自主招生中的立體幾何問(wèn)題

2013-10-26 01:45:29

中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2013年9期

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(松陽(yáng)縣第一中學(xué) 浙江松陽(yáng) 323400)

自主招生中的立體幾何問(wèn)題

●李玉梅

(松陽(yáng)縣第一中學(xué) 浙江松陽(yáng) 323400)

立體幾何試題是考查空間想象能力最好的載體.在自主招生試題中，這部分內(nèi)容主要考查空間圖形中線面的位置關(guān)系以及空間角、距離的計(jì)算，解題時(shí)往往將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題來(lái)解決，體現(xiàn)數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化與化歸思想.另外，建立空間直角坐標(biāo)系，將幾何元素之間的關(guān)系數(shù)量化，可以看出用空間向量來(lái)解題的優(yōu)勢(shì).本文主要談?wù)勛灾髡猩械牧Ⅲw幾何問(wèn)題.

1 求角的問(wèn)題

( )

(2011年清華大學(xué)等七校聯(lián)考試題)

評(píng)注本題也可以平移DM與AN共面，即點(diǎn)M移到點(diǎn)N,點(diǎn)D移到CD的中點(diǎn)Q,或平移AN與DM共面,亦即點(diǎn)A移到點(diǎn)M，點(diǎn)N移到PN的中點(diǎn)Q，平移是解決線線問(wèn)題的基本方法.

圖1 圖2

例2在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱AA1的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱A1B1上的點(diǎn)，且A1F∶FB1=1∶3，則異面直線EF與BC1所成角的正弦值為

( )

(2011年同濟(jì)大學(xué)等九校聯(lián)考試題)

評(píng)注“線線角”問(wèn)題的常用方法是平移法，此題也可以用坐標(biāo)法求解.

例3三棱柱ABC-A′B′C′的底面是邊長(zhǎng)為1的正三角形，高AA′=1，在AB上取一點(diǎn)P，設(shè)△PA′C′與底面的二面角為α，△PB′C′與底面的二面角為β，則tan(α+β)的最小值是

( )

(2009年復(fù)旦大學(xué)自主招生試題)

圖3

分析如圖3，Q為點(diǎn)P在平面AB′C′上的射影，作QE⊥A′C′，QF⊥B′C′，則∠PEQ,∠PFQ分別為二面角P-A′C′-B,P-B′C′-A′的平面角,即∠PEQ=α,∠PFQ=β.設(shè)B′Q=x,A′Q=1-x(0

從而

又

于是

評(píng)注求二面角的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件準(zhǔn)確地找出或作出要求的角．

2 距離問(wèn)題

例4在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面邊長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)均等于2，且E為CC1的中點(diǎn)，則點(diǎn)C1到平面AB1E的距離為

( )

(2011年同濟(jì)大學(xué)等九校聯(lián)考試題)

分析本題每個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)結(jié)果，因此滿足條件的任何一個(gè)三棱柱中所求距離為同一個(gè)數(shù)字.不妨取三棱柱ABC-A1B1C1為直三棱柱，如圖4所示，運(yùn)用等體積法，易求得點(diǎn)C1到平面AB1E的距離

故選D.

評(píng)注當(dāng)一般情況不易解決時(shí)，要注意把問(wèn)題特殊化，如特殊數(shù)字、特殊函數(shù)、特殊圖像等，這樣可以使解題思路豁然開(kāi)朗.

例5設(shè)ABC-A′B′C′是正三棱柱，底面邊長(zhǎng)和高都為1，點(diǎn)P是側(cè)面ABB′A的中心，則點(diǎn)P到側(cè)面ACC′A′的對(duì)角線的距離是

( )

圖5 圖6

分析如圖5，作PQ⊥AC′,則PQ即為所求的距離.將△AB′C′分離出來(lái)，作B′E∥PQ,交AC′于點(diǎn)E，取B′C′的中點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)AF，如圖6.設(shè)PQ=h，則

評(píng)注空間的距離常轉(zhuǎn)化為平面的距離，而等面積法是求距離的常用方法之一.

例6有一個(gè)圓柱形杯子，底面周長(zhǎng)為12 cm，高為8 cm，點(diǎn)A在內(nèi)壁距杯口2 cm處，點(diǎn)A對(duì)面外壁距杯底2 cm處有一只小蟲(chóng)，問(wèn)小蟲(chóng)至少走_(dá)_____cm長(zhǎng)的路才能到點(diǎn)A處飽餐一頓？

(2009年南京大學(xué)自主招生試題)

分析根據(jù)題意可將圓柱形杯子展開(kāi)，如圖7所示，小蟲(chóng)從點(diǎn)B到點(diǎn)A′的最短距離可利用勾股定理求得，即為10 cm.

評(píng)注幾何體的展開(kāi)是求最短距離的常用辦法之一.

圖7

3 內(nèi)接外切問(wèn)題

( ).

A.32 B.30 C.28 D.26

(2010年復(fù)旦大學(xué)自主招生試題)

圖8 圖9

分析如圖8為過(guò)球心的截面圖，設(shè)小球的半徑為r，依題意有

解得

從而

所放入的小球如圖9所示的方式擺放，相鄰2個(gè)小球的球心B，C與圓心A構(gòu)成等腰三角形，點(diǎn)D為2個(gè)小球的切點(diǎn)，則

從而

∠CAB≈2×11.95°=23.9°<24°,

評(píng)注在解決立體幾何問(wèn)題時(shí)，常會(huì)遇到若干個(gè)球按照一定的法則“疊加”的問(wèn)題，我們將這類問(wèn)題簡(jiǎn)稱為“多球”問(wèn)題.對(duì)于“多球”問(wèn)題,往往可以從多球中提煉出各球球心所組成的圖形，將問(wèn)題簡(jiǎn)化，然后通過(guò)解決該簡(jiǎn)化的問(wèn)題,獲得原問(wèn)題的待求結(jié)論,這是解決“多球”問(wèn)題的常用方法之一.

例8半徑為R的球內(nèi)部裝4個(gè)有相同半徑r的小球，則小球半徑r的最大值是

( )