課一則

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(溫州市第二中學 浙江溫州 325007)

高中數學知識拓展課一則

●黃可旺

(溫州市第二中學 浙江溫州 325007)

筆者有幸參加了一次關于“知識拓展課開發”的市級研討會，并觀摩了一節公開課——勾股數引出的思考，可謂震撼心靈，感觸頗深.

1 課堂簡錄

教師操作：播放一段極具震撼力的視頻，展示在人類文明的發展進程中，人們通過無數次對土地、建筑、器物的測量和天文觀測，對直角三角形3條邊之間的長度關系積累了豐富的認識，逐漸形成了“千古第一定理”——勾股定理．人類開始不斷探索由勾股定理延伸出來的問題，譬如“勾股數”.

(視頻立體視覺沖突，極大調動學生積極性.)

教師：凡可以構成一個直角三角形3條邊的一組正整數，稱之為勾股數．古希臘數學家畢達哥拉斯曾研究過下列勾股數組(見表1)：

表1 x,y,z的取值

觀察表1,回答以下問題：

(1)每一組數中x,y,z有哪些關系？

(2)若x為n(n≥3,n為奇數).由上面發現的關系，猜想y和z分別是什么？并判斷這3個數是不是勾股數．

經驗證x,y,z構成一組勾股數.

表2 x,y,z的取值

觀察表2，回答以下問題.

(1)這一組數中x,y,z有哪些關系？

(2)若x為n(n≥4,n為偶數)．由上面發現的關系，猜想y和z分別是什么？并判斷這3個數是不是勾股數．

經驗證x,y,z是一組勾股數.

生3：我覺得沒有其他勾股數了.

教師:你能詳細說說你的猜想嗎？

生4：奇數與偶數并在一起就是所有整數的情況了，而1或2不可能與其他整數構成勾股數.

教師：生3的觀點，其他同學贊同嗎？

一石激起千層浪……

生5：我有反例:9，12，15是勾股數，但不屬于上述2種情形.

生6：我也有反例：20，21，29.

……

教師：確實如此，除了以上概括的2類勾股數外還有很多勾股數.歷史上，在這之后，研究勾股數還有“幾何學之父”之稱的歐幾里德，代數學鼻祖丟番圖等都曾尋找過概括勾股數的一般公式，有興趣的同學可以自己查閱資料進一步了解.

教師：除了尋找概括勾股數公式外，人們還嘗試從不同的角度繼續研究勾股問題，有的人從維度的角度出發，研究了如下問題：滿足方程x2+y2+t2=w2(x,y,t,w∈N)的解x,y,t,w稱為三維勾股數,請你完成下列表格(見表3),使得每一行中的4個數為一組3維勾股數．

表3 x,y,t,w的取值

生7：在y與t之間插入一列表格z，令x2+y2=z2，只需尋找滿足z2+t2=w2的勾股數.運用畢達哥拉斯與柏拉圖的勾股數公式，表格從左到右、從上到下依次填13，84，85，60，1 860，1 861，48，624，626.最后一行對n為奇數、偶數情況進行討論，具體還沒想好.

教師：你能引入一個變量將三維勾股數轉化為熟悉的二維勾股數問題，并將掌握的知識應用于新問題中，已經做得非常好，最后一行的問題留給大家做為課后的作業去探究．

(這里教師讓學生自己設計問題，并沒有繼續帶領學生解題，點而不破，是拓展課的一大亮點.)

教師:如果讓你設計一個問題繼續研究，你會怎樣設計?

生7：可以去研究四維甚至五維勾股數問題.

生8：我想設計一個算法程序把所有勾股數羅列出來.

生9：我想是不是可以從次數上考慮，研究x3+y3=z3的解.

生10：我想研究xn+yn=zn的解.

……

師：大家都非常厲害!事實上，當整數n>2時，關于x,y,z的不定方程xn+yn=zn有無正整數解的問題就是著名的費馬猜想．

(全班一片嘩然,響起了熱烈的掌聲.)

教師：關于這個猜想還有個美麗的故事：據說，費馬在閱讀丟番圖《算術》拉丁文譯本時，曾在第11卷第8命題旁寫道：“將一個立方數分成兩個立方數之和，或一個四次冪分成兩個四次冪之和，或者一般地將一個高于二次的冪分成兩個同次冪之和，這是不可能的．關于此，我確信已發現了一種美妙的證法，可惜這里空白的地方太小，寫不下．”費馬的這段話，引來無數數學家投入到證明猜想當中，其中包括歐拉、高斯等偉大的數學家，很遺憾他們都未能找到證明方法，直到1994年英國數學家懷爾斯證明了費馬猜想是正確的.

教師：時間過得很快，請允許我用著名華裔數學家、哈佛大學終身教授、菲爾茲獎得主丘成桐先生在北京師范大學附屬中學的演講作為本課的小結：……“做數學”需要質疑權威，開辟荒原的精神……

(數學家的魅力不僅僅是他在數學上的成就，更在于他崇尚科學、孜孜追求真理的人格品質.他們做人、做事的態度與方法是我們學習的楷模，他們做學問的方法是今后學業道路上的一盞明燈，這是任何其他語言所無法替代的.這樣的結尾別出心裁，契合主題.)

2 聽課反思

這節課從始至終給人以啟迪和美的享受，沒有口若懸河的教師個人解題能力的展示，沒有變式訓練，只有學生一個個令人贊嘆的奇思妙想和如坐春風般的美妙感受，以及有關大數學家動人的故事.筆者不禁要問什么樣的數學知識拓展課才算得上是一節精彩而值得回味的好課，結合本課與專家的點評，筆者認為一節優質的知識拓展課應具備以下幾個基本要素：

2.1 趣味性

教育家蘇霍姆林斯基指出:“不動情感的腦力勞動就會帶來疲倦，沒有歡欣鼓舞的心情，沒有學習興趣，學習就會成為學生的沉重負擔．”從這句話中我們可以知道，積極的思維活動應建立在濃厚的興趣和豐富的情感上．知識拓展課作為選修課，沒有興趣必將被學生所拋棄.因此，輕松活潑、生動有趣的課堂氛圍是拓展課的先決條件，本課將知識探究與數學史交替呈現的方式大大增加了學生學習的興趣，讓學生在不經意間發現“我也能像數學家那樣發現問題、思考問題”，從而獲得極大的自信心與滿足感，大大激發了學生學習的熱情．而一個好的學習情境往往又會使學生產生親切感，使他們心情愉快、心理輕松，能激發出他們的探究欲望和潛能，拓寬他們的思路，從而奇妙的問題、精彩的見解會源源不斷地涌現．

2.2 知識性

知識拓展類課程不等于任由學生天馬行空、不沾邊際做粗淺的表面文章，更要避免學生熱火朝天但毫無思維深度的活動課．知識拓展課是教師預設研究內容，學生主動探究學習的過程．在這個學習過程中，學生學會像數學家那樣運用直覺判斷和類比推理來發現和猜想問題的結果，尋求解決問題的辦法,從中習得數學的方法與知識．大數學家歐拉說過:“數學這門學科，需要觀察，還需要實驗．”這些需要教師為學生預設,開發出他們的數學潛能，因此，課程必需具備一定的難度與思維容量．

2.3 人文性

“人文教育”與“科學教育”一樣重要，科學探索客觀，人文體察人情，前者重“理”，后者重“情”．通過科學，人類不斷深化對客觀世界的認識，提高改造客觀世界的能力；通過人文精神，人類體會為人之意義與態度，實踐做人之道．正如錢學森所說：科學與人文是一枚硬幣的2個面，缺一不可．在探尋勾股數一般性公式及解答由勾股定理延伸出來的問題的過程中，無數大數學家表現了堅強的意志、崇高的品質與追求真理的精神境界，值得我們尊重和學習，這其中起到的榜樣的力量是無窮的．

2.4 啟發性

美國當代教育家布魯納有句名言:“一個壞的教師奉送真理，一個好的教師則教人發現真理.”拓展型課程本身的特征決定了我們在教學中更應該重視數學思想方法的滲透，而非知識的傳送．關注學生發現問題、提出問題能力的培養，雖然學生的問題有時有些“幼稚”與“不著邊際”，科學往往就在這一閃念中誕生，我們要再大膽一點，更放得開一些，把問題留給學生，不要在意過程與細枝末節，更不必過分看重課堂知識掌握程度，給學生多一些“留白”，多一些想像的空間，變“不憤不啟，不悱不發”為“不得不憤，不得不悱”.